均值不等式公式总结及应用

1、均值不等式应用2 21.(1)若a,b R，则a2b22ab(2)若a,b R，则 ab -一(当且仅当a22若a,b R*，则ab（当且仅当a b时取“=”）22 25.若a,b R，则(-a b)2 aL (当且仅当a2 2（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一：求最值例 1 :求下列函数的值域(1)y = 3x2+ 步(2) y = x+1解:(1)y = 3x

2、2+ 步 2/3x 22；23.若x0，则x1x2（当且仅当x 1时取“=”）若x0，则x12（当且仅当x1时取“=”）x若x0，则x112 即 x 2 或 x1-2（当且仅当axxxb时取“=”)2（当且仅当ab时取“=”)若ab 0，则a b2即a b2或a-b ab ab a-2（当且仅当a b时取“=”）b时取“=”）2.(1)若a,b R*，则a_b. ab(2)若a,b2R*，则a b 2 , ab（当且仅当ab时取“=”)b时取“=”)=6 值域为6,+R)(2)当 x0 时，y = x + * 2；x = 2;当 xv0 时，y = x+- = ( x- - )2.3a3b2.

3、3a b6当3a3b时等号成立，由a b 2及3a3b得a b 1即当a b 1时，3a3b的最小值是 6.1 1变式：若log4x log4y 2，求的最小值.并求 x, y 的值x y:整体代换 多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。192：已知x 0, y 0，且1,求x y的最小值。x y19条件是即y 9x，取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列x y出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解：Q x 0, y 0, 1，x yx y x y -9-106 10 16x y x y当且仅当-时，上

4、式等号成立,x ye 19彳又1，可得x 4, y 12时，x ymin16。x y变式：（1）若x,y R且2x y 1，求丄1的最小值x y错解：Qx0,y 0,且丄？1,x y19_9xy2，x y. xy2 xy 12故xymin x y错因: 解法中两次连用均值不等式，在x y2 xy等号成立条件是x y，在丄？02 x yxy12。等号成立已知a,b,x, y R且1,求x y的最小值 x y技巧七22y,_2已知 x, y 为正实数，且 x +牙=1,求 x 1 + y 的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式_ 1同时还应化简寸 1 + y 中 y2前面的系数为

5、 2 ,1x2+ +2 222+ =技巧八：1已知 a, b 为正实数，2b+ ab+ a = 30,求函数 y= 的最小值.ab分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。、丄30 - 2b30- 2b法一：a= b + 1，ab=b+ 1由 a 0 得，0vbv15 ab当且仅当 t = 4，即 b= 3, a = 6 时，等号成立。法二：由已知得：

6、 30 ab= a + 2b/ a+ 2b2 2 ab 30 ab 2 2 ab令 t = b+1, 1vtv16,2t ab =2+ 34t 31t=2 (t +16)+ 34abw=p 苛-2 +;分别看成两个因式:2 +y2222 b + 30bb + 1x -令 u = Jab则 u2+2 2 u30w0,5 2u 18a b点评：本题考查不等式ab(a,b R)的应用、不等式的解法及运算能力；如何由已知不等2式ab a 2b 30(a,b R)出发求得ab的范围，关键是寻找到a b与ab之间的关系，由此想到不等aK_式 .、ab(a,b R)，这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而

7、解得ab的范围.2变式：1.已知 a0, b0, ab (a + b) = 1，求 a+ b 的最小值。2.若直角三角形周长为 1,求它的面积最大值。技巧九、取平方5、已知 x, y 为正实数，3x+ 2y = 10,求函数 W= 3x + , 2y 的最值.3x+2yw2(3x)2+(2y)2=2 3x+2y=2 5解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。W 0,W2=3x+2y+2 3x2y=10+2 3x2yw10+( 3x )2( 2y )2=10+(3x+2y)=20Ww20=2 5 变式：求函数 y . 2x1

8、. 52x(1x)的最大值。2 2解析：注意到2x 1与5 2x的和为定值。y2(、2x 1. 5 2x)24 2.(2x 1)(5 2x)4 (2x 1)(5 2x)8又y 0,所以0 y 2 2当且仅当2x 1=5 2x，即x|时取等号。故ymax2 2。评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积 极创造条件利用均值不等式。应用二：利用均值不等式证明不等式解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系, 2 . 2a+b a+b-w-2 2，本题很简单例 6 :已知

9、a、b、eR，且a b e 1。求证:1 1 j 口 近，可由此变形入手。a a a a上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得应用三：均值不等式与恒成立问题19例：已知x 0, y 0且1，求使不等式x y m恒成立的实数m的取值范围。1 9解：令x y k,x 0, y 0,1,x yx y9x 9y1.kxky10_y_空1kkxky10312。kkk 16,m,16应用四：均值定理在比较大小中的应用：1 .-Q(Iga lgb) Iga Igb pa b1R lg( ) lg . ab lg ab Q2 21.已知a,b,e为两两不相等的实数，求证：a2b2ab be ca1)正数 a, b, e 满足 a+ b+ e = 1，求证：(1 a)(1-b)(1e) 8abe分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又解：Qa、b、e