培优专题14_如何做几何证明题(含答案).

1、14、如何做几何证明题知识精读】1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题 ,它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。 几何证明有两种基本类型 :一是平面图形的数量关系 ; 二是有关平面图形 的位置关系。 这两 类问题常常可以相互转化 ,如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法 :(1综合法(由因导果,从已知条件出发 ,通过有关定义、定理、公理的应用 ,逐 步 向前推进 ,直到问题的解决 ;(2分析法 (执果索因从命题的结论考虑 ,推敲使其成立需要具备的条件 ,然后再 把所需的条件看成要证的结论继续推敲 ,如此逐步往上逆求 ,直到已知事实为止 ;(3两头

2、凑法 :将分析与综合法合并使用 ,比较起来,分析法利于思考 ,综合法易于表达,因此,在实际思考问题时 ,可合并使用 ,灵活处理 ,以利于缩短题设与结论的距离 ,最后达到证明目的。3. 掌握构造基本图形的方法 :复杂的图形都是由基本图形组成的 ,因此要善于将复杂图 形分解成基本图形。 在更多时候需要构造基本图形 , 在构造基本图形时往往 需要添加辅助线 , 以达到集中条件、转化问题的目的。分类解析】1、证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它 问题最后都可化归为此类问题来证。 证明两条线段或两角相等最常用的 方法是利用全等三角 形的性质 ,

3、 其它如线段中垂线的性质、 角平分线的性质、 等 腰三角形的判定与性质等也经常 用到。例1.已知:如图1求证:DE =DF良直角二角形可知r NA =土 45® (由D鶴AB中庖w可考虑,ZDCA - 4自。.难发现応DU尸峑ADAE分析:由 ?ABC连结CD ,易得CD AD =证明:连结CDAC BC A BACB AD D BCD BD AD D CB B A AE CF A D CB AD CD= / = / =? = =/ = / =/ =/ =/ =90,DE DF说明:在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的

4、辅助线。显然,在等腰直角三角形中，更 应该连结CD ,因为CD既是斜边上的中线，又是底边上的中线。本题亦可延长 ED到G，使 DG =DE ,连结BG证？EFG是等腰直角三角形。有兴趣的同学不妨一试。求证:/ E =/ F例 2.已知:如图 2 所示,AB =CD , AD =BC , AE =CFlI/在？ABC和？CD A中,A B C D B C A D A C C A A B C C D A SSS B DA B C D A E C F B E D F在？BCE和？D A F中,BE D F B D BC D A BC E D AF SAS E F=/ =/ =?.? /=/?(说明:

5、利用三角形全等证明线段求角相等。 常须添辅助线，制造全等三角形，这 时应注意:(1制造的全等三角形应分别包括求证中一量；(2添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。2、证明直线平行或垂直在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可 用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、 三角形中位线 定理证明。证两条直 线垂直，可转化为证一个角等于90；或利用两个锐角互余，或等 腰三角形三线合一”来证。例3.如图3所示，设BP、CQ是？ABC的内角平分线,AH、AK分别为A到BP、 CQ的垂线.求证：KHllBC-心& KM Cm3分析:由已知,BH平分上A

6、BC ,又BH丄AH延按AH交B匚于N ”则BA= BN二HN"同理匹长AK交EC干M 则CA二CMAK M KM从而中二角形的中倚£亍AH 知 KH / BC。证明:延长AH交BC于N，延长AK交BC于M v BH平分/ ABC二=/ /ABH NBH 又 BH 丄 AH =?/ A H B N H B 90 BH =BH?.=二？ABH NBH ASA BA BN AH H N同理，CA =CM , AK =KM . KH 是？A M N 的中位线 .K H M N / 即 KH/BC说明:当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时，则此三角形必为等 腰三角形。我们也

7、可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折 （轴对称而成一个等腰三角形。例4.已知:如图4, AC = nr , ru丿,A.=DC求证:FD丄证明一:连结ADAB AC BD BAC BD D CBD ADB D AB D AE= . +=? = = =, / / / , / / / 129090在 ?A D E 和 ?B D F 中 ,AE BF B D AE AD BD AD E BD FFD ED? / =/ +/ =?丄,/ / , ?313290说明:有等腰三角形条件时 , 作底边上的高 , 或作底边上中线 , 或作顶角平分线是 常用 辅助线。证明二:如图 5所示,延长 ED 到

8、M ,使 DM =ED ,连结 FE , FM , BMBD D CBD M C BD M C D EC E BM C C BMBM ACA ABM A AB AC BF AE AF C E BM=/ =/ ? =/ =/ =?./ =? =/ = =, , ?/9090=丄?AEF BFMFE FM D M D E FD ED说明:证明两直线垂直的方法如下：（1首先分析条件，观察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用辅助线，见本题证（2找到待证三直线所组成的三角形，证明其中两个锐角互余。（3证明二直线的夹角等于90°3、证明一线段和的问题（一在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其

9、余部分等于另一较短线 段。（截长法例5.已知:如图6所示在？ABC中,/ =? B 60,/ BAC、/ BCA的角平分线AD、 CE相交于0。求还：AC 二 AE + CDS/ 02 3一一一=_6 八分祈：在AC上截取AF二AE。易知人EO-iAFUZI = Z2 ,由知 +即.ZI = 0° > Z2 + Z3 = 120° , . Z1 - Z2 - Z3 = 4 - 60? 60,，得:?FOC DOC FC DC ?二=,证明:在AC上截取AF =AE/ = / = ? / = / BAD CAD AO AOAEO AFO SAS , ?42又/ =? B

10、 60/ +/ =?/ =? / =/ =/ =/ =? ? =566016023120123460?FO C D O C AAS FC D C即 AC AE CD =+（二 延长一较短线段 , 使延长部分等于另一较短线段 , 则两较短线段成为一条线 段, 证明 该线段等于较长线段。 （补短法例6.已知:如图7所示,正方形ABCD中,F在DC上,E在BC上,/ =? EAF 45。求证:EF =BE +DFDACB EId：1捋会谡到困难.不易利用IE方形该一条件乜不姑延长CB至G分析:使BG =DF 。证明:延长CB至G，使 BG =DF在正方形 ABCD 中，/ =/ =? =ABG D

11、AB AD 90, ? =/ =/?ABG AD F SAS AG AF ( , 13又/ =? EAF 45/ +/ =?/ +/ =?23452145即 / GAE = / FAE = =+G E E F E F B E D F4、中考题:如图8所示，已知?ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E ,并且使AE =BD，连结 CE、DE。求证:EC =ED证明；作DF/AC交BE于F ?BFD是正三角形又AE =BD=二=A E F D B F B A A F E F即 EF=ACAC FDEAC EFD EAC D FE SAS EC ED/(/ =/ ? =?题型展示:证明几何不

12、等式:例题:已知:如图9所示，/ =/>12, AB AC 。E； Il证明：作DFZ/AC交BE于FZU#是正三角形在?A D E和？AD B中,AE AB AD AD AD E AD BBD D E E B D C E B D C E ED E D C BD D C=/ =/ = ? =/ =/ >/ >/ > >, , , , 21?证明二：如图10所示在AB上截取AF = AC,连结DF扎A $'、 -1.= 1D C圏10则易去 zmdcZ3 - Z4 . DF = DC叮 BFD > Z3. Z4 > Ztf/nrn > /n

13、 - > - >B D D F B D D C说明:在有角平分线条件时，常以角平分线为轴翻折构造全等三角形，这是常用 辅助线。【实战模拟】1. 已知:如图11所示,?ABC中,/ =C BC 于 E 且有 AC AD CE =。求证:D E =证明二：如010所示，在AB上截取AF二ACf则易证M UDC；-Z3 = Z4. DF = nc -RFD > Z3, N4 > /占2. 已知:如图求证:BC =2所71 r在AbC中J ZA = 2厶总F CD是wC的平分线卜I + AD0. 7-4C附123. 已知:如图13所示，过？ABC的顶点A ,在/ A内任引一射线

14、，过B、C作此射线的垂线BP和CQ。设M为BC的中点。求证：MP =MQ2所示在中, CD是zC的平分担:十AD4. ?ABC 中，/ =?丄 BAC AD BC 90,于 D，求证:(A D A B A C B C <+14【试题答案】1. 证明:取的中点F连结AF:-.FDE = 90°A F C =丄/ =又 / +/ =?/ + / =? 14901390,4312 AC C EAC F C ED ASA C F ED D E C D?(2. 分析:本题从已知和图形上看好象比较简单，但一时又不知如何下手，那么在证明一条线段等于两条线段之和时，我们经常采用截长补短”的手法。截长”即将长 的线段截，的中点F,连结AF:CDf = 90°CQ于RAP0宀RN7孔PVJ讪 P = ZC.WffCQ于RB =PQAPALl=RHW - XtfiC B C E B C D E C D C D C D C B D C E DB EB A C B B A C E=/=/ =?又 / = / + / BAC AD E