加强逆向思维教学

1、加强逆向思维教学，培养学生思维能力建湖县冈西初中 周 平摘要：逆向思维是数学思维的一个重要组成部分，是进行思维训练的载体。加强从正向思维转向逆向思维的培养，能有效地提高学生思维能力和创新意识。本文以概念、定义、公式逆用、法则、定理、逆定理等教学及习题中的逆向变式训练等方面阐述了如何加强学生数学逆向思维能力的培养。关键词：逆向思维 拓展 自主探究逆向思维是指由果索因，知本求源，从原问题的相反方向着手的一种思维。它是数学思维的一个重要原则，是创造思维的一个组成部分，也是进行思维训练的载体，培养学生逆向思维过程也是培养学生思维敏捷性的过程。课堂教学结果表明：许多学生之所以处于低层次的学习水平，有一个

2、重要因素，即逆向思维能力薄弱，定性于顺向学习公式、定理等并加以死板套用，缺乏创造能力、观察能力、分析能力和开拓精神。因此，加强逆向思维的训练，可改变其思维结构，培养思维灵活性、深刻性和双向能力，提高分析问题和解决问题的能力。迅速而自然地从正面思维转到逆向思维的能力，正是数学能力增强的一种标志。因此，我们在课堂教学中务必加强学生逆向思维能力的培养与塑造。中学数学教学的目的是为了使学生获得一定的数学知识，更是为了使学生获得一定的数学能力，形成一定的数学意识，最终能分析问题，解决问题。对学生进行思维能力的培养，显然是实现这一目的的重要手段。而逆向思维是数学思维的一个重要方面，更是创造性思维的一个重要

3、组成部分。当人们在处理某些问题上习惯于正向思维而处于“山重水复疑无路”的困境时，逆向思维往往会使我们面前呈现“柳暗花明又一村”的醉人情景。因此在数学教学中，要重视学生思维的灵活性、敏捷性和深刻性的培养，从而提高学生的思维品质和思维能力。下面谈谈如何在初中数学教学中培养学生逆向思维能力的点滴体会。传统的教学模式和现行数学教材往往注重正向思维而淡化了逆向思维能力的培养。为全面推进素质教育，本人在多年教学实践中常注重以下几个方面的尝试，获得了一定的成效，现归纳如下：一、加强基础知识教学中的逆向思维训练1、在概念教学中注意培养反方向的思考与训练。数学概念、定义总是双向的，我们在平时的教学中，只秉承了从

4、左到右的运用，于是形成了定性思维，对于逆用公式法则等很不习惯。因此在概念的教学中，除了让学生理解概念本身及其常规应用外，还要善于引导启发学生反过来思考，从而加深对概念的理解与拓展。例如：讲述：同类二次根式时明确化简后被开方数相同的几个二次根式是同类二次根式。反过来，若两个根式是同类二次根式，则必须在化简后被开方数相同。例如：若与 是同类二次根式，求a，解题时，只要将2a+3 =4+a，即可求出a的值。在平面几何定义、定理的教学中，渗透一定量的逆向思考问题，强调其可逆性与相互性，对培养学生推理证明的能力大有裨益。例如：“互为余角”的定义教学中，可采用以下形式：A+B=90,A、B互为余角（正向思

5、维）。A、B互为余角。A+B90（逆向思维）。当然，在平常的教学中，教师本身应明确哪些定理的逆命题是真命题，才能适时给学生以训练。任何一个数学概念都是可逆的。在进行概念教学时，不仅要从正面讲清其含义，也应重视定义的逆向应用。使学生对概念有一个完整的了解，帮组学生透彻理解，形成牢固记忆。特别是在平面几何入门阶段，逆向思维训练尤为重要，能为以后的推理论证打下良好的基础。如线段中点的概念，我们知道，若点C为线段AB的中点，则有：AC=BC或AC=BC= 1/2AB或AB=2AC=2BC，反之也应理解，若以、式中的任一式为已知，且点C在线段AB上，都可以得到点C为线段AB中点的结论。又如对“两条不同的

6、直线不能有两个或更多个公共点”，可以从逆向思维的角度来帮组学生理解：如果两条直线有两个或更多个公共点，那么经过这两个公共点就有两条直线，这与公理“经过两点有且只有一条直线”相矛盾，因此两条不同的直线不能有两个或更多个公共点。有时逆用定义还可以更简捷流畅地解决问题。2、重视公式逆用的教学数学公式是我们解题的重要依据之一，但我们往往习惯于公式的正向思维，对学生进行逆向使用公式的训练明显不足。因此，我们在进行公式教学时，应强调公式是可以逆用的，并要进行适当的训练。公式从左到右及从右到左，这样的转换正是由正向思维转到逆向思维的能力的体现。因此，当讲授完一个公式及其应用后，紧接着举一些公式的逆应用的例子

7、，可以给学生一个完整、丰满的印象，开阔思维空间。在代数中公式的逆向应用比比皆是。如（a+b）(a-b)=a2-b2的逆应用a2-b2（a+b）(a-b)，多项式的乘法公式的逆用用于因式分解、同底数幂的运算法则的逆用可轻而易举地帮助我们解答一些问题，如：计算（1） 2200052001；（2）（ 2 ）100（-2）200；（3）2m4m0.125m等，这组题目若正向思考不但繁琐复杂，甚至解答不了，灵活逆用所学的幂的运算法则，则会出奇制胜。故逆向思维可充分发挥学生的思考能力，有利于思维广阔性的培养，也可大大刺激学生学习数学的主观能动性与探索数学奥秘的兴趣性。3、法则的逆向教学数学法则反映了一定的

8、数学规律，同时也揭示了解决某一类问题的方法。数学中的运算都有一个需要遵循的法则，而且许多运算也都有一个与之并存的逆运算。如加法与减法、乘法与除法、乘方与开方等运算，并且在一定的条件下它们之间还可以相互转化，如利用相反数可以互化加法与减法，利用倒数可以互化乘法与除法等等。在教学中讲清它们之间的内在联系并给以必要的逆向训练，能使学生深刻理解法则和灵活运用法则.4、定理的逆向教学数学定理并非都是可逆的，在教学中除了要探讨教材中给出的某些定理的逆定理，如勾股定理及其逆定理等，同时也要探索某些教材中没有给出但却存在的某些定理的逆定理，这样不仅能巩固、完备所学知识，激发学生探究新知识的兴趣，更能使学生的思

9、维多样化，提高思维能力。如在教学定理“等腰三角形的顶角平分线、底边上的高和底边上的中线互相重合”后，可组织学生探讨下列命题是否为真：有一角平分线平分对边的三角形是等腰三角形，有一角平分线垂直于对边的三角形是等腰三角形，有一边上的中线垂直于这边的三角形是等腰三角形等等。再如韦达定理的逆用等。5、加强逆定理的教学。每个定理都有它的逆命题，但逆命题不一定成立，如：对顶角相等；相等的角是对顶角，经过证明后成立即为逆定理。逆命题是寻找新定理的重要途径。在平面几何中，许多的性质与判定都有逆定理。如：平行线的性质与判定，角平分线的性质与判定，线段的垂直平分线的性质与判定，平行四边形的性质与判定，垂径定理的性

10、质与判定切线的性质与判定等，举例说明：平行四边形对边平行；平行四边形的对边相等；平行四边形对角相等；平行四边形的对角线互相平分；反过来，两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；仍然成立。注意它的条件与结论的关系，加深对定理的理解和应用，重视逆定理的教学应用对开阔学生思维视野，活跃思维大有益处。6、多用“逆向变式”训练，强化学生的逆向思维。作为思维的一种形式，逆向思维蕴育着创造思维的萌芽，它是创造性人才必备的思维品质，也是人们学习和生活中必备的一种思维品质。在数学教学中充分认识逆向思维的

11、作用，结合教材内容，注重学生的逆向思维能力的训练，不仅能进一步完善学生的知识结构、开阔思路，更好地实现教学目标，还能达到激发学生创造精神、提升学习能力的目的。 “逆向变式”即在一定的条件下，将已知和求证进行转化，变成一种与原题目似曾相似的新题型。例如：已知，如图，直线AB经过0上的点C，且OA=OB，CA=CB，求证：直线AB是O的切线。可改变为：已知如图，直线AB切O于C，且OA=OB，求证：AC=BC。或直线AB切BCA O O于C，且AC=BC，求证：AC=BC。再如：不解方程，请判断方程2x2-6x+3=0的根的情况。可变式为：已知关于x的方程2x2-6x+k=0，当K取何值时？（1）

12、方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根。经常进行这些有针对性的“逆向变式”训练，创设问题情境，对逆向思维的形成起着很大作用。7、强调某些基本教学方法，促进逆向思维。数学的基本方法是教学的重点内容。其中的几个重要方法：如逆推分析法，反证法等都可看做是培养学生逆向思维的主要途径。比如在证明一道几何命题时（当然代数中也常用），老师常要求学生从所证的结论着手，结合图形，已知条件，经层层推导，问题最终迎刃而解。养成“要证什么，则需先证什么，能证出什么”的思维方式，由果索因，直指已知。反证法也是几何中尤其是立体几何中常用的方法。有的问题直接证明有困难，可反过来思考，假

13、设所证的结论不成立，经层层推理，设法证明这种假设是错误的，从而达到证明的目的。8、采用直观教学，为学生提供逆向思维的基础马克思主义哲学告诉我们，感性认识是理性认识的基础，理性认识依赖于感性认识。在数学教学中利用必要的教具、模型、幻灯、多媒体等进行直观教学，能使学生的多种器官协同参与思维活动，获得较多的感性认识，提高思维的兴趣和效率。必要的教具、模型、幻灯和多媒体可以逼真地展现某个事物、某个事件、某种活动的全貌，可以更有效地激发学生的思维，使学生的正向思维清晰明了，也为学生进行逆向思维提供了可靠的基础。另一方面，通过使用多媒体等现代教学手段，可反向呈现某些活动或过程，有利于学生的逆向思维的进行。

14、通过这些数学基本方法的训练，使学生认识到，当一个问题用一种方法解决不了时，常转换思维方向，可进行反面思考，从而提高逆向思维能力。二、加强解题教学中的逆向思维训练解题教学是培养学生思维能力的重要手段之一，因此教师在进行解题教学时，应充分进行逆向分析，以提高学生的解题能力。1.顺推不行则逆推有些数学题，直接从已知条件入手来解，会得到多个结论，导致中途迷失方向，使得解题无法进行下去。此时若运用分析法，从命题的结论出发，逐步往回逆推，往往可以找到合理的解题途径。2.正面不行用反面这里的反面指的是用反证法，是初中阶段两大间接证发中的一种，另一种是同一法。3.直接不行换间接还有一些数学题，当我们直接去寻求结果十分困难时，可考察问题中的其他相关元素从而间接求得结果。总之，培养学生的逆向思维能力，不仅对提高解题能力有益，更重要的是改善学生学习数学的思维方式，有助于形成良好的思维习惯，激发学生的创新开拓精神，培养良好的思维品性，提高学习效果、学习兴趣，及提高思维能力和整体素质。当然，在初中数学教学中，要培养学生逆向思维能力，必须具备丰富而扎实的“双基”知识，量力而行，适可而止，且有机有节地长期进行养成训练，切不可急于求成，特别是对中、下面学生而言，过于强调这方面的能力，会增加其课业负担与精神压