2019高考数学(理)”一本“送分专练选考部分(选修4-4、选修4-5)

1、1/13送分专练 6 选考部分(选修 4 4、选修4-5)(建议用时：60 分钟)1.选修 44:坐标系与参数方程(2017 全国卷U)在直角坐标系 xOy 中， 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 Ci的极坐标方程为posA4.(1)M 为曲线 Ci上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足 OM| |OP|= 16,求点 P的轨迹 C2的直角坐标方程；设点 A 的极坐标为?，n点 B 在曲线 C2上，求 OAB 面积的最大值.解(1)设 P 的极坐标为(p 9(p0)，M 的极坐标为(pi,9(p0).4由题设知QPI= p|OMI=cos9由 OM| |OP| = 1

2、6 得 C2的极坐标方程 尸 4cos9 p0).因此 C2的直角坐标方程为(x 2)2+ y2=4(XM0).设点 B 的极坐标为(p，a(p0).由题设知|OA|= 2，p= 4cosa，于是 OAB 的面积1 .S= 2|OA| sin/ AOB= 4cos当a= 时，S 取得最大值 2+ . 3.所以 OAB 面积的最大值为 2+，3.选修 45:不等式选讲(2017 全国卷U)已知 a0，b0，a3+ b3= 2 证明:55(1)(a+ b)(a5+ b5) 4；=2 2+ 3.2/13(2)直线 I 的普通方程为 x+4y a 4= 0,故 C 上的点(3cos9,sin9)到 I

3、 的(2)a+b 4.(2)因为(a+ b)3= a3+ 3a2b+ 3ab2+ b3= 2+ 3ab(a+ b)23(a+ b) 2+4(a+ b)= 2+3 a+ b4所以(a+ b)3 8,因此 a+ b g(x)的解集包含1,1,求 a 的取值范围.解(1)当 a= 1 时，不等式 f(x)g(x)等价于x2 x+ x+ 1|+ x 1| 4 0.2当 x 1 时，式化为 x2 3x 4g(x)的解集包含1,1等价于当 x 1,1时，f(x)2.又 f(x)在1,1的最小值必为 f( 1)与 f(1)之一，2当一 K x 1 时，式化为 x x 2 0,从而一 K x1 时，式化为 x

4、2+ x 4 0,1 + 717从而 1vx 4 时，d 的最大值为 yy 仃所以 f(x) g(x)的解集为 xK x1+ . 174/13所以 f( 1)2 且 f(1)2,得1waW1.所以 a 的取值范围为1,1.3.选修 44:坐标系与参数方程(2017 全国卷川)在直角坐标系 xOy 中，x= 2+1,直线 11的参数方程为，(t 为参数)，直线 12的参数方程为尸 ktx= 2 + m,m(m 为参数).设 l1与 l2的交点为 P,当 k 变化时，P 的轨迹为曲尸 k线 C.(1) 写出 C 的普通方程；(2) 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 l3:Pco

5、s9+sin9 2= 0，M 为 13与 C 的交点，求M的极径.解消去参数 t 得 l1的普通方程 11： y= k(x 2);1消去参数 m 得 12的普通方程 12： y=k(x+ 2).fy= k(x 2),设 P(x，y)，由题设得 1iy=kx+2)，消去 k 得 x2 y2= 4(yM0)，所以 C 的普通方程为 x2 y2= 4(yM0).C 的极坐标方程为p(cos29-sin29= 4(09 1 的解集；(2) 若不等式 f(x) x2x+ m 的解集非空，求 m 的取值范围.“ 一 3,xv 1,解(1)f(x)= 2x 1, Kx2.当 xv 1 时，f(x) 1 无解

6、；当一 1 x 1,解得 1x2 时，由 f(x) 1，解得 x 2.所以 f(x) 1 的解集为x|x 1.(2)由 f(x) x2 x+ m,得2m |x+ 1| |x 2| x + x.而|x+ 1 k 2| x2+ x |x|+ 1+ |x 2 x2+ |x|325且当 x= 2 时，|x+ 1|x 2| x + x = 4,故 m 的取值范围为,5.x=1+2t,4.选修 44:坐标系与参数方程已知直线 I 的参数方程为_2_(t 为参数).在以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的 方程52 对？x R 恒成立，求实数 a 的取值范围;代入 y3X2=0,8

7、/13当 av2 时，函数 f(x)的最小值为 a 1,求实数 a 的值.a解(1)f(x)+ x 1| 2 可化为 x 2 + X 1| 1.aaatx+ |x 1| 2 1 ,二 2 11，解得 a 4.实数 a 的取值范围为(, 0U4, +).函数 f(x)= |2x a|+ |x 11 的零点为 I 和 1,rta当 av2 时，2 1,3x+a+1 xv二f(x)二x a+ 1 | x 1 ,易知 f(x)在：一 2 单调递减，在单调递增,33/. a=二3【教师备选】选修 44:坐标系与参数方程(2016 全国卷I)在直角坐标系 xOy 中，曲线acos t,C1的参数方程为(t

8、 为参数，a0) 在以坐标原点为极点，x 轴正1 + asi n t,半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：尸 4cos0.(1) 说明 C1是哪一种曲线，并将 C1的方程化为极坐标方程；(2) 直线 C3的极坐标方程为0= a,其中a满足 tana= 2,若曲线 C1与 C2的公共点都在 C3上，求 a.解(1)消去参数 t 得到 C1的普通方程为 x2+ (y 1)2= a2,则 C1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆.9/13将 x= pcos0,y=pinB代入 Ci的普通方程中，得到 Ci的极坐标方程为p22pin0+1a0.(2)曲线 Ci, C2的公共点的极坐标满足方程组 2 2

9、P 2pin0+1a0,4cos0若pM0,由方程组得 16cos0-8sinBos0+1 -a2 0,由已知 tan0 2,可得 16co$0 8sin0cos 0,2从而 1 a 0,解得 a 1(舍去)或 a 1.当 a 1 时，极点也为 C1, C2的公共点，且在 C3上.所以 a 1.选修 45:不等式选讲(2016 全国卷I)已知函数 f(x) X+ 1| |2x 3|.画出 yf(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|1 的解集.解(1)由题意得 f(x)3x2,1 2, 故 y f(x)的图象如图所示.4解得 a=3V2.10/13(2)由 f(x)的函数表达式及图象可知,当

10、f(x) = 1 时，可得 x = 1 或 x= 3;1当 f(x)= 1 时，可得 x= 3 或 x= 5.故 f(x) 1 的解集为x|1vxv3,所以 |f(x)| 1 的解集为 x|xv1或 1vxv3 或 x5 .5.选修 44:坐标系与参数方程(2018 全国卷U)在直角坐标系 xOy 中,x=2cos0,曲线 C 的参数方程为*(0为参数)，直线 I 的参数方程为y=4sin0 x=1+tcos a,y= 2+tsina(t 为参数).(1) 求 C 和 I 的直角坐标方程；(2) 若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为(1,2),求 l 的斜率.2 2解(1)曲线 C 的

11、直角坐标方程为x+磊=1.当 cos a 0 时，I 的直角坐标方程为 y= tanax+ 2 tana,当 cos a 0 时，I 的直角坐标方程为 x= 1.(2)将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程，整理得关于 t 的方程2 2(1+3cosa)t+4(2cosa+sint8=0.因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点(1,2)在 C 内，所以有两个解，设为 t1,f(x)v 1 的解集为11/13t2.则 tl+ t2= 0.4(2cosa+sina又由得 ti+12=2，故 2cosa+sin a= 0,于是直线 I 的斜1+3cosa率 k=tana= 2.选修 45:不等

12、式选讲(2018 全国卷II)设函数 f(x) = 5 |x+ a| |x2|.(1) 当 a= 1 时，求不等式 f(x)0 的解集；(2) 若 f(x) 1,求 a 的取值范围.解(1)当 a= 1 时，2x+ 4, x 1,f(x)=2,1vx 2.可得 f(x) 0 的解集为x| 2x 3.(2)f(x)4.而|x+ a|+ x 2| |a+ 2|,且当 x= 2 时等号成立.故 f(x)w1 等价于|a+ 2|4.由|a + 2|4 可得 aW 6 或 a2.所以 a 的取值范围是(一00, 6U2, +X).6.选修 44:坐标系与参数方程(2018 全国卷I)在直角坐标系 xOy

13、 中， 曲线 C1的方程为 y= k|x| + 2以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，2曲线 C2的极坐标方程为p+ 2pcos9-3 = 0.(1) 求 C2的直角坐标方程；(2) 若 C1与 C2有且仅有三个公共点，求 C1的方程.解(1)由 x= pcos9,y= psin9得 C2的直角坐标方程为(x+ 1)2+ y2= 4.(2)由 (1)知 C2是圆心为 A( 1,0)，半径为 2 的圆.ii/i3由题设知，Cl是过点 B(0,2)且关于 y 轴对称的两条射线记 y 轴右边的射线 为 li,y轴左边的射线为 12由于点 B 在圆C的外面，故 Ci与 C2有且仅有三个公

14、 共点等价于11与 C2只有一个公共点且 12与 C2有两个公共点，或 12与 C2只有一 个公共点且 11与 C2有两个公共点.,”,k+2|当 li与 C2只有一个公共点时，A 到 li所在直线的距离为 2,所以-2= 2,屮2+ 144故 k= 3 或 k= 0.经检验，当 k= 0 时，li与 C2没有公共点；当 k= 3 时，li与 C2只有一个公共点，12与 C2有两个公共点.|k+ 2|当 12与 C2只有一个公共点时，A 到 12所在直线的距离为 2,所以 一=2,十 k2+ i44故 k= 0 或 k= 3.经检验，当 k= 0 时，li与 C2没有公共点；当 k=3 时，I

15、2与 C2没有公共点.4综上，所求 Ci的方程为 y= 3XI + 2.选修 45：不等式选讲(20i8 全国卷I)已知 f(x)= X+ i lax i|.(1) 当 a= i 时，求不等式 f(x)i 的解集；(2) 若 x (0,i)时不等式 f(x) x 成立，求 a 的取值范围.解当 a= i 时，f(x)=|x+ i| x i|，2, xi.故不等式 f(x)i 的解集为*|xJ，.当 x (0,i)时|x+ i|ax i|x 成立等价于当 x (0,i)时，|ax i|vi 成立.13/13若 ai；22若 a0, |ax 1|v1 的解集为 凶 0vxv- r,所以匚1,故 0

16、va 2综上，aaa的取值范围为(0,2.【教师备选】选修 44:坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 Ci的参数x=2cos方程为( 为参数)，在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标y= sin 系中，曲线 C2是圆心为 3,扌，半径为 i 的圆.(1)求曲线 Ci的普通方程，C2的直角坐标方程；设M为曲线 Ci上的点，N 为曲线 C2上的点，求|MN|的取值范围.x22解(1)消去参数可得 C1的普通方程为 4 + y2= 1.曲线 C2的圆心的直角坐标为(0,3),二 C2的直角坐标方程为 x2+ (y 3)2= 1.设 M(2cos , sin 机曲线 C2的圆心为 C2,则 |MC2|=、2cos(sin3f = / 4co + sin2 6sin + 9=.： 3sin 6sin + 13= 3 sin + 1 + 16. 1sinw1,|MC2|min=2,|MC2|max=4.根据题意可得 |MN|min= 2 1 = 1, |MN|max= 4+ 1= 5,故|MN|的取值范围是1,5.选修 4 5:不等式选讲已知函数 f(x)=x 1|+ x 2|,记 f(x)的最小值为 k.(1) 解不等式 f(x)wx+ 1；1 2(2) 是否存在正数 a, b,同时满足：2a+ b= k,：+ b= 4?并说明理由.解不等式 f(x)