2013高中数学 第八课时 2.5从力做的功到向量的数量积（一）教案 北师大版必修4

1、第八课时 2.5从力做的功到向量的数量积（一）一、教学目标：1.知识与技能：（1）通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义.（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系. （3）掌握平面向量数量积的运算律和它的一些简单应用.（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.2.过程与方法：教材利用同学们熟悉的物理知识（“做功”）得到向量的数量积的含义及其物理意义、几何意义.为了帮助学生理解和巩固相应的知识，教材设置了4个例题；通过讲解例题，培养学生逻辑思维能力.3.情感态度价值观：通过本节内容的学习，使同学们认识到向量的数量积与物理学的做功

2、有着非常紧密的联系；让学生进一步领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的数量积，有助于激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神.二.教学重、难点 重点: 向量数量积的含义及其物理意义、几何意义；运算律.难点: 运算律的理解三.学法与教法 (1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.四.教学过程 【探究新知】（学生阅读教材P107108，师生共同讨论）qsF思考：请同学们回忆物理学中做功的含义，问对一般的向量a和b，如何定义这种运算？1.力做的功：W = |F|s|cosq q是F与s的夹角2.定义：平面向量数

3、量积（内积）的定义，ab = |a|b|cosq，并规定0与任何向量的数量积为0。×3.向量夹角的概念：范围0°q180°q = 0°q = 180°qqqqOOOOOOAAAAAABBBBBBCC展示投影由于两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别；因此强调注意的几个问题：两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定。两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个数量的积，书写时要严格区分。在实数中，若a¹0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a¹0，且

4、ab=0，不能推出b=0。因为其中cosq有可能为0.这就得性质2.OaAcbab 已知实数a、b、c(b¹0)，则ab=bc Þ a=c.但是ab = bc Þ a = c 如右图：ab = |a|b|cosb = |b|OA| bc = |b|c|cosa = |b|OA| Þab=bc 但a ¹ c在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c ¹ a(bc)显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.展示投影思考与交流：思考与交流1.射影的概念是如何定义的，举例（或画图）说明；并指出

5、应注意哪些问题.AOOBOB1OabqAOOBOB1OabqAOOBO(B1)Oabq 定义：|b|cosq叫做向量b在a方向上的射影。注意：射影也是一个数量，不是向量。当q为锐角时射影为正值；当q为钝角时射影为负值；当q为直角时射影为0；当q = 0°时射影为 |b|；当q = 180°时射影为 -|b|.思考与交流2.如何定义向量数量积的几何意义？由向量数量积的几何意义你能得到两个向量的数量积哪些的性质（学生讨论完成，教师作必要的补充）. 几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积。性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。ea

6、= ae =|a|cosq ab Û ab = 0当a与b同向时，ab = |a|b|；当a与b反向时，ab = -|a|b|。 特别的aa = |a|2或cosq =（|a|b|0） |a×b|a|b|【巩固深化，发展思维】判断下列各题正确与否：若a = 0，则对任一向量b，有ab = 0. ( )若a ¹ 0，则对任一非零向量b，有ab ¹ 0. ( × )若a ¹ 0，ab = 0，则b = 0. ( × )若ab = 0，则a 、b至少有一个为零. ( × ) 若a ¹ 0，ab = ac，则b

7、= c. ( × ) 若ab = ac，则b = c当且仅当a ¹ 0时成立. ( × ) 对任意向量a、b、c，有(ab) c ¹ a (bc). ( × ) 对任意向量a，有a2 = |a|2. ( )例1.已知：解：（1）（2）例2.已知都是非零向量，且垂直，垂直，求的夹角。解：由(a + 3b)(7a - 5b) = 0 Þ 7a2 + 16ab -15b2 = 0 (a - 4b)(7a - 2b) = 0 Þ 7a2 - 30ab + 8b2 = 0 两式相减：2a×b = b2 代入或得：a2 = b

8、2设a、b的夹角为q，CABDab则cosq = q = 60例3.用向量方法证明：菱形对角线互相垂直。 证：设= a , = b ABCD为菱形 |a| = |b| = (b + a)(b - a) = b2 - a2 = |b|2 - |a|2 = 0即菱形对角线互相垂直。【巩固深化，发展思维】1.教材P109练习1、2题2. 教材P111练习1、2、3、4、5题【学习小结】 （学生总结，其它学生补充）有关概念：向量的夹角、射影、向量的数量积.向量数量积的几何意义和物理意义.向量数量积的五条性质.五、评价设计作业：习题2.5 A组第3、4、5、6、7题 2（备选题）：在ABC中，设边BC，CA，AB的长度分别为a，