初一竞赛讲座02(特殊的正整数).

1、初一数学竞赛讲座(二 特殊的正整数一、知识要点1、1、完全平方数及其性质1、 4、 9、等都定义1如果一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数。如: 是完全平方数，完全平方数有下列性质：性质1任何完全平方数的个位数只能是0, 1, 4, 5, 6, 9中的一个。性质2奇完全平方数的十位数一定是偶数。性质3偶完全平方数是4的倍数。性质4完全平方数有奇数个不同的正约数。性质5完全平方数与完全平方数的积仍是完全平方数，完全平方数与非完全平方数的积是 非完全平方数。2、2、质数与合数定义2 一个大于1的整数a,如果只有1和a这两个约数，那么 a叫做质数。a叫做定义3 一个大于1的整数a如口果只有

2、1和a这两个约数外，还有其他正约数，那么 合数。1既不是质数也不是合数。3、3、质数与合数的有关性质(1 (1质数有无数多个2的质(2 (22是唯一的既是质数，又是偶数的整数，即是唯一的偶质数。大于数必为奇数。(3 (3 若质数Pa?b，则必有pa或pb。(4 (4 若正整数a、b的积是质数P,则必有a=p或b=p.(5 (5 唯一分解定理：任何整数n(n>1可以唯一地分解为:打於对其中p1 2 <k是质数，a1, a2,，a k是正整数。二、例题精讲1，比十位数字少1，比例1有一个四位数恰好是个完全平方数，它的千位数字比百位数字多 个位数字少2，这个四位数是 解设所求的四位数为

3、m2，它的百位数字为 a,则有 m2=1000(a+1+100a+10(a+2+(a+3=1111a+1023=11(101a+93因为 11 是质数，所以 11 I (101a+93,而 101a+93=11(9a+8+(2a+5 , 所以11 I (2 a+5，由题意 a+3<9,故a<6,从而a=3于是所求的四位数为4356例2一个四位数有这样的性质：用它的后两位数去除这个四位数得到一个完全平方数(如果它的十位数是0，就只用个位数去除，且这个平方数正好是前两位数加1的平方。例如4802方2=2401=492=(48+12，则具有上述性质的最小四位数是(1994年四川省初中数学

4、联合竞赛试题)解 设具有上述性质的四位数是100c1+c2，其中10W c1, c2w 99,按题意，得100c1+c2 = h ")车2 =* 2硏® + 厂， 100c仁 c1c2 (c1+2 ,100=即 二因而(c1+2100，又 10< cK 99,所以 c1=18 , 23, 48, 98相应地 c2=5, 4, 2, 1于是符合题意的四位数是1805, 2304, 4802, 9801,其中最小的是1805评注：本题根据题意，列出不定方程，然后利用整数的整除性来求解。例3三个质数a、b、c的乘积等于这三个质数和的5倍，贝y a2+b2+c2= (1996

5、年 希望杯”初二试题 分析：由题意得出 abc=5(a+b+c,由此显然得质数 a、b、c中必有一个是5,不妨设a=5,代入 前式中再设法求b、c 解因为abc=5(a+b+c,所以在质数a、b、c中必有一个是5,不妨设a=5,于是 5bc=5b+5c+25，即(b-1 (c-1=6，而 6=23=16,r6-i =Z八由得b=3,c=4，不合题意，由得b=2,c=7，符合题意。所以则心-7或.所求的三个质数是 5, 2, 7。于是a2+b2+c2=78评注：质数问题常常通过分解质因数来解决。例4试证：一个整数的平方的个位数字为6时，十位数字必为奇数。分析：一个整数的平方的个位数字为6,则这个

6、整数的个位数字必为4或6，从而可设此数为a=10g+4 或 a=10g+6 （g 为整数。证明：设一个整数为 a,则由一个整数的平方的个位数字为6知，此数可设为 a=10g+4 或 a=10g+6 (g 为整数 当 a=10g+4 时，a2=(10g+42=100g2+80g+16=10(10g2+8g+1+6 当 a=10g+6 时，a2=(10g+62=100g2+120g+36=10(10g2+12g+3+6 十位数字必为10g2+8g+1和10g2+12g+3的个位数字，显然是奇数。评注：类似地，可以证明：一个整数的个位数字和十位数字都是奇数，则这个整数不是完全平 方数。例4三人分糖，

7、每人都得整数块，乙比丙多得 是一个小于50的质数，且它的各位数字之和为 联赛试题）13块，甲所得是乙的2倍，已知糖的总块数11, 试求每人得糖的块数。（安徽省初中数学分析：设出未知数，根据题意，列出方程和不等式组，再通过质数的性质来求解。解设甲、乙、丙分别得糖x、y、z块，依题意得 二 2 y厂Z4 HV去H v+K为质数11 = 2+9 = 3+8= 4+7 = 5+6，故小于50且数字和为11的质数只可能是 29和47若x+y+z = 29,则可得4y=42 , y不是整数，舍去。若 x+y+z = 47,则可得 4y=60 , y = 15,从而 x=30, z=2甲、乙、丙分别得糖30

8、、15、2块.评注：本题的关键是分析出小于50且数字和为11的质数只可能是 29和47。这类问题是常利用质数的性质来分析求得所有的可能值，再设法检验求得所要的解。例5如果P与P+2都是大于3的质数，那么6是P+1的因数。(第五届加拿大数学奥林匹克试 题分析 任何一个大于3整数都可以表示成 6n-2,6n-1,6n,6n +1,6n+2,6n+3(n是大于0的整数中的一 种，显然6n-2,6n, 6n+2,6n+3都是合数，所以大于3的质数均可以写成 6n+1或6n-1的形式，问题即证明P不能写成6n+1的形式。解因为P是大于3的质数，所以可设 p=6n+1(n是大于0的整数，那么 p+2=6n

9、+1+2=6n+3=3(2n+1与p+2是大于3的质数矛盾。于是pM6n+1,所以p=6n-1(n是大于0的整数，从而p+1=6n，即6是p+1的因数。评注：对大于3整数合理分类是解决这个问题的关键。对无限多个整数进行讨论时，将其转化 为有限的几类是一种常用的处理方法。例6证明有无穷多个n,使多项式n2+3n+7表示合数。分析：要使多项式 n2+3n+7表示合数，只要能将多项式n2+3n+7表示成两个因式的积的形式。证明当n为7的倍数时，即n=7k(k是大于等于1的整数时n2+3n+7=(7k2+37k+7=7(7k2+3k+1 为7的倍数，所以它显然是一个合数。评注：本题也可将 7换成其他数

10、，比如：3、5、11等等。例7求证：22001+3是合数分析：22001+3不能分解，22001次数又太高，无法计算。我们可以探索2 n的末位数字的规律，从而得出 22001+3的末位数字，由此来证明22001+3是合数。证明：/ 21 = 2, 22= 4, 23 = 8, 24= 16, 25= 32, 26= 64, 27= 128, 29 = 256， 24k+1的末位数字是 2, 24k+2的末位数字是 4, 24k+3的末位数字是 8, 24k+4的末位数字是6 ( k为非负整数)而2001 = 4" 250+1 22001的末位数字是 2,.22001+3的末位数字是

11、5评注：本题另辟蹊径，通过探索2 n的末位数字的规律来得出 22001+3的末位数字，从而证明22001+3是合数。解数学竞赛题，思路要开阔。例 8 求证大于 11 的整数一定可以表示成两个合数之和。证明 设大于 11 的整数为 N若N=3k(k > 4,且k为整数，则N=6+3(k-2，显然6和3(k-2都是合数若N=3k+1(k > 4,且k为整数，则N=4+3(k-1，显然4和3(k-1都是合数若N=3k+2(k > 4,且k为整数，则N=8+3(k-2，显然8和3(k-2都是合数于是对任意正整数 N(N>11 ，一定可以表示成两个合数之和。评注：本题是通过对整数

12、的合理分类来帮助解题，这是解决整数问题的一种常用方法。但要注 意对整数的分类要不重复不遗漏。例9证明：n (n+1+1(n是自然数不能是某个整数的平方。分析：注意到n (n+1+1= n2+n+1 , / n是自然数， n2<n2+n+1<( n+12，这为我们证题提供了 出发点。证明：n (n+1+1= n2+n+1 , t n是自然数， n2<n2+n+1<( n +12 , 而 n、 n+1 是两个相邻的自然数， n (n +1+1(n是自然数不能是某个整数的平方。评注：本题应用了在两个相邻正整数的平方数之间不可能还存在一个完全平方数这个结论。例 10 如果一个自

13、然数是质数，且它的数字位置经过任意交换后仍然是质数，则称这个数为绝 对质数。证明：绝对质数不能有多于三个不同的数字。分析：绝对质数中出现的数字不会有偶数，也不会有5，因为有偶数和 5 它就一定不是绝对质数，则绝对质数中出现的数字只可能是 1， 3， 7， 9。接下来用反证法来证明这个问题。所以绝对质数中出现的数字不会1 ， 3， 7， 9。证明：因为绝对质数的数字位置经过任意交换后仍然是质数，有偶数，也不会有 5，即绝对质数中出现的数字只可能是假设有一个绝对质数M中出现的数字超过了3 个，也即这个绝对质数中出现的数字包含了 1，3，1、2、4、M =叽【仃口曲=的亠肋，m2=M+9137 M3

14、的倍数，所以他买了 3本日记本，售货员阿姨说应付134元，小红认为不对。=M+3791 M5=M+139,7M6=M+319,7 ）班可以分成人数相同的小组。因为 39、40和42是合数。（2）班和（4）班不可以分成人数相同的小组。因为 41、43M2 M3 M（1）长24米和宽1米（27被7除所得余数互不相同。因而必有一个是 0（3整除，这与此数是质数矛盾。所以假设不成立，所以绝对质数不能有多于三个不同的数字。米和宽3米（4）长6米和宽选择题1、在整数0、全平方数的个数为1、z，2、3、4、5、6、7、8、9中，设质数的个数为X，偶数的个数为y，完合数的个数为 u则x+y+z+u的值是（A、

15、17 B、15 C、13 D、 112、设n为大于1的自然数，则下列四个式子的代数值一定不是完全平方数的是（A、3n2-3n+3 B、5n2-5n-5 C、9n2-9n+9 D、11 n2-11 n-113、有3个数，一个是最小的奇质数，一个是小于 小质数，则这3个数的和是（50的的最大质数，一个是大于60的最A、101 B、110 C、111 D、1134、两个质数的和是 49,则这两个质数的倒数和是竺 空 箜 兰49 a 94 C 45 r 8呑5、a、b为正整数，且 56a+392b为完全平方数，则a+b的最小值等于（6、3个质数p、q、r满足等式p+q=r，且p ,则p的值是(填空题7、使得m2+m+7是完全平方数的所有整数m的积是8、如果一个正整数减去 54,是一个完全平方数，这个正整数加上35后，是另外一个完全平方数，那么这个正整数是9、一个质数的平方与一个正奇数的和等于125，则这两个数和积是10、p是质数，p2+2也是质数，则 1997+p4=11、若n为自然数，n+3 , n+7都是质数，则n除以3所得的余数是12、设自然数n 1>n2，且耳一=坷-矽，贝y n仁_，n2=解答题13、证明：不存在这样的三位数dhz，使此站十站成为完全平方数。14、试求四位数 弋3，使它是一个完全平方数。15、a、b、c、