反比例函数经典例题(有答案)

1、反比例函数专题复习一、反比例函数的对称性1、宜线y=ax (a>0)与双曲线y=3/x交于A(X1，y。、B (x2, y2)两点，则4*1%-3*2丫产2、如图1,直线y=kx (k>0)与双曲线y=2/x交于A, B两点，若A, B两点的坐标分别为A(X】，yi)» B (x：, y：)» 则 x.+x*】的值为()A、 -8 B、 4 C、 -4 D、 0解析：直线Y=KX和双曲线Y=2/X图象都关于原点对称因此两交点A、B也关于原点对称X2=-X1, Y2=-Y1双曲线形式可变化为XY=2,即双曲线上点的横纵坐标乘积为2因此X1Y1=2二、反比例函数中“

2、K”的求法1、如图2,直线1是经过点(1, 0)且与y轴平行的直线.RtZkABC中直角边AC=4, BC=3.将BC边在直线1上滑动，使A, B在函数y=k/x的图象上.那么k的值是()A、 3 B、 6 C、 12 D、 15/4解析：；BC 在直线 X=1 上,设 B(L M),则 C(L M-3), AA(5, M-3), 又 A、B 都在双曲线上，Al*M=5*(M-3), M=15/4 即 K=15/42、如图3,已知点A、B在双曲线y=k/x (x>0)上，AC_Lx轴于点C, BDJ_y轴于点D, AC与BD交于点P, P是AC的中点，若ABP的面积为3,则k= 解析：A

3、(xl, k/xl), B(x2, k/x2) AC:x=xlBD:y=k/x2P (xl, k/x2) k/x2=k/2xl 2xl=x2 BP=x2-xl=xl AP=k/xl-k/x2=k/2xl S=xl*k/(2xl)*l/2)=k/4=3k=123、如图4,双曲线y=k/x (k>0)经过矩形OABC的边BC的中点E,交AB于点D.若梯形ODBC的面枳为3,则双曲线的解析式为()优秀资央迎下分 解析：设 E(xO, k/xO)E 是 BC 中点，.*.B(xO, 2k/x0)B、D两点纵坐标相同，/.D(x0/2, 2k/x0)BD=xO/2, OC=xO, BC=2k/xO

4、梯形面积二(BD+OC) XBC/2=3k/2=3k=2双曲线的解析式为：y=2/x三、反比例函数与面积的关系1、如图5,已知双曲线yi=l/x(x>0), yk4/x(x>0),点P为双曲线y二二4/x上的一点，且PA_Lx轴于点A, PB_Ly轴于点B, PA、PB分别次双曲线yE/x于D、C两点，则APCD的面积为()图5图6图7解析：假设P的坐标为(a,b),则C (a/4,b), D(a, b/4),PC=3/4*aPD=3/4*bS=l/2*3/4*a*3/4*b因为点P为双曲线y2=4/x上的一点 所以a*b=4所以S=9/82、如图6,直线1和双曲线y:k/x(k&

5、gt;0)交于A、B两点，P是线段AB上的点(不与A、B重合)，过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别为C、D、E,连接OA、OB、0P,设AOC的面积为，、ABOD的面枳为乱、APOE的面积为Ss,则()A、S1<S：<S3 B、S】>I>Ss C、S1=S二>&D、S尸工V，解析：结合题意可得：AB都在双曲线打kx上，则有S1=S2：而AB之间，直线在双曲线上方；故S1=S2Vs3.3、如图7,已知直线yr+3与坐标轴交于A、B两点，与双曲线y=k/x交于C、D两点，且S"S-c0K的,则 k=o解析：SAAOC=SACOD=SABOD=3

6、/2 所以，CD 两点的坐标为(2,1) (1,2)k=24、反比例函数y=6/x与y=3/x在第一象限的图象如图8所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、0B,则aAOB的面积为()A、 3/2 B、 2 C、 3 D、 1解:设直线方程:y=b,则 A(6/b,b) B(3/b, b)|AB| = (6/b-3/b)=3/b , h(o-AB)=bs(OAB)=(1/2)*(3/b)*b=3/2图8图9图10图115、如图9,已知梯形ABC0的底边A0在x轴上，BC/7A0,AB_LA0,过点C的双曲线y二k/x交0B于D,且0D： DB=1： 2,若0BC的面积等

7、于3,则k的值()A、等于2 B、等于3/4 C、等于24/5 D、无法确定解析：如图，设点B(a,b),过点D作x轴垂线，垂足为E则点A (a, 0)点C的纵坐标为b,那么x=k/y=k/b所以，点C(k/b,b)0B所在的直线为y=(b/a)x,它与y=k/x相交所以，(b/a)x=k/x => x2=ak/b => x= V (ak/b)这就是点 D 横坐标 已知 OD/DB= 1/2,所以：0D/0B=l/3则，OE/OA=OD/OB=l/3=> J (ak/b)/a= 1/3=> a=3 V (ak/b)=> a*2=9ak/b=> ab=9k又

8、BC=a-(k/b)所以，SA0BC=(l/2) *BC*AB=(l/2) * a-(k/b) *b=3=> ab-k=6 => 9k-k=6=> k=3/4 6、如图10,反比例函数y=k/x(x>0)的图象经过矩形OABC对角线的交点M,分别与AB、BC相交于点D、E.若四边形ODBE的面积为6,则k的值为()A、1 B、2 C、3 D、4解：由题意得：E、M、D位于反比例函数图象上，则SA OCE= |k|/2, SA OAD= |k|/2,又M为矩形ABCO对角线的交点，则矩形ABCO的面积为4|k|,由于函数图象在第一象限,k>0,则k/2+ k/2+6

9、=4k, k=2.故选B7、如图11,梯形AOBC的顶点A, C在反比例函数图象上，OABC,上底边OA在直线y=x上，下底边BC交x轴于E (2, 0),则四边形AOEC的面枳为()优秀也门残过下皴！解析：四边形AOEC是梯形，需求出EC、OA和高(两平行线的距离);必须确认反比例函数是xy=l,否则反比例函数很靠近或远离坐标轴将使所得图形面枳变化不定。 直线BEC的方程为：y=x-2,与反比例函数交点坐标C的y坐标满足：(y+2)y=l,解得产出1； 因直线BEC的斜率是1, EC=a/2*C点y坐标=<2*(<2-1尸2-也；E 到平行线 0A 的距离 h=(2/2)*OE=

10、(2/2)*E 点 x 坐标=(<2/2)*2 = <2：A点坐标(1,1),所以OA=<2：四边形AOEC 的面积=(EC+OA)*11/2= (2-V2+V2)*V2/2= V2；8、如图，A、B是双曲线厂k/x (k>0)上的点，A、B两点的横坐标分别是a、2a,线段AB的延长线交x轴于点C,若SZkAOC=6.则k二解析：A, B是双曲线产k/x(k>0)上的点则 A(a,k/a) , B2a,k/(2a)AB 直线方程：(y-k/a) / (x-a) = (k/a-k/ (2a) / (a-2a)2a-2 y-2ak=-k(x-a)0-2ak=-k (x

11、-a)x=3a分别过点A、B作釉的垂线，垂足分别为D、E.则ADBE, AD=2BE= ka, B、E分别是AC、DC的中点. /.AadcAbec,VBE： AD=1： 2,/.EC： CD=1： 2,.,.EC=DE=a, OC=3a>又A (a, ka) , B (2a, k2a), /.SAAOC=12ADxCO=12 (a+2a) x ka= 3k2=6, 解得：k=4.AB的延长线交x轴于点C (3a, 0)四、反比例函数与一次函数综合：1、如图1,若正方形0ABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数y=l/x(x>0)的图象上，则点E的坐标是解析：很明显B (1,

12、1)设正方形ADEF边长为a则 E (1+a,a)在 Y=1/X 上即(1+a)a=1aA2+a-1=0用求根公式得a=(-1+75)/2 (因为a>0)E 的坐标是(1+75)/2 ,(1+45)/2 )2、如图2,过y轴上任意一点P,作x轴的平行线，分别与反比例函数 尸-4/x和y=2/x的图象交于A点和B点，若C为x轴上任意一点，连接AC, BC,则AABC的面积为( )A、3B、4C、5D、6优秀资料双划下皴！解析：设P点坐标为(0, a),则A点坐标为 y/aa) B点坐标为(2/a,a)所以AB的距离为2/a- (-4/a) =6/a点C到AB的距离为a所以三角形ABC的面积

13、为1/2x6/axa=33、如图3,直线y=-x+b (b>0)与双曲线y=k/x (x>0)交于A、B两点，连接0A、OB, AMJ_y轴于M,BN_Lx 轴于 N：有以卜.结论：®OA=OB：AOMgZXBO、若NA0B=45° , «ij SAAOB=k：当AB=2时，O*BN=1：其中结论正确的个数为()A> 1 B、 2 C、 3D、 4解:-x+b=k/x得出X值(用公式法解)一个为A的横坐标一个为B的横从标，把B的横坐标代入y=-x+b得B的纵坐标 与A的横从标相等即MO二ON,因为三角形AMO与三角形BON而积相等，所以MA=BN

14、,所以: AOMABON, 由勾股定理可行OA=OB,把A.B坐标表示出来,AB用两点间的距离公式可算出AB二根号2乘以根号卜B平方 减4K,因为AB二根号2,所以根号卜. B平方减4K=1 “ON-BN二根号卜. B平方减4K,所以ON-BN=1,最难的是第 三个结论解法如下：过。作OM垂直AB于点D ,可得三角形AOM与AOD面枳相等,三角形ODB与OBN面积相等，所以三角形 AOB面积为K选D4、如图4,宜线y=6-x交x轴、y轴于A、B两点，P是反比例函数y=4/x(x>0)图象上位于宣线下方的 一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点M,交AB于点E,过点P作y轴的垂线，垂足为点N,

15、交AB于 点 F.则 AF*BE=()解：过点E作EC_LOB于C,过点F作FD_LOA于D,直线y=6-x交x轴、y轴于A、B两点，AA (6, 0) , B (0, 6),AOA=OB,AZABO=ZBAO=45°, .BC=CE, AD=DF.VPM±OA, PN±OB,四边形CEPN与MDFP是矩形,，CE=PN, DF=PM,TP是反比例函数图象上的一点,PNPM =4,CEDF=4,在 RM BCE 中，BE= = CE,& RtA ADE 中，AF= = DF, ，AF-BE= CE DF=2CEDF=8.5、如图5,反比例函数y=k/x (

16、k>0)与一次函数y=l/2x+b的图象相交于两点A(Xx, %), B(X2,%),线段AB交y轴与C,当xi-X3|=2fi AC=2BC W, k、b的值分别为()A、 k= 1/2, b=2 B、 k= 4/9, b=l C、 k= 1/3, b= 1/3 D、 k= 4/9, b= 1/3解析：y=k/x y=x/2+b联立得，x2/2+bx-k=0x1+x2=-2b, x1*x2=-2k|x1-x2|=(x1 +x2L-4xr x2=2整理，4(b2+2k)=1【从这一步，就能推断出答案，只能选择答案是D】|AC|/|BC|=|x1|/|x2|=2【第一种情况】设x10, x

17、2>0x1=-2x2,|x1-x2|=3x2=2,故 x2=2/3, x1=-4/3 x1+x2=-2b=-2/3,即 b= 1/3 x1wx2=-2b=-8/9,即,k=4/9.【第二种情况】x1>0, x2<0x1=-2x2,|x1-x2|=-3x2=2,故 x2=2/3, x1=4/x同理,解出b=1/3, k=4/9综上可得，k=4/9, b=1/3或-1/30【没有设置b的条件，故，b可取负值也可取正值。】五、综合(函数与几何)1、加图，qABCD的顶点A、B的坐标分别是A (-1, 0), B (0, -2),顶点C、D在双曲线y二k/x上，边AD交y轴于点E,且

18、四边形BCDE的面积是4ABE面积的5倍，则k=解：过点D作x轴的垂线，垂足为M,过点C作y轴的垂线，垂足为N DM与CN交于点F则ABO02XCDFDF=2, CF=1,/四边形BCDE的面积是 ABE面积的5倍/.(BC+AD)=5AEA DE=2AE J MO=2AO 点D的横坐标为2,点C的横坐标为3设点的坐标为(2, m) 点C的坐标为(3, m-2) C, D都在函数y二k/x的图象上/.k=2m=3(m-2)解得 m=6,k=122、如图，己知C、D是双曲线，y二m/x在第一象限内的分支上的两点，直线CD分别交x轴、y轴于A、B两点,优秀资料收迎下缠!设C、D的坐标分别是(力,

19、y1)、(X2, y2)>连接oc、OD.(1)求证：y1<OC<y1+ m/yi：(2)若NBOC=NAOD=a, tana= 1/3, OC=根号 10,求直线 CD 的解析式:若存在，请给出证明；若不存在，请说(3)在(2)的条件下,双曲线上是否存在一点P，使得S/poc=Shod?明理rh.解：1.因为 CG<OC<CG+OG,所以 y1<OC<y1+my12.因为 OG:CG= 1:3QC二根号 10,所以 OG二 1, CG=3.解析式为y=W/x3双曲线y二上存在点P,使得S/kPOC=SzkPOD,这个点P就是NCOD的平分线与双曲线y

20、二的交点证明如下：点P在NCOD的平分线上.工点P到OC、OD的距离相等.又 OD =OC A Sa POD=Sa POC 3、如图，将一矩形OABC放在宜角坐际系中，O为坐标原点.点A在X轴正半轴上.点E是边AB上的一个动点(不与点A、N重合)，过点E的反比例函数y=k/x(x>0)的图象与边BC交于点F.(1)若OAE、aOCF的而枳分别为Si、S2.且Si+S2=2,求k的值：(2)若OA=2.0C=4.问当点E运动到什么位置时.四边形OAEF的面积最大.其最大值为多少？解：四边形OAEF的面积二矩形OABC的面积三角形OCF的面积-三角形BEF的面积此时E(2, 2)二 4*2

21、- (1/2)OCWCF -(1/2)EBTB=8 . (1/2)*4*k/4 -(172)(4 - k/2)(2 - k/4)=8 - k/2-(172)(8-k-k + k2/8)= 4 + k/2-k2/16=5-(k-4)2/16k二4时，四边形OAEF的面积最大，为5o4、如图，已知直线I经过点A (1, 0),与双曲线y二m/x (x>0)交于点B (2, 1).过点P (p, p-1) (p>1)作x轴的平行线分别交双曲线y二m/x (x>0)和y=-m/x (x<0)于点M、N.(1)求m的值和直线I的解析式；(2)打点P在直线y=2上，求证：APMBAPNA：(3)是否存在实数p,使得S amn=4S amp?若存在，请求出所行满足条件的P的值：若不存在，请说明理由.解：(1)把 B(2. 1)代入 y=m/x得 m=2,设直线I