对称式与轮换对称式

1、竞赛专题对称式与轮换对称式整理范本编辑word!1.基本概念【定义1】一个n元代数式f(X1, X2,皿 Xn)，如果交换任意两个字母的位置后，代nc Xj,数式不变，即对于任意的i, j (1 <i cj < n )，都有f (X1 Xi Xj,Hl Xn)= f(X1,n Xj，血 Xi,工 Xn)那么，就称这个代数式为 n元对称式，简称对称式。x + y 222例如，x + y, xy, ,X +y +z , xy + yz+zx都是对称式。 xy如果n元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为n元对称多项式。由定义1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在

2、对称多项 式f(X, y, z)中，若有ax3项，则必有ay3, az3项；若有bx2y项，则必有bx2z，2 2 2 2by Z, by x, bz x, bz y项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。根据对称多项式的定义，可以写出含n个字母的对称多项式的一般形式，例如，含有三 个字母X, y，z的二次对称多项式的般形式是:a(x2 +y2 +z2) + b(xy + yz + zx) + c(x + y + z) + d【定义2】如果一个n元多项式的各项的次数均等于同一个常数r,那么称这个多项式为n元r次齐次多项式。由定义2知，n元多项式X2,D,Xn)是r次齐次多项式，当且仅

3、当对任意实数t有f(tXi, tX2,口 tXn)=trf(Xi, X2口,Xn)。例如，含三个字母的三元三次齐对称式为:a(x+y+z) + bXy X 七 2y+x 2 y+z 2 z x)2 z+ y cx y z【定义3】一个n元代数式f(Xi, X2,口 Xn)，如果交换任意两个字母的位置后，代数式均改变符号，即对于任意的i, j (1<i cj < n )，都有f(Xi, 口 Xi,Q, Xj, 口 Xn)=f(X1 胆 Xj,JL, Xi, Xn)那么就称这个代数式为 n元交代式。例如，X - y,(x-y)( y-z)(z均是交代式。 X + y【定义4】如果一个n

4、交代数式f(X, X2 口 Xn) ，如果将字母Xi, X2，Xn以X2代Xi , X3代X2,口 Xn代Xn V X,代Xn后代数式不变，即f(Xi, X2,匚D Xn)三 f(X2, X3, Xn, Xi)a(x2 + y2 + z2)是对那么称这个代数式为 n元轮换对称式，简称轮换式。显然，对称式一定是轮换式，但轮换式不一定是对称式。例如,称式也是轮换式；b(x2y+y2z +z2x)是轮换式，但不是对称式。对称式、交代式、轮换式之间有如下性质:两个同字母的对称式的和、差、积、商仍是对称式;两个同字母的交代式的和、差是交代式它们的各、商是对称式;同字母的对称式与交代式的积、商是交代式;(

5、4)两个同字母的轮换式的和、差、积、商是交代式;多变无的交代多项式中必有其中任意两变元之差的因式。【定义5】下面n个对称多项式称为n元基本对称多项式。bi(X, X2, 口 Xn)=艺 Xii壬2(为，X2 口 Xn)= 2 XjXjk ( Xi, X2 , LLU Xn )=<1nz<i2Wk EnXi, Xi2 UlXikX n )= X 1 X 2 nnOx n例如，二兀基本对称多项式是指 X + y, xy,三元基本对称式是指 X + y + Z, xy + yz + zx, xyz当你学完了高等代数的时候就会知道，任何一个n元对称多项式都可以表示为基本对称 多项式的多项式

6、。这个结论对解题的指导作用。2.对称式、轮换式、交代式在解题中的应用为了初中学生学习的需要，我们在本讲里主要介绍二元和三元的情形，对于多元的情形,只需作类似的处理即可。F面是利用对称式、轮换式、交代式解题的一些常用技巧若 f(x.y, z）是对称式，则在解题中可设 x<y<z。（为什么？）若 f（X，y, z）是对称式，则当X，y满足性质P时，X, Z； y，z也满足性质p。若 f（X,y， z）是轮换式，则在解题中可设 X最大（小），但不能设X兰y兰Z。（为什么？）若 f（X，y，z）是轮换式，且 X，y满足性质P，贝y y，z； zX也满足性质p。若 f（X，y，z）是交代多项

7、式，则x-y.y -Z，Z-X是 f（X，y, z）的因式，即其中g（X, y, z）是对称式。f(X , z- ( X y( 7 z(z其中g（X, y, z）是对称式。在利用对称式作因式分解时，齐次对称多项式,齐次轮换对称多项式,齐次交代多项式是常用的。齐次对称多项式的一般形式:（1）二元齐次对称多项式一次:a(X +y),二次:2 2a(x +y ) +bxy三次:33a(x +y ) +bxy(x + y)（2）三元齐次对称多项式一次:a(x + y +z)二次:三次:2 2 2a(x + y +z )+b(xy + yz + zx)a(x3 +y3 +z3) +bx2(y + z)

8、+ y2(z + x) +z2(x + y)+cxyz判定mx + ny+rz是否为多项式f （x, y,z），的因式的方法是：令 mx + ny + rz=O,计算 f （X, y, z），如果 f（X, y, z）=0 ，那么mx+ ny + rz就是f （x, y, z）的因式，在实际操作时，可首先考虑 mx + ny+rz的如下特殊情形:X, x + y, xy, x + y + z x-y+z2 2 2 2 2 2【例 1】：已知多项式 f(x, y, z)=xy(x -y ) + yz(y -z )中 zx(z -x )(1)求证：f(x, y, z)是齐次式；(2)求证：f(x,

9、 y, z)是轮换式;(3)求证：f(x, y, z)是交代式；(4)分解因式f(x, y, z)。证(1)对于任意实数，有/(U, iy,= (u)( ；j)l (it)'-(纽)':+ 3)(3)" i (匕)+/. /(Jt y.-)是4次齐次式.(2) / y * “X)塞)丁 -+ 二 J - J) + ty(/ * 于)-/(X 寸，工 t 二是轮换对称式. T /(* 二严(yU)+ Xi(/ - J) + G( / -/)= x7(y -/)+ * -)+ (, - J) =1 f(工*y 2) w)= (/-/) *声2-J)* 试/ J) = -5

10、(/ -八尹L - F) + 2x( J -= -/(J,yU)ifa,二寸)=眉(子三 F)+ 旗-y') + yx(/ - x) 3 - iy(x - / ) + 尹()'- /) + »亠 f =-/( S 厂工)、二/(x.y,t)J6交代式，/ f (x, y, z)是交代多项式，(x-y X y-z Z-X)是它的因式。又因为f(X, y, z)是4次齐次式，所以它还有一个一次对称式因式x + y + z。于是，f (x, y, z)可表示为/(x，Xr£)= (x-y)(y*4r)(z-*x)x + y + z). 令"0寸=l,z

11、= 2*得12(卩-2) 1)( _2)(2-0)(0+1 +2)* 解得-b:'/(戈，F“)= *(x-j)y-z)j-x)( x + y + z).【例 2】：分解因式 f (x, y, z) =x3 +y3 +z33xyz。解 显然Hiy*)是3次齐次对称多项式，X + y + Z = th 得yF 十3机为 + y) = / +3刊(宜 + y) + #-(戈十汀 =(玄+ yFa + yy =0.'为+ y 4*是只为,y”)的一个因式.故它的另一个因式必为二次齐次对称式+所 以f(珀厂刃可表示为fd、y*M)= a + y+ £)(/ + / + ?)

12、+ B(今+ 产 + 妆)令 x = y =O,J = 1 A L再令 M = 0=：g=I,得 B = - I."所以 » y 1 j) = (x + y + )(x + jf + 2 xjr - yi zv) *【例 3】：分解因式 f(X, y, z) =2(x2y2 + y2z2+z2x2)(x4 中 y4+z4)。解1靱是4次齐次望尹拧* j/+r是4次齐次对称式.儿/fx. y, J是4次齐次錠取；.寻？.令 l + y- HsO* 得/(x，r，i)2x/ + ? + /)(x + y)'-x* + /+( + vV A - (J - yj'

13、+(X +刃匕云+2W J +刃勺 -(J E 於F + (算 + 7)*(z -= 0,-八2®有"丁七的因式由A对称性知*-；L“)+ ：也是 0(耳，八J的因式，从而(-耳+)4 =)(工-)+沙(X +)三工)是f(s ¥2)飽因式，因 为/为4次齐次轮换式，所以它还应有一个次齐次因式Jt(J( + V+：). P足/,z) S A：(x + J + *)( - X + 7 + )(x - y + f)( J + y- z).令"y=2l,得3 = A( + 1 + 1)( J + I + I)(J- I + I)(j + 1-1),二 A =

14、L .-./(x，7，;) s(I + y + I)i( - X + , * J)(x - y + 1)( J + y - z).【例4】:解显然/为"7 2的5次齐次对称式. 令X +分解因式 f(X, y, z) =(x + y + z)5-x5 - y5-z5H + = 01 得 yX s= X J J 一 f s 三 j' -（ -= 0.y是的因式"由对称性a, + J, *4 z的因式.于建U + r）i（z+.）（r + x）fe/的因式由于/是一个5次齐次对称式，所以还有一个二 次齐次对探式因式'战可设/（* = （茸 + 刃（"&

15、#163;& +工）"（，+，' +）+ B（秽 +” +衣）】 令 JC = Oy =工=1 *得 24 + 5 = 15, 令 X = y = 2 =，彳尋 A + B = 10, «立、解得A至B = 5 /.=5（蛊 + / +，+ 今+尸 + 0【例 5】:分解因式 f(X, y) = X4 + y4 +(X + y)4。解 显然是关于头y的4次齐次对称式*它显然无朋*如=0的因式. 故只可能是两个二次齐次对称多项式的积于是可设= k(x +如 + /)(x + 的 + /).令 X = 0, / = bis k = 2.再令 fl： = y =

16、l；l=-y=】，得12(4 + 2)( +2)= 18,l2(2-4)(2-B) = 2.鮮得A=B=L于是 /戈，y)=2(J + xr + yJS【例6】：分解因式(y2 -z2)(1+xy)(1 +xz)中(z2 -x2)(1 + yz)(1 +yx) +(x2 -y2)(1 +zx)(1 + zy)。解 令已知多项式为Ha),易验证刃是轮换对称式*当y-H = 0时，(F "2)(1 + ,)(1 + 驻)+ (-,)(1 +£(1 + 汙"、所以有因式y 因此，由轮换对称性知还有£-戈*亠y的因式，所以"-刃， 是f的因式用这个因式

17、除f得商式应是一个三次鲨理吝(不是齐次 的)故可设2/眾八 y)(y _ =比_幻5( J + / + /) + M/y + yl* /工)1(冇'+ 讨 + 2?) +如:Z +亡(J + y' +)+ /(刊+尹+却+ *茁+ y +工)+ 其中aHzM'Sf'g'h为待定常数*因为左边戈的最高次数是煮右边a - yXy - M)(工亠幻中的兀的最高次数是2, 所以方括号内工的次数不能超过1 +由轮换对祢性知，右边方括号内2的次数也不 能超过1.所以2二&斗"=0.比较两边丹的系数，得h 5比较两边x/的系数，得厂1；比较两边戈亍的

18、系数，得/=0;取1 = 3,y = 2,J- L得T".故 f(x, y, z) = (x-y Xy-zz-x Xxyz + x+y + z)对称式与轮换对称式练习题:1.已知f(x,(1)求证：(3)求证：2.分解因式(1)f(x,(2)f(x,(3)f(x,(4)f(x,(5)f(x,(6)f(x,(7)f(x,(8)f(x,(9)f(x,(10)f (ayy,y,y,y,y,y,y,y, z) =(x-y)5 +(y-z)5 +(z-x)5f为5次齐次式;f为交代式;y) =(x2 +xy+ y2)24z) =(x + y+z)z)z)z)(2)求证：f为轮换式;(4)分解因式f 。-4xy(x2 + y2)444444+ x +y +z -(y + z) -(z + x) -(x + y)3-= (x-y) +(y-z)+(z 3X)=(xy + yz + zxjjx + y + z )-xyz= x4(y-z)+y4(z-x) +z4(x-y )3333z) =(x + y+ z ) -x -y -zz) =x3 +y3 +z3 -x(y2 +z2 )-y(z2 +x2 )-z(x2 +y2)+2xyz2 2 2 2 2 2z)=xy+xy +xz+xz +yz