40偏微分方程工具箱.

1、练习 40偏微分方程工具箱数学知识背景与解常微分方程一样，求解偏微分方程只有在一定条件下，才能得出其解析解。在工程数我们可以在一定初始条件和特殊情况下得到偏微分的数MATLAB提供了求解对应偏微分方程的工具包和相应函数。主要内容本练习讲述知识点本练习主要考查在特定条件下求解偏微分方程的函数用法，而主要运用PDE(PartialDifferential Equation)工具箱中的函数来求对偏微分方程进行求解。而PDE工具箱中，则主要提供了求解抛物线型、双曲线型及本征型偏微分方程的函数。练习过程(1)求解抛物线型的函数主要是parabolic,此函数主要是用有限元法求解抛物线型微分方程以及微分方

2、程组，其用法为：u1= parabolic(u0,tlist,b,p,e,t,c,a,f,d)网格参数主要为p、e和t,边界条件b可以用矩阵形式也可以用m文件格式，主要依赖于时间t,方程参数c、a、d、f也可是时间的函数。Tlist是时间序列，可以在函数末加入误差 限来控制。对于标量形式的偏微分方程，函数返回值为一个矩阵。u1= parabolic(u0,tlist,K,F,B,ud,M)这个函数主要用于求解ODE问题，其中初值为u0。例：求热传导方程.:t求解的范围为正方形区域：-1乞X, y空1，初值条件：当x2y21时，u(0)=1,在其他条件下，u(0)=0。在命令区中键入下命令得：p

3、,e, t=i nitmesh(squareg);p,e, t=refi nemesh(squareg,p,e,t);u0=zeros(size(p,2),1);ix=fi nd(sqrt(p(1,:).A2+p(2,:).A2)0.4);u0(ix)=on es(size(ix);tlist=li nspace(0,0.1,20);u1=parabolic(u0,tlist,squareb1,p,e,t,1,0,1,1);学计算中，经常要求解偏微分方程。值解，对于一定形式的偏微分方程，求得的结果为:Time: 0.00526316Time: 0.0105263Time: 0.0157895T

4、ime: 0.0210526Time: 0.0263158Time: 0.0315789Time: 0.0368421Time: 0.0421053Time: 0.0473684Time: 0.0526316Time: 0.0578947Time: 0.0631579Time: 0.0684211Time: 0.0736842Time: 0.0789474Time: 0.0842105Time: 0.0894737Time: 0.0947368Time: 0.196 successful steps0 failed attempts194 fun cti on evaluati ons1 pa

5、rtial derivatives20 LU decompositi ons193 soluti ons of lin ear systems即经过了96步计算，失败次数为0,194次的函数赋值，1次求偏导，20次求LU分解运算，193组线形系统的解。（2）求解双曲线型偏微分方程的主要函数是hyperbolic，它也是用有限元的方法来求解偏微分方程或者方程组，其用法为：u1=hyperbolic（u0,ut0,tlist,b,p,e,t,c,a,f,d）u0是初始值，网格参数为b、e、t,边界条件b可用矩阵形式也可以用m文件格式，它依赖于时间，而方程系数c、a、d、f也可以是时间的函数，可以对

6、函数设置误差限。u仁hyperbolic（u0,ut0,tlist,K，F,B，ud，M）可以用于求解ODE问题，初值为u0。（3）求解特征值主要用函数pdeeig，函数主要用有限元法来求解特征方程，其用法为：v,1=pdeeig（b,p,e,t,c,a,d,r）参数p、e、t描述区域，参数b描述边界条件，r两个元素的数组。所得结果中，v是特征向量矩阵，对于标量形式的特征值方程，v对应于网格节点的特征值。求解一般稀疏特征值问题的函数主要是sptarn，其主要用法是：xv,lmb,iresult=sptar n（ a,b,lb,ub,spd,tolc on v,jmax,maxmul）函数主要对

7、特征多项式（A - B）x = 0在区间lb，ub上的特征值，A和B是稀疏矩阵，lb和ub分别是要求解的特征值的上界与下界。若要求解的是ub左边的所有特征值， 则可以令Ib=-inf,若要求解的是lb右边的所有特征值，则令ub=inf.对于窄区间，可以较快得到结果。 在复数情况下，比较Imb、lb、ub的实数部分。Xv是特征向量，它的值使得判断式(a*xv-b*xv*diag(lmb)最小。Lmb是对应的特征值，当iresult大于或者等于0时，可以进 行求解并找到所有特征值，而当iresult小于0时，则求解可能是不完全的，有可能有特征值未求出。如果特征值均为正值，则spd=1,tolcon

8、v是期望的相对精度，缺省值为100*eps,这里dps为机器精度。Jmax是基向量的最大数目，求解中需要jmax*n的工作空间。Maxmul是Arnoldi运行次数，应是所有特征值的倍数。例：求解方程：- u二 u在L型区域上的小于100的特征值及其相应的特征模态，命令窗口中演示有：p,e,t=in itmesh(lshapeg);p,e,t=refi nemesh(lshapeg,p,e,t);v,l=pdeeig(lshapeb,p,e,t,1,0,1,-l nf100);pdesurf(p,t,v(:,16)运行结果为：Basic=10,Time=0.65,New cov eig=0Ba

9、sic=19,Time=1.09,New cov eig=3Basic=28 ,Time=1.59 ,New cov eig=6Basic=37 ,Time=2.25,New cov eig=9Basic=46 ,Time= 3.07,New cov eig=13Basic= 55,Time=4.01 ,New cov eig=27End of sweep: Basic= 55,Time= 4.01,New cov eig=27Basic=37,Time=4.77,New cov eig=0Basic= 46, Time= 5.54,New cov eig=0End of sweep: Basic=46,Time= 5.54,New cov eig=0(4)求解非线性偏微分方程可以用函数|pdenonlin，其用法为：u,res=pdenonlin(b,p,e,t,c,a,f)这个函数主要用来求解非线性标量形式的偏微分方程，其中，c,a，f是依赖于u的函数，该函数主要用牛顿迭代法求解。在参数中，主要用于设置方程的迭代次数，迭代中止误差或者初解等。例：求解最小表面积的问题，在命令框中输入：g=circleg ;b=ircleb 2 ;c=1./sqrt(1+ux.A2)a=0;f=0;rtol=le-3;p,e,t=i nitmesh(