北京市高考试题立体几何汇编

1、2011-2017北京市高考试题立体几何汇编1、(2011文5)某四棱锥的三视图如右图所示，该四棱锥的表面积是（ ）.A32 B16+16C48 D16+322、(2011理7)某四面体的三视图如右图所示，该四面体四个面的面积中最大的是（ ）A. 8 B. C.10 D.3、(2012理7，文7)某三棱锥的三视图如右图所示，该三棱锥的表面积是（ ）.A B. C. D. 4、(2013，文8)如右图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有()A3个 B4个 C5个 D6个5、(2013，文10)某四棱锥的三视图如下图所示，该四棱锥的体积为_

2、6、(2013，理14)如右图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为7、(2014，理7)在空间直角坐标系中，已知，若，分别表示三棱锥在，坐标平面上的正投影图形的面积，则（A）（B）且（C）且（D）且8、(2014，文11)某三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为.9、(2015理5)某三棱锥的三视图如下图所示，则该三棱锥的表面积是A B C D510、（2015文7）某四棱锥的三视图如右图所示，该四棱锥最长棱的棱长为(A)1 （B） （B） (D)211、（2016理6）某三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的体积为（）ABCD1正（主）视图左（

3、侧）视图俯视图12、（2016文11）某四棱柱的三视图如右图所示，则该四棱柱的体积为_. 13、（2017理7）如右图，某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）（A）3（B）2（C）2（D）214、（2017文6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）（A）60 （B）30（C）20 （D）1015、（2017理16）如下图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD平面ABCD，点M在线段PB上，PD/平面MAC，PA=PD=，AB=4（I）求证：M为PB的中点；（II）求二面角B-PD-A的大小；（III）求直线MC与平面BDP所成角的正弦

4、值16、（2017文18）如图，在三棱锥PABC中，PAAB，PABC，ABBC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点（）求证：PABD；（）求证：平面BDE平面PAC；（）当PA平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积17、（2016理17）如右图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PA=PD，ABAD，AB=1，AD=2，AC=CD=（）求证：PD平面PAB；（）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（）在棱PA上是否存在点M，使得BM平面PCD？若存在，求的值，若不存在，说明理由18、（2016文18）如图，在四棱锥中，平面，()求证：平面；()

5、求证：平面平面；（）设点为的中点，在棱上是否存在点，使得平面，说明理由19、（2015文18）如图，在三棱锥E-ABC中，平面EAB 平面ABC，三角形EAB为等边三角形，AC BC,且AC=BC=,O,M分别为AB,EA的中点。（1） 求证:EB/平面MOC. （2） 求证：平面MOC平面 EAB.（3） 求三棱锥E-ABC的体积。20、（2015理17）如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，为的中点() 求证：；() 求二面角的余弦值；() 若平面，求的值21、(2014文17)如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，、分别为、的中点.（1）求证：平面平面；（2）求证：平面；（3）求三棱锥的

6、体积.22、(2014理17)如图，正方形的边长为，、分别为、的中点，在五棱锥中，为棱的中点，平面与棱、分别交于点、.（）求证：；（）若平面，且，求直线与平面所成角的大小，并求线段的长.23、(2013理17)如图，在三棱柱中，是边长为4的正方形平面平面，（）求证：平面；（）求证二面角的余弦值；（）证明：在线段上存在点，使得，并求的值.24、(2013文17)如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD平面ABCD，PAAD.E和F分别是CD和PC的中点求证：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.25、(2012，文16)如图1，在

7、RtABC中，C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图2。(I)求证：DE平面A1CB；(II)求证：A1FBE；(III)线段A1B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？说明理由。26、(2012理16)如图，在中，、分别为、上的点，且/，将沿折起到的位置，使，如图（）求证：平面；（）若是的中点，求与平面所成角的大小；（）线段上是否存在点，使平面与平面垂直？说明理由27、(2011理16)如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，。（I）求证：平面（）若，求与所成角的余弦值； （）当平面与平面垂直时，求的长；2

8、8、(2011文17)如图，在四面体PABC中，PCAB，PABC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.（）求证：DE平面BCP； （）求证：四边形DEFG为矩形；（）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由.答案： 1、B 2、C3、B4、B5、3 6、7、D 8、9、C 10、C 11、A 12、 13、B 14、D15、（I）设交点为，连接.因为平面，平面平面，所以.因为是正方形，所以为的中点，所以为的中点.（II）取的中点，连接，.因为，所以.又因为平面平面，且平面，所以平面.因为平面，所以.因为是正方形，所以.如图建立空间直角坐标系，则，.由题

9、知二面角为锐角，所以它的大小为.（III）由题意知，.设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.16、解：（I）因为，所以平面，又因为平面，所以.（II）因为，为中点，所以，由（I）知，所以平面.所以平面平面.（III）因为平面，平面平面，所以.因为为的中点，所以，.由（I）知，平面，所以平面.所以三棱锥的体积.17、（）证明：平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCD=AD，且ABAD，AB平面ABCD，AB平面PAD，PD平面PAD，ABPD，又PDPA，且PAAB=A，PD平面PAB；（）解：取AD中点为O，连接CO，PO，CD=AC=，COAD，又PA=PD，PO

10、AD以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：则P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，1，0），C（2，0，0），则，设为平面PCD的法向量，则由，得，则设PB与平面PCD的夹角为，则=；（）解：假设存在M点使得BM平面PCD，设，M（0，y1，z1），由（）知，A（0，1，0），P（0，0，1），B（1，1，0），则有，可得M（0，1，），BM平面PCD，为平面PCD的法向量，即，解得综上，存在点M，即当时，M点即为所求18、证明：()因为平面，所以，又因为，所以，平面()因为，所以，又因为平面，所以， 所以平面 由平面， 所以平面平面（）棱上存在点，使得平面，理由如下：取的中点，连结因

11、为点为的中点，所以又因为不在平面内，所以平面19、解：（I）因为O,M分别为AB，的中点，所以/. 又因为平面MOC， 所以VB/平面MOC. （II）因为，为AB的中点， 所以OCAB. 又因为平面平面，且平面，所以平面所以平面平面（III）在等腰直角三角形中，所以，所以等边三角形的面积又因为平面，所以三棱锥的体积等于又因为三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，所以三棱锥的体积为20、解：（I）因为AEF是等边三角形，O为EF的中点，所以AOEF. 又因为平面AEF平面EFCB，AO平面AEF，所以AO平面EFCB.所以AOBE.（）取BC中点G，连接OG. 由题设知EFCB是等腰梯形， 所以OG

12、EF. 由（I）知AO平面EFCB 又OG平面EFCB，所以OAOG. 如图建立空间直角坐标系O-xyz， 则E（a,0,0），A（0，0，）， B（2，（2-a），0），=（-a，0，），=（a-2，（a-2）,0）. 设平面ABE的法向量为n=（x,y,z） 则： 即 令z=1，则x=，y=-1.于是n=（，-1,1） 平面AEF是法向量为p=（0,1,0） 所以cos（n，p）=. 由题知二维角F-AE-B为钝角，所以它的余弦值为 （）因为BE平面AOC，所以BEOC，即. 因为=（a-2，（a-2），0），=（-2，（2-a），0）， 所以=-2（a-2）-3. 由及0<a<

13、;2，解得a=.21、（1）证明：三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，BB1AB，ABBC，BB1BC=B，ABB1BCC1，AB平面ABE，平面ABEB1BCC1；（）证明：取AB中点G，连接EG，FG，则F是BC的中点，FGAC，FG=AC，E是A1C1的中点，FGEC1，FG=EC1，四边形FGEC1为平行四边形，C1FEG，C1F平面ABE，EG平面ABE，C1F平面ABE；（）解：AA1=AC=2，BC=1，ABBC，AB=，VEABC=22、解： （I）在正方形中，因为是的中点，所以.又因为平面，所以平面.因为，且平面平面，所以.（II）因为底面，所以，.如图建立空间直角坐

14、标系，则，.设平面的法向量为，则，即令，则.所以.设直线与平面所成角为，则.因此直线与平面所成角的大小为.设点的坐标为.因为点在棱上，所以可设，即.所以，.因为是平面的法向量，所以，即.解得，所以点的坐标为.所以.23、解：(1)因为AA1C1C为正方形，所以AA1AC.因为平面ABC平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，所以AA1平面ABC.(2)由(1)知AA1AC，AA1AB.由题知AB3，BC5，AC4，所以ABAC.如图，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz，则B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)设平面A1BC1的法向量为n(x

15、，y，z)，则即令z3，则x0，y4，所以n(0,4,3)同理可得，平面B1BC1的法向量为m(3,4,0)所以cosn，m.由题知二面角A1BC1B1为锐角，所以二面角A1BC1B1的余弦值为.(3)设D(x，y，z)是直线BC1上一点，且，所以(x，y3，z)(4，3,4)解得x4，y33，z4.所以(4，33，4)由·0，即9250，解得.因为0,1，所以在线段BC1上存在点D，使得ADA1B.此时，.24、证明：(1)因为平面PAD底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA底面ABCD.(2)因为ABCD，CD2AB，E为CD的中点，所以ABDE，且ABDE.所

16、以ABED为平行四边形所以BEAD.又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.(3)因为ABAD，而且ABED为平行四边形，所以BECD，ADCD.由(1)知PA底面ABCD，所以PACD.所以CD平面PAD.所以CDPD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PDEF.所以CDEF.所以CD平面BEF.所以平面BEF平面PCD.25、26、解：（1），平面，又平面，又，平面（2）如图建系，则，,设平面法向量为则又与平面所成角的大小（3）设线段上存在点，设点坐标为，则则，设平面法向量为则假设平面与平面垂直则，不存在线段上存在点，使平面与平面垂直27、（）因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD.又因为PA平面ABCD.所以PABD.所以BD平面PAC.（）设ACBD=O.因为BAD=60°，PA=PB=2,所以BO=1，AO=CO=.如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz，则P（0，2），A（0，0），B（1，0，0），C（0，0）.所以设PB与AC所成角为，则.（）由（）知设P（0，t）（t>0），则，设平面PBC的法向量,则，所以令则所以同理，平面PDC的法向量，因为平面PCB平面PDC,所以=0，即，解得，所以PA=28、解：（）因为D，E分别为AP，AC的中点，所以