专题65胡不归中的双线段模型与最值问题(解析版)

1、专题65胡不归中的双线段模型与最值问题【专题说明】胡不归模型问题解题步骤如下；1、将所求线段和改写为“PA+9pB”的形式（匕1）,若匕1,提取系数，转化为小于1的形式解决。 aaa卜2、在PB的一侧，PA的异侧，构造一个角度a,使得sina= 3、最后利用两点之间线段最短及垂线段最短解题【模型展示】如图，一动点尸在直线MV外的运动速度为H,在直线上运动的速度为V2,且乂、8为定点,点C在直线MV上，确定点。的位置使江+竺的值最小.匕 K即求8C+匕1C的最小值.构造射线,始 使得sinNZUA三妇CH/AC=k. CH=kAC.CH=kAC将问题转化为求BC+S最小值，过8点作8HLm交MN

2、于点C,交AD于H点,此时5C+CH取到最小 值，即BC+jI4c最小.在求形如“以+初夕的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将加4任好'型问题转化ZTE4+PC'型.【精典例题】1、在平面直角坐标系中，将二次函数y = ox2(a>0)的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得 到如图所示的抛物线，该抛物线与轴交于点A、3(点A在点8的左侧)，04 = 1，经过点A的一次函数 y = &+/?(AwO)的图象与y轴正半轴交于点C,且与抛物线的另一个交点为。，A43Z)的面积为5.(1)求抛物线和一次函数的解析式：(2)抛物线上的动点后在一次函数

3、的图象下方，求AACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；(3)若点夕为x轴上任意一点，在(2)的结论下，求PE +3PA的最小值.【答案】(Dy =，/一工一3； y = -x + - ： (2)AACE的面积最大值是空.此时E点坐标为(一妹)： 2222162© 73(3)尸石十二04的最小值是3.【详解】解：(1)将二次函数、二奴"。)的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式 为 y = a(x-l)- -2 ,二04 = 1,二点A的坐标为(一1,0),代入抛物线的解析式得，4。2 = 0，二d = 2二抛物线的解析式为y = 1(x-l)2

4、-2，即)，=g/ 一% g.令 y = 0,解得 X1= - l, =3,二 8(3,0),-AB = OA+OB = 4.二 A4BO的面积为 5,二 S*w)=1a8-)，/)=5,二九)=* 22代入抛物线解析式得,- = -x2-x- 2 2二，解得 =-2, x2 = 4 ,二。4,；N、乙)QAZ)的解析式为4k+ b = 2,解得：,k+b = 0k = -2h = -2一宜线AD的解析式为y = / x+/.过点E作轴交A£于M，如图，设E1 2a -a2二即 l+-=.m+2,- SgCE = Smme ACME=-x EM -1 = -a2 +31 a+ 2 x

5、l = - («2 3d3 a22)25H，16325(3 15二”i“ = 一时，MCE的而积有最大值，最大值是下，此时七点坐标为21612 8(3)作上关于x轴的对称点尸，连接EE交工轴于点G,过点尸作EHLAEF点，交工轴于点P.15I,OA = ,ZAG = + - = -. EG = 5_ AG _ 5 _4- EG -3T二 ZAGX = ZA”尸=90，PH EG 33ZsinZEAG =一，二 PH = AP, AP AE 55二E、/关于x轴对称，二PE = PF ,3二 PE 十二AP = FP+HP = FH ,此时尸最小,ZEF = x2 = , ZAEG =

6、 /HEF .Z sin ZAEG = sin ZHEF = =-AE EF 5ZFH=-x = 3.5 43二PE + 士PA的最小值是3.2、如图，二"C中，3=,衣7=10,加九4=2, BE二AC于点、E,。是线段班上的一个动点，则CO + BO5的最小值是（）【答案】B【详解】如图，作DH二AB于H, CMtAB于M.二 BE 二 AC,二二 AEB=90。，BE二 taiiA=2, 设 AE=a, BE=2a,AE则有：100=a2+4a2,Za2=20,二2=2逐或-2"（舍弃），二 BE=2a=4 忖二AB=AC. BE二AC, CM二AB,二CN仁BE=4

7、正（等腰三角形两腰上的高相等）ZZDBH=ZABE, ZBHD=ZBEA,二 sin /DBH二 dh二bd, 5二 CD+正 BD=CD-DH, 5二 CD+DHnCM,二 CD+BD% 底5二CD+BD的最小值为4有. 5故选B.3、已知抛物线y = ad+法+(。工0)过点A(LO), 8(3,0)两点，与y轴交于点C, OC=3.求抛物线的解析式及顶点。的坐标；(2)过点,4作AM_L3C，垂足为河，求证：四边形4DAM为正方形；(3)点尸为抛物线在直线3c下方图形上的一动点，当AP3C而积最大时，求点尸的坐标：(4)若点。为线段OC上的一动点，问：AQ + 'qC是否存在最小

8、值？若存在，求出这个最小值：若不存在, 2请说明理由.【答案】(1)抛物线的表达式为:)，二9一41+ 3,顶点(2)证哽见解析：(3)点P(4)存在，A0 +。的最小值为NI土西. 24【详解】(1)函数的表达式为：y = a(x-l)(x-3)= a(x2-4x+3),即：3a=3,解得：a=l,故抛物线的表达式为：y = x2-4x + 3.则顶点D(2, l)；(2)vOB = OC = 3. /./OBC = NOCB = 45*.ZA(LO), B(3.0),二 OB=3, OA=1,ZAB=2,=AM = MB = ABsin45° =叵，又二D(2, -1),ZAD=

9、BD= (2-l)2+(-l-0)2 =近，二 AM=MB=AD=BD,二四边形ADBM为菱形，又二 NAMB=90°，二菱形ADBM为正方形：(3)设直线BC的解析式为y=mx-n,将点B、C的坐标代入得：3m + = 0m = -1解得： 一， n = 3所以直线BC的表达式为：y=-x+3,过点P作y轴的平行线交BC于点N,设点P(x,x、4x + 3),则点N(x,-x+3),则 S“BC =-PNxOB = -(-x + 3-x2+4x-3)= -(x2-3x), 22233v-<0,故S"bc有最大值，此时x=3，故点P ： I z ，)(4)存在，理由：

10、如图，过点C作与y轴夹角为30°的直线CF交x轴于点F,过点A作AH_LCF，垂足为H,交y轴于点Q，此时HQ=；CQ ,则 AQ + QC 最小值=AQ+HQ=AH , 2FO在 Rt二COF 中，二COF=90°,二FOC=30。，OC=3, tanZFCO=，CO二 of二G二 f(-G 0),利用待定系数法可求得直线HC的表达式为：y = 底 + 3二，ZZCOF=90°, ZFOC=30°,ZZCFO=90o-30o=60°,二二 AHF=90。，ZZFAH=90°-60°=30%ZOQ=AO-tanZFAQ=正.

11、3二Q。正)， 3利用待定系数法可求得直线AH的表达式为：y = 一走X +且一 33联立二二并解得：x = s£，4汝点/甲，三叫，而点A(1,O),I 44 )则 AH = 近,4即AQ + QC的最小值为J? 一/ .244、已知抛物线y = F-bx + c （Z?, c为常数，>0 ）经过点A（-1,0）,点M（加,0）是x轴正半轴上的动 点.（C）当Z? = 2时，求抛物线的顶点坐标；（口）点。（仇X）在抛物线上，当AM=AO, ? = 5时，求/?的值；（匚）点。3 + ；,小）在抛物线上，当"AM+2QM的最小值为笑2时，求/?的值.【答案】（二）（1

12、,T）：（二）人=3点一 1；（二）b = 4【详解】解：（二）二抛物线y =/一以 + c经过点4（-1,。），Z +b+c = 0. U|. c = -/?-1.当 =2时，y = x2-2x-3 = （x-）2-4,二抛物线的顶点坐标为（1，Y）.（二）由（二）知，抛物线的解析式为丁 = /一以一一1.二点。（瓦加）在抛物线 y = x2 -bx-b- I:, yD = b2 - b - h - b - = -b - .由。>0,得b，>0, -b-l<o.2二点OS，b -1）住第四象限，且在抛物线对称轴x =-的右侧.2如图，过点。作轴，垂足为E,则点ES，0）.二

13、 AE = b + 1 , DE = /?+1. f i AE = DE - 二在 RtAAOE 中，ZADE = ZDAE = 45°.二AO =垃AE由已知 AAY=AQ, m = 5 .二 5-(-1)=应( + l).二b = 3应-1（二）二点QS + g,y0）在抛物线丁 =/一/?%-一1二 %=3+；）2一反 + ；）人一1 二-9一 乙乙乙 4可知点。（。+5，-5-/在第四级限，且在工田的右侧. 乙 乙 *考虑到应AM + 2QM = 2( AM + QM)，可取点 N(0,l),如图，过点。作直线4N的垂线,垂足为G, QG 'x轴相交于点"，

14、有NGAM =45) 得立AM=GM, 2则此时点用满足题意.过点。作JLx轴于点，则点( + 1,0). 2在 RtAMQH 中，可知 ZQMH = NMQH = 45°.二 QH = MH . QM = y/2MH .二点 M（加,0）,Z 0-(-) = (b + )-in . 解得g一；.二无AM +2QM二何2)- (-1) + 2伪("；)一(汨)=苧. 乙 1,乙乙 ",Z/? = 4.5、如图，在平而在角坐标系中，抛物线y=x2-2x-3与x轴交与点A, B （点A在点B的左侧）交y轴于点C, 点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E.（1）连结B

15、D,点M是线段BD上一动点（点M不与端点B, D重合），过点M作MN：BD交抛物线于点N （点N在对称轴的右侧），过点N作NH二x轴，垂足为H,交BD于点F,点P是线段0C上一动点，当 MN取得最大值时，求HF+FP+1PC的最小值：（2）在（1）中，当MN取得最大值HF+FP+1/3PC取得小值时，把点P向上平移个X单位得到点Q,连结AQ,把二AOQ绕点0瓶时针旋转一定的角度。（0。360。），得到二AOQ,其中边AQ交坐标轴于点 c在旋转过程中，是否存在一点G使得N。' = NQ'OG ?若存在,请直接写出所有满足条件的点Q的坐标： 若不存在，请说明理由.【答案】9群存在,

16、Q的坐标（竽竽殍,45/52 有1 ，-55【详解】 解：（1）如图1二抛物线、=炉-2,13与轴交于点4 3（点H在点3的左恻）,交y轴于点C二令y=0 解得：占=-1, g=3,令 x=0,解得：y= - 3,二X ( - 1, 0), B (3, 0), C (0, - 3)一,n “ 山八小人，, b -2 < 4ac-b2 4xlx（-3）-44一点。为抛物线的顶点，且=1.= -42a 2 4a4x1二点。的坐标为。（1, -4）二直线3。的解析式为：>=2x-6,由题意,可设点N2m - 3）,则点尸（加，2m - 6）二NF|= （2m - 6）-（加-2m-3）

17、= - nr+4ni - 3二当初=一=2时，NF取到最大值，此时MV取到最大值，此时即=2.2a此时，N（2, -3）,尸（2, -2）t H （2, 0）在X轴上找一点K （一逑，0）,连接CK,过点尸作CK的垂线交CK于点J点，交轴于点P,二 sin 二。=，直线 KC 的解析式为：y = -2y/2x-3,且点尸（2, -2）,ZPJ= - PC,直线E7的解析式为：y = 342_丁，2 2 V219 4>/2 .息 J ,99二FP-L pc的最小值即为FJ的长，且I E； |=+逆333-HF + FP + -PC J+,应: 3 刖 3（2）由（1）知，点尸（0, 一士3立）， 2二把点P向上平移走 个单位得到点Q 2匚点 Q（0, -2）二在Rt二40。中，二z!OG=90。，*。=6，取乂。的中点G,连接。G,则OG=GQ=1乂。=交，此22时，ZAOO=ZGOO把二TO0绕点。顺时针旋转一定的角度a （00<a<360°）,得到二TO。，其中边X。'交坐标轴于点G二如图2G点落在j轴的负半轴.则G (0,-1),过点。作以”轴交x