二重积分的计算法(2).

1、二鱼积分的计苏法(2)一、利用极坐标系计算二重积分JJ f （xydxdy = JJ/（rcos drsndrdrdd.DD=（pJ0）二重积分化为二次积分的公式（1） 区域特征如极点在区域之外a50< 0、5（0）<F <卩2（0）JJ/（rcos,rsin=f d0 ' /（rcos,rsin）r</r.Dr =（pAO）kM如图Ja<Q S P、5（0） <r < 02（&）/JJ/（rcos,rsin）rJrJ /1F 盂=J dO ）/（/cos0sm0）AY/z二重积分化为二次积分的公式（2）r = W(&)区域特征

2、如图（极点在D的边界上） ae< P，0 < r M q>0.JJ f （rcos,rsin）rJrJ0=J ""丄 f cosdr3xdrdrl'注意内下限未必全为0二重积分化为二次积分的公兀¥ iO、 区域特征如图（p'r（极点在D的内部）O7OM0V2兀，0尸0(0)JJ/ (r cos,r iind)rdrdO"f2/r "(0)1:1=Jo d&L f (rcos0rsnd)rdr. 极坐标系下区域的面积a = JJrJrrZ6. 例1写出积分的寂坐标二次积分形D式，其中积分区域 D = (x

3、,j)l l-xVyMjl-x2,0Kl解在极坐标系下辭I J = rsin所以圆方程为r = h直线方程为乔乔云0fxy)dxdy=J> If (r cos 3jrsndrdr.sln+cos &计算其中D是由中心在D原点,半径为G的圆周所围成的闭区域.在极坐标系下D： 0<r <«, O<0<27c.dxdy =厂dx.=兀（1 一 L）叶$例3求广义积分J；解、SD '9=（x）l/ + h< 川 02=（尤*）1兀2+$*2炉S =（x,j）IO X M /?,0y V /?X h （）,j 2 »显然有 D u

4、S u 02严7 > »,JJf 一f 必心< JJ<? 一宀，必心 <片宀心兀心./>!S罠又Y /=jj幺iFrfr心5一2/?=J：穴呵:e-F =（J：ed 如 2； 人=小4於必心=f d町笛F =中（1 - £-以）； 同理/2=口-宀從厶勿=-（l-e64人VI vQ兰（1-严 <（£70X）2 <IE（1_£-2A4Jo4当/?T8时，f T兀/ T兀1 f 4，2 f 4故当/?8时，/ -务即（厂必）2=：,所求广义积分J； hox =于.例4计算jj（兀2 + y）dxdy ,其D为由圆nH

5、I“2 = 3=>r = 4sin0兀 2+,2=2y,兀2 + ,2 =4,及直线x_p3尸 0 , y-V3x = 0所围成的平面闭区域.n解y 3x = 0兀2 +y2 =4yX V3j = 0兀2 +丿2 =2y=>r = 2sin0x+ydxdy =）沁匸：宀皿=15 丐一 75）. JJ6例5计算二重积分口血（晋匕于）必如O a/" +y其中积分区域为D = （x,j）ll<x'+j'<4.解 由对称性，可只考虑第一象限部分，D = 41注意：被积函数也要有对称性.in（”宀b）d炖=4口血（：2+冋必心 V 7- +J仏 f=4f

6、 阴 J：si：nr" =-4.例 6 求曲线（兀2 + y 2）2 = 2/（*2 一 ,2）r =aj2cos20,和x' + b >/所围成的图形的解 根据对称性有D = 40在极坐标系下兀2 +丿2 =/ nr =4,（兀2+$2）2 =加2（兀2 一 ,2）.(r =aJ2cos20由得交点A =（a，7）,6=jjdxdy =4ffdxdy例7计算口丿/?2_工2一问6：2+丿2心 D3% Rcos解 1= j d0=打（心宀23-纟所求面积7D4doj'' 2cg2®1:13 /?COS0de1 %3-R/?3-(0-/?2cos

7、20yW0R' %6 2J?3 1=牛(1-“1?0皿03 0疋 4=u-)33fl sin'lrfe(注意(sin'&F =lsin'&l)二、小结二重积分在极坐标下的计算公式JJ fr cos,r sin3rdrd3D；0 /(rcos0,r§m0)Mr =J "£ f (rcos,rsin0)rdr.J 2兀"(0)(在积分中注意石用对称性)d&L /(rcos,rsin)rjr.思考题交换积分次序：昇 Zcosd/=卫町0 f(r,Q)dr s A0)思考题解答0 <r <aco

8、s0Wanx'os-arccos-Qr3 = arccos B、Q、=«cos0>r0 = - arccos-a将口/(兀心儿"为兀2 + b M 2x,表示为极坐”标形式的二次积分，为将jlf(x,ydxdyO 为0< y < 1-兀，°< * < 1,表 D示为极坐标形式的二次积分为3>4、将呵广/(丁宀厂呛 化为极坐标形式的二 次积分.将1：厶iT/dvMy化为极坐标形式的二次积分 为.5x，其值为将f必J；(Z +y2p好化为极坐标形式的二次积 分i 二、计算下列二重积分：1、JJln(l + x2+ y2)rf

9、b,其中D 是由圆周x' + y? 及坐标轴所围成的在第一象限内的区域.2、JJX+y'Mcr其中D是由直线vx,I)y =兀+ a=3aa > 0)所围成的区域.3、JJJ宀宀皿,其中"是由圆周 兀彳+丁心所围成的区域.4、口/+)"-2",其中"F+h".三、试将对极坐标的二次积分f - .Ztf cosO/ = J/(r cos 0,r sin0)rJr 积分次序.4四、设平面薄片所占的闭区墀 是由螺线厂=2&上一段jrjr弧(0 S B W 5)与直线e = £所围成，它的面密度为22p(x,y) = x +求这薄片的质量.bl五、计算以XOy面上的圆周兀2+="围成的闭区域为底,而以曲面z为顶的曲顶柱体的体积.2>4、九练习题答案f -/2c<)s0f (cos 0,rsin0)rJr；2尸兀f (cosG-i-sInO)"*JoJof (r cos 0, r sin 0)rdr:兀2secd/(rWr；4nfr cos 0,rsin0)rrfr ；Jo JsecQtane*nsinO I5、JM