2021年普通高等学校招生全国统一考试,(1)

1、本文格式为Word版，下载可任意编辑2021年普通高等学校招生全国统一考试,(1) 年一般高等学校招生全国统一考试 3 3 数 学( ( 理科) ) 一、选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1已知集合 0,1,2,3,4 A = ，集合 | 2 , B x x n n A = = Î ，则 A B = ( ) A 0 B 0,2,4 C 2,4 D 0,2 2若复数3i(1 2iaz a R+= Î-， i 是虚数单位）是纯虚数，则 z 的值为( ) A2 B3 C i 3 D i 2 3在某次联考

2、数学测试中，同学成果 x 听从正态分布2(100, ( 0) s s > ，若 x 在 (80,120) 内的概率为 0.8 ， 则落在 (0,80) 内的概率为 （ ） A. 0.05 B. 0.1 C. 0.15 D. 0.2 4命题 : p " R Î x ， 0 12> + x ，命题 : q R Î $ q ， 5 . 1 cos sin2 2= + q q ，则下列命题中，真命题是（ ） A q pÙ B q pÙ Ø C q pÚ Ø D ) ( q p Ø Ù 5已知

3、数列 na 的前 n 项和为nS ，且满意2 12n n na a a+ += - ，5 34 a a = - ，则7S = （ ） A7 B 12 C14 D21 6如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ） A3 B11 C38 D123 7直线 l ： 2 x my = + 与圆 M ：2 22 2 0 x x y y + + + = 相切， 则 m 的值为 ( ) A 1 或 6 - B 1 或 7 - C 1 - 或 7 D 1 或17- 8已知曲线 1 ln 342+ - = xxy 的一条切线的斜率为21，则切点的横坐标为（ ） A 3 B 2 C 1 D 21 否开

4、头1 a =22 a a = +是10? a£a 输出结束 9 已知直线 m 和平面 , a b ，则下列四个命题中正确的是（ ） A若 a b ， m b Ì ，则 m a B 若 / m a ， / m b ，则 / a b C若 / a b ， / m a ，则 / m b D 若 / a b ， m a ，则 m b 10已知双曲线2 22 21( 0, 0)x ya ba b- = > > 的一个焦点到一条渐近线的距离为53c （ c 为双曲线的半焦距长），则该双曲线的离心率为（ ） A52 B32 C3 52 D 3 5 11若 , , a b c

5、均为单位向量，12× = - a b ， ( , ) x y x y = + ÎR c a b ，则 xy +的最大值是（ ） A1 B 3 C2 D 2 12函数 ( ) f x 是定义在 R 上的偶函数，且满意 ( 2) ( ) f x f x + = 当 0,1 xÎ 时， ( ) 2 f x x = 若在区间 2,3 - 上方程 2 ( ) 0 ax a f x + - = 恰有四个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围是（ ） A2 2( , )5 3 B2 4( , )3 5 C2( ,2)3 D (1,2) 二、填空题：本大题共 4 小题,每小题 5

6、 分,满分 20 分 13设2 65 2 60 1(1 )(1 2 ) x x a a x a x a x - + = + + +×××+ ，则2a = 14已知函数 sin( ) y x w j = + ( 0,0 )2pw j > < < 的图象如图， 则 j = 15已知偶函数 ( ) f x 在 0, ) +¥ 上单调递减， (2) 0 f = ， 若 ( 1) 0 f x- > ，则 x 的取值范围是_. 16曲线3( ) f x xx= - 上任一点 P 处的切线与直线 0 x = 和直线 y x = 所围成的三角形面

7、积为 三、解答题： 17（本小题满分 12 分）在等比数列 na 中，2 52, 16 a a = = （1）求等比数列 na 的通项公式； （2）若等差数列 nb 中，1 5 8 2, b a b a = = ，求等差数列 nb 的前 n 项的和nS ，并求nS 的最大值 71231y1x O 18（本小题满分 12 分）某次有 1000 人参与的数学摸底考试，其成果的频率分布直方图如图所示，规定85 分及其以上为优秀. （1）下表是这次考试成果的频数分布表，求正整数 a , b 的值； 区间 75,80) 80,85) 85,90) 90,95) 95,100 人数 50 a 350 30

8、0 b （2）现在要用分层抽样的方法从这 1000 人中抽取 40 人的成果进行分析，求其中成果为优秀的同学人数； （3）在（2）中抽取的 40 名同学中，要随机选取 2 名同学参与座谈会，记"其中成果为优秀的人数'为 X ，求 X 的分布列与数学期望. 19（本题满分 12 分） 如图，四棱锥 P ABCD - 中，底面 ABCD 为平行四边形， PA 底面 ABCD ， M 是棱 PD 的中点，且2 PA AB AC = = = ， 2 2 BC = （1）求证： CD 平面 PAC ； （2）假如 N 是棱 AB 上一点，且直线 CN 与平面 MAB 所成角的正弦值为1

9、05，求ANNB 的值 20（本题满分 12 分）已知抛物线22 ( 0) y px p = > 的准线与 x 轴交于点 ( 1,0) M - （1）求抛物线的方程，并写出焦点坐标； （2）是否存在过焦点的直线 AB （直线与抛物线交于点 A ， B ），使得三角形 MAB 的面积等于 4 2 ？若存在，恳求出直线 AB 的方程；若不存在，请说明理由 MPDCABN85 80 90 100 95 O频率组距分数 75 21（本小题满分 12 分）已知函数 ( ) 1xf x e ax = - - ( a 为常数)，曲线 ( ) y f x = 在与 y 轴的交点 A 处的切线斜率为 1

10、- （1）求 a 的值及函数 ) (x f 的单调区间； （2）证明：当 0 > x 时， 1 e2+ > xx； （3）证明：当*ÎN n 时，31 1 1 ( 1)1 ln2 3 (3e) nnn+ + + + > 请考生在 22、23 题中任选一题作答,假如多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号 22(本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程是22(24 22x tty tì=ïïíï= +ïî是参数），以原点 O 为

11、极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程 )4cos( 2pq r + = （1）推断直线 l 与曲线 C 的位置关系； （2）设 M 为曲线 C 上任意一点，求 y x + 的取值范围 23（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知 ( ) | 2| f x x = - （1）解不等式 ( ) 3 0 xf x + > ； （2）对于任意的 ( 3,3) xÎ - ，不等式 ( ) f x m x < - 恒成立，求 m 的取值范围 年一般高等学校招生全国统一考试 3 3 数 学( ( 理科) ) 答案 一、选择题：本大题共 12 小题

12、,每小题 5 分,满分 60 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C B D C B B A D B D A 1【解析】 | 2 , 0,2,4,6,8 B x x n n A = = Î = ， 0,2,4 A B = 2 解析】3i ( 3i)(1 2i) 6 3 2i1 2i (1 2i)(1 2i) 5 5a a a az+ + + - += = = +- - +， z 是纯虚数， 6 a = ， 3i z = 3【解析】1(0 80) 1 (80 120 0.12P P x x < < = - < < = 4【解

13、析】命题 p 真，命题 q 假，则命题 q Ø 真，故选 D 5【解析】2 12n n na a a+ += - ， 2 1 1 n n n na a a a+ + +- = - ，数列 na 为等差数列 5 34 a a = - ，3 54 a a + = ， 1 7 3 577( ) 7( )142 2a a a aS+ += = = 6【解析】第一次输出的值为21 2 3 + = ，其次次输出的值为23 2 11 + = 7【解析】圆方程可化为2 2( 1) ( 1) 2 x y + + + = ， 21 221mm- + -=+，解得 1 m = 或 7 m=- 8【解析】1

14、 32y xx¢ =- ，令1 3 12 2xx- = ，解得 3 x= 圆心到直线的距离等于半径， 21 221mm- + -=+，解得 1 m = 或 7 m=- 10【解析】双曲线的渐近线方程为 0 bx ay ± = ， 双曲线一个焦点到渐近线的距离为53c ， 2 253bcca b=+，2254ba= ， 2 2 22312c a b bea a a+= = = + = 11【解析】 , , a b c 均为单位向量， 1 = = = a b c ，2 2( ) x y = + c a b ，2 21 x y xy = + - ， 2 2( ) 1 3 3( )

15、2x yx y xy+ - = £ ， 2( ) 4 x y + £ ， 2 2 x y - £ + £ 12【解析】画出 ( ) y f x = 与直线 y ax a = + 的图象， 直线 2 y ax a = + 恒过定点 ( 2,0) - ， 由图可知 ( 2,0), (1,2), (3,2) P A B - PB PAk a k < < ，2 25 3a < < 二、填空题：本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分 13 30 【解析】5(1 2 ) x + 的通项1 5 5(2 ) 2r r r r rrT

16、C x C x+= = ， 22 15 52 12 2 1 1 30 a C C = ´ - ´ = 143p【解析】74 12 3T p p= - ， T p = ， 2 w = 7sin(2 ) 112pj ´ + = - ，7sin( ) 16pj + = - ，2pj < ，3pj = 15 ( 1,3) - 【解析】偶函数 ( ) f x 在 0, ) +¥ 上单调递减， (2) 0 f = ， ( ) 0 f x > ，可得 2 2 x - < < ， ( 1) 0 f x- > ， 2 1 2 x - <

17、 - < ，解得 1 3 x - < < 16 6 【解析】3( ) f x xx= - ，23( ) 1 f xx¢ = + 设0 0( , ) P x y ，则切线方程为0 0203(1 )( ) y y x xx- = + - ， 令 0 x = ，得06yx= - 由0 0203(1 )( )y xy y x xx= ìïí- = + -ïî，解得0022x xy x= ìí=î001 62 62S xx= × - × = 三、解答题： 17【解析】（1）在等

18、比数列 na 中，设公比为 q ， 2 52, 16 a a = = , 3A B2Oy1x P 141216a qa q= ìí=î，解得112aq= ìí=î， 数列 na 的通项公式是 12 nna-= （2）在等差数列 nb 中，设公差为 d 1 5 8 2, b a b a = = , 1 58 2= 16=2b ab a= ìí=î，1116+7 =2bb d= ìíî，1 =16= 2bdìí-î 2 21( 1) 17 28917

19、 ( )2 2 4nn nS bn d n n n-= + = - + = - - + ， 当 8 n= 或 9 时，nS 最大值为 72 18【解析】（1）依题意， 0.04 5 1000 200 a= ´ ´ = ， 0.02 5 1000 100 b= ´ ´ = . （2）设其中成果为优秀的同学人数为 x ，则 350 300 10040 1000x + += ，解得： 30 x= ， 优秀的同学人数为 30 名. （3）依题意，X 的取值为 0，1，2， 2102403( 0)52CP XC= = = ，1 110 302405( 1)13C

20、CP XC= = = ，23024029( 2)52CP XC= = = ， X 的分布列为 X 0 1 2 P 352 513 2952 3 5 29 3( ) 0 1 252 13 52 2E X = ´ + ´ + ´ = ， X 的数学期望为32. 19【解析】（1）证明： 2 AB AC = = ， 2 2 BC = ， 2 2 2AB AC BC + = ， AB AC AB CD ， AC CD PA 平面 ABCD ， CDÌ 底面 ABCD ， PA CD AC PA A = ， CD 平面 PAC （2）以 A 为原点建立空间直角坐标

21、系,如图， 则 (0,0,0) A ， (2,0,0) B ， (0,2,0) C ， ( 2,2,0) D - ， (0,0,2) P M 是棱 PD 的中点， ( 1,1,1) M - ( 1,1,1) AM = - ， (2,0,0) AB = 设平面 MAB 的一个法向量为 ( , , ) x y z = n ， 由00AMABì× =ïí× = ïînn，得02 0x y zx- + + = ìí=î， 取 1 y = ， (0,1, 1) = - n N 是在棱 AB 上一点， 设

22、( ,0,0) N x ， ( ,2,0) NC x = - 设直线 CN 与平面 MAB 所成角为 a ， 则22 10sin cos ,5 | | | |2 4NCNCBAxa×= < > = = =×´ +nnn， 解得 1 x= ，即 1 AN = ， 1 NB = ， 1ANNB= . 20【解析】（1）由已知可得 12p- = - ， 2 p = 抛物线的方程为24 y x = ，焦点坐标 (1,0) F （2 2 ）设直线 AB 的方程为 1 x ty = + ， 由214x tyy x= + ìí=î，得2

23、4 4 0 y ty - - = 设1 1( , ) A x y ，2 2( , ) B x y ，则1 24 y y t + = ，1 24 y y ? - 1 21( )2MAB AMO BMOS S S MF y yD D D= + = + 1 2y y = -2 21 2 1 2 1 2( ) ( ) 4 y y y y y y = - = + - × 24 1 4 2 t = + = ，解得 1 t =± 故直线 AB 的方程为： 1 0 x y + - = 或 1 0 x y - - = 21【解析】（1）由 ( ) e 1xf x ax = - - ，得 (

24、) e x f x a ¢ = - . 又 (0) 1 1 f a ¢ = - = - ， 2 a = . ( ) e 2 1xf x x = - - ， ( ) e 2xf x ¢ = - . 由 ( ) e 2 0xf x ¢ = - > ，解得 ln2 x > . 函数 ) (x f 在区间 ( ,ln2) -¥ 上单调递减，在 (ln2, ) +¥ 上单调递增. x yzN BACDPM （2）证明：由（1）知ln2min( ) (ln2) e 2ln2 1 1 ln4 f x f = = - - = - . (

25、) 1 ln4 f x ³ - ，即 e 2 1 1 ln4xx - - ³ - ， e 2 2 ln4 0xx - ³ - > . 令2( ) e 1xg x x = - - ，则 ( ) e 2 0xg x x ¢ = - > . ( ) g x 在 (0, ) +¥ 上单调递增， 2( ) e 1 (0) 0xg x x g = - - > = ，即2e 1xx > + . (2)首先证明：当 0 x > 时，恒有31e3xx > . 证明如下：令31( ) e3xh x x = - ，则2( ) e

26、x h x x ¢ = - . 由(2)知，当 0 x > 时，2e x x > ， ( ) 0 h x > ， ( ) h x 在 (0, ) +¥ 上单调递增， ( ) (0) 1 0 h x h > = > ，31e3xx > . 31ln( )3x x > ，即 ln3 3ln x x + > . 依次取2 3 1, , ,1 2nxn+= ，代入上式，则 2 2ln3 3ln1 1+ > ， 3 3ln3 3ln2 2+ > ， 1 1ln3 3lnn nn n+ + > . 以上各式相加，有2 3 1 2 3 1ln3 3ln( )1 2 1 2n nnn n+ + + + + > ´ ´ ´ ( )1 1 1(1 ) ln3 3ln 12 3n n nn+ + + + + + > + ， ( )1 1 11 3ln 1 ln32 3n n nn+ + + + > + - - ， 即( )31 1 1 11 ln2 3 3 en nnn+ + + + > 22【解析】（1）直线 l 的一般方程为 4 2 0