判别式——二次方程根的检测器

1、教师教案教学是教师的教与学生的学的统一，提高教学效率不但要保证教师教的效率，更要保证学生学的效率。在教学过程中，建立和谐、民主、平等的师生关系，是十分重要的。教师要随时了解学生的对所讲内容的掌握情况，同时更应注意学生的情绪变化和反应。及时与学生沟通，采取积极评价，使学生体验到尊重、信任、宽容、友爱的教育情感。特别对于基础差的学生，教师要更加关心和体贴他们。要根据学生的个性的差异，寻找他们的闪光点,及时进行表扬，让他们有较多的锻炼机会，给他们获得成功的体验，使他们意识到只要自己的努力,学习成绩就会提高，同时要培养他们的自信心， 让他们热爱数学,学习数学。只有这样，才能使教师的教与学生的学有机地结

2、合起来，才能确保课堂教学效率的提高。判别式次方程根的检测器8【例题求解】【例1】 已知关于X的一元二次方程(1-2k)x2-2后ix-1 =0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是。( 广西中考题)思路点拨：利用判别式建立关于 k的不等式组，注意1-2k、k+1的隐含制约。 注：运用判别式解题，需要注意的是：(1) 解含参数的二次方程，必须注意二次项系数不为0的隐含制约；(2) 在解涉及多个二次方程的问题时，需在整体方法、降次消元等方法思想的引导下，综合运用方 程、不等式的知识。【例2】已知三个关于y的方程：y2-y+ a =0 ,(-1) y2+2y+1=0 和 (-2)y2+2y-1=0

3、，若其中至少有两个方程有实根，则实数a的取值范围是()(山东省竞赛题)11a <2 B 、 a <丄或 1<x<2 C 、 a >1 D 、丄 <a <1思路点拨: 选择。【例3】44a的不等式组，综合判断“至少有两个方程有实根”有多种情形，从分类讨论人手，解关于 已知关于x的方程X2 -(k +2)x +2k =0 ,(1) 求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；(2) 若等腰三角形 ABC的一边长a = 1，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求ABC的周长。(湖北省荆门市中考题)思路点拨：对于(1)只需证明0;对于(2)由于未指明底与腰，须

4、分 b=c或b、c中有一个与c相等 两种情况讨论，运用判别式、根的定义求出b、c的值。注：(1 )涉及等腰三角形的考题，需要分类求解，这是命题设计的一个热点，但不一定每个这类题均有 多解，还须结合三角形三边关系定理予以取舍。(三个以上)(2)运用根的判别式讨论方程根的个数为人所熟悉，而组合多个判别式讨论方程多个根 是近年中考，竞赛依托判别式的创新题型，解这类问题常用到换元、分类讨论等思想方法。设方程x'+ax =4 ,只有3个不相等的实数根，求a的值和相应的3个根。（重庆市竞赛题）3个不相等的实数根，则其思路点拨：去掉绝对值符号，原方程可化为两个一元二次方程.原方程只有 中一个判别式大

5、于零，另一个判别式等于零。【例5】已知：如图，矩形 ABCD中，AD= a , DC= b，在AB上找一点E, 形分成的三个三角形相似，设 AE= x，问：这样的点 E是否存在？若存在， 这样的点E有几个？请说明理由。（云南省中考题思路点拨： 要使Rt ADE Rt BEC Rt ECD彼此相似，点 E必须满足/E点与C、D的连线将此矩)AED+/ BEC= 90 °,为此，可设在AE上存在满足条件的点 E使得Rt ADE Rt BEC建立一元二次方程的数学模型，通过判别式讨 论点E的存在与否及存在的个数。注:有:有些与一元二次方程表面无关的问题，可通过构造方程为判别式的运用铺平道路

6、，常见的构造方法利用根的定义构造； 利用根与系数关系构造; 确定主元构造。判别式二次方程根的检测器学力训练4、若关于x的一元二次方程(m 2)2x2 +（2m +1）x +1 =0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是3A 、 m < B43 3m >且 mH2 D、m <且 mH:4 4（山西省中考题）5、已知一直角三角形的三边为b、c , / B= 90°,那么关于x的方程a(x2 一1)-2cx +b(x2 +1) =0 的根的情况为（）A 、有两个相等的实数根C有两个不相等的实数根、没有实数根、无法确定（ 河南省中考题）6、如果关于x的方程（m_2）x2_2

7、（m_1）x +m=0只有一个实数根，那么方程2mx-(m + 2)x+(4-m) =0 的根的情况是（）A 、没有实数根BC 、有两个相等的实数根7、在等腰三角形 ABC中，/ A、D/ B、有两个不相等的实数根、只有一个实数根/C的对边分别为年河南省中考题）(2003b、C ,已知a =3 , b和c是关于x的方程x2 +mx+2 -m =0的两个实数根,求 ABC的周长。（济南市中考题）1、已知Ja十4 +|b +1 =0，若方程kx2+ax+b=0有两个相等的实数根，则k =2、若关于x的方程x2+2jkx_1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（辽宁省中考题）_k _2 *2

8、_4k +4 =3、已知关于x方程X2 J2k +4x+k =0有两个不相等的实数解，化简8、已知关于x的方程x2 +2(2 -m)x +3 _6m =0（1）求证：无论m取什么实数，方程总有实数根；如果方程的两实根分别为 xi、X2，满足xi =3 X2，求实数m的值。（盐城市中考题）a、b为实数，关于x的方程X2+ax+b =2有三个不等的实数根。(1)求证：a2 -4b -8 =0 ;60若该方程的三个不等实根，恰为一个三角形三内角的度数，求证该三角形必有一个内角是若该方程的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边，求a和b的值。（江苏省苏州市中考题）m的取值范围是。（2002年四川省竞赛题

9、）11、当 a =时，方程X2 +2(1 +a)x+(3a2 +4ab+4b2 +2) =0 有实数根。（全国初中10、关于的两个方程 X2 +4mx+2m+3 =0 , x2+（2m+1）x+m2 =0中至少有一个方程有实根，则数学联赛试题）12、若方程X2 _5X =a有且只有相异二实根,则 a的取值范围是13、如果关于x的方程 mx2 -2（m+ 2）x +m + 5=0没有实数根，那么关于x的方程2(m-5)x 2(m+2)x +m =0 的实根的个数()AC 、 0 D 、不能确定14、已知一元二次方程 x2+bx+ c=0,且b、c可在1、2、3、4、5 的方程共有（）A 、12个

10、 B 、10个 C、7个D、5个中取值，则在这些方程中有实数根（河南省中考题）15、已知 ABC的三边长为a、b、c,且满足方程ax2（C2 -a2-b2）x+b2 =0 ,则方程根的情况是（）A、有两相等实根B 、有两相异实根C 、无实根 D 、不能确定（河北省竞赛题）1 1 16、若 a、b、c、d>0 ,证明：在方程一 x2 +J2a + bx +托 =0 ；一 x2+J2b+cx+Jad =0 ； 221 X2 +J2c +d X +庙 =0；1x2 +V2d +ax +Jbc =0中，至少有两个方程有两个不相等的实数根。（湖北省黄冈市竞赛题）17、已知三个实数 a、b、c满足a

11、+b+c=0, abc = 1,求证：a、b、c中至少有一个大于18、关于X的方程kx2-（k-1）x+1 =0有有理根，求整数是的值。（山东省竞赛题）19、考虑方程（X2 10X+a）2 =b （1）若a =24,求一个实数b，使得恰有3个不同的实数x满足式。（2）若a > 25,是否存在实数b，使得恰有3个不同的实数x满足式？说明你的结论。 班招生试题）（国家理科实验20、如图，已知边长为 a的正方形ABCD内接于边长为b的正方形EFGH试求-的取值范围。a参考答案判别式二次方程的根的检测器【例题求解】由且1 -2吏式4得V2且A工亍.选 H &N I 4d»Aj&

12、#171;4ft 1)当Y<fl<l 时.氏 VO*缶>0*禹<；0：ft S当1<1生2时山1<九氏僅Q.禹工山爭tt：>2时I三0上2<：0也】A0.啟蛍riY或】疸dWE吋.至少两个右段右实根一（1） if贡一2尸do.故原方裡总冇实»根；2吋" 防-"2 .得b+r=A Y=4,fi符合三角形三边的先系.故ARC周氏为5“灵中有一 牛与"招尊时，不姑设f>=a=l，则r -<i+2> 乂 1+总Jt= I # + r = jt + 2 3疋这与” +右二.匕茅®+故a 不

13、能为腹.占-程等桃于如下两个方H ：r+tjj4 = 0工'十£1工十40两方程无相同的根由于原方程只肖3亍不相等的实战*故必有R.只有方程或有SIS .山=4 +1B異=«£冷 环由于也1沁故只町能是鸟=九即二土4相应朮得方程根为一2.2士2握；沢2±?7.由£= 擁理"得护一bjH涉=0箱=用一较=皿十£"“一E亦占亠2口>0.r QCH*-2n<0,SP由<加时皿九方程无实数解.即符合条件的点E不存在：CE）当*一2# = 0，即内二亦时方程冇两个相等实根*即点£存在*11

14、貝有一个是AB的中点T厲）出即ft>如时>4方稈冇两平不郴等实报*巧.2= 生竽运都持合題慰/卩存在两个点満足条杵.【学力训练】-42. tgO 3. 44. C 5. A 6. C 7+ 匸的周长孚或 73S. (l>A-4(m+irai(3)i«-0 或 4.(1)(2)原方程即为亠山=±2,扣=.一讪+乩也丁=崩一讪一氏因为廩方程有三亍不等的实敎粮-所以包4中曲有-个丸干0*另一个誓于.显然即4一#-8-山设方程十+a 丁+ir=2的根为4 W 右程=9+卫工+ 4=2前很为片，則工d=旳"丈j|+幻=-44-(S)由知心24血=&

15、止尸一4卄&=1氣方sf+b丁+心=氛两握为一 趣然二岁兰n二尹A二分2则（一号） + （二尸-（¥'解得口-一1&-0（舍去祖-¥-62.10.lb凸=-4"一4尸+ 3 + 2右尸耳0,又一4门一（1严+5+師尸总0,得4（1-4尸+（4 + 2古严=4二3-】/-一三.11.13.16.J 7.d = 0或flA学.当口=0时+方理有相斤-宜根*肖a>0时，刊jt-Sju = a+护一亦+ a = o.i,=25 + 4s爲亠E5- 44心则.15由前一平方程i.<0碍机*5时平方程为一皮方程匸当m>4时且5 , A

16、：>0,A IS, Cill = 2a +& 2iiii = ?&+f £（lit *禹=£+ t/ 2 i/ab I J* = £/ + tf+ jI】=庙一再尸 +尸 + G + rAd+凸* =石一揖尸+ t/77尸+ &+£>o”fl上、r必有一个为正.不妨设r>0,jMU+ft=-f.a6 = = ,a.*pJS作方稈F+cf*=0两富很上=，一4X （yx鼻4 即=色T门）当启-0时，£4-1方段有有理根-£2）当jtHO时.丙方程有有理根故若b是整數*则三点'一瑚+1血为完全平方数"即存在非頁雜数叭便肿一孤+1=卅+配方得"一3尸一世2 =3,即"一3 +曲“43亠曲=3,而氏'3 + ffl奇隅性相同*由一3丰肌二t-3-th 则k. 3+ n! =4f jfe 3+ m = £或.解狷i = 6或