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文档简介

1、例谈均值不等式的应用高英军 均值不等式是高中数学中非常重要的基本定理，应用十分广泛，因而倍受青睐。以下以相关高考题为例，说明它在高考中的广泛应用。一、求最值 例1. （2004年湖北高考题）已知，则有（ ） A. 最大值B. 最小值 C. 最大值1D. 最小值1 解析：因为 所以，当且仅当时等号成立，故选D。 评注：运用均值不等式是求解函数最值的方法之一，解题的关键是将分式拆成满足均值定理条件的式子，应特别注意不等式成立的条件。二、求取值范围 例2. （2004年福建高考题）如图1，P是抛物线C：上一点，直线l过点P，且与抛物线C交于另一点Q，若直线l不过原点，且与x轴交于点S，与y轴交于点T

2、，试求的取值范围。图1 解：设直线，依题意k0，b0，则T（0，b），又设P（x1，y1）、Q（y2，y2） 由P、Q、T三点共线，得 即 则 即， 于是。 分别过P、Q作PP'x轴，QQ'x轴，垂足分别为P'、Q'， 则 ， 的取值范围是（2，） 评注：本题的解题关键是根据题设条件将化简，运用均值定理求出最值，进而求出其取值范围。三、比较大小 例3. （1994年全国高考题）已知函数（a0，且a1，），若，判断的大小，并加以证明。分析：由于，联想到利用基本不等式可知两对数的真数的大小，再由对数函数的单调性，可知大小 解：由已知得 ， （当且仅当时取“”号）。当。即有，（当且仅当时取“”号）； 当。即有（当且仅当时，取“”号）。四、解实际应用题 例4. （2004年上海高考题）某单位用木料制作如图2所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y（单位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8m2，问x，y分别为多少（精确到0.001m）时，用料最省？图2解：由题意得，即。于是，框架用料长度为。当时等号成立，此时，故当x为2.343m，y为2.828m时，用料最省。 评注：本题是应用问题考查的一道起步试

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