2021-2022学年浙江省金华一中高一（上）期末数学试卷及答案解析

1、2021-2022学年浙江省金华一中高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 解析几何是17世纪法国数学家()和费马创立的，它的创立是数学发展史上的一个里程碑，数学从此进入变最数学时期，为微积分的创建奠定了基础A. 吴文俊B. 卡特C. 陈景润D. 笛卡尔2. 直线x2y+2=0的斜率为()A. 2B. 2C. 12D. 123. 倾斜角为120°，在x轴上的截距为1的直线方程是()A. 3x+y+1=0B. 3xy1=0C. 3x+y3=0D. 3x+y+3=04. 已知向量a=(1,1,0)，b=(1,0,2)，且ka+b与a2b互相垂直，则k=()A

2、. 114B. 15C. 35D. 1145. 经过点(1,0)且圆心是两直线x=1与x+y=2的交点的圆的方程为()A. (x1)2+y2=1B. (x1)2+(y1)2=1C. x2+(y1)2=1D. (x1)2+(y1)2=26. 若双曲线C1：x22y28=1与C2：x2a2y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为45，则b=()A. 2B. 4C. 6D. 87. 正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，则直线AD1与EF所成角的余弦值是()A. 12B. 63C. 32D. 628. 抛物线M：y2=4x的准线与x轴交

3、于点A，点F为焦点，若抛物线M上一点P满足PAPF，则以F为圆心且过点P的圆被y轴所截得的弦长约为(参考数据：52.24)()A. 2.4B. 2.3C. 2.2D. 2.1二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 平行于直线x+y+1=0，且与圆x2+y2=4相切的直线的方程是()A. x+y+22=0B. x+y2=0C. x+y22=0D. x+y+2=010. 下列方程能够表示圆的是()A. x2+y2=1B. x2y2=2C. x2+y2+2x=1D. x2+y2+xy1=011. 已知两点A(5,0)，B(5,0)，若直线上存在点P，使|PA|PB|=6，同时存在点Q，使|Q

4、B|QA|=6，则称该直线为“一箭双雕线”，给出下列直线，其中为“一箭双雕线”的是()A. y=x+1B. y=2C. y=43xD. y=2x12. 已知O是坐标原点，A，B是抛物线y=x2上不同于O的两点，且OAOB，下列结论中正确的是()A. |OA|OB|2B. |OA|+|OB|22C. 直线AB过抛物线y=x2的焦点D. O到直线AB的距离小于或等于1三、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 双曲线x24y212=1的离心率e= _ 14. 若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y=1相切，则圆C的方程是_15. 在三棱锥OABC中，已知OA，OB，OC两两垂直且相等，

5、点P，Q分别是线段BC和OA上的动点，且满足BP12BC，AQ12AO，则PQ和OB所成角的余弦的取值范围是_四、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16. 已知椭圆C：x24+y29=1与动直线l：y=32x+m相交于A、B两点，则实数m的取值范围为          ；设弦AB的中点为M，则动点M的轨迹方程为          五、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知直线l经过两

6、条直线l1：x+y4=0和l2：xy+2=0的交点，直线l3：2xy1=0；(1)若l/l3，求l的直线方程；(2)若ll3，求l的直线方程18. 已知椭圆C的两焦点分别为F1(22,0)、F2(22,0)，长轴长为6，(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知过点(0,2)且斜率为1的直线交椭圆C于A、B两点，求线段AB的长度19. 如图，在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E、F分别是AB、PB的中点(1)求证：EFCD；(2)求DB与平面DEF所成角的正弦值20. 已知圆C：x2+y2+2x3=0，直线l1与圆C相交于不同的A、B两点，点M(0,1)是线段

7、AB的中点(1)求直线l1的方程；(2)是否存在与直线l1平行的直线l2，使得l2与圆C相交于不同的两点E、F(l2不经过圆心C)，且CEF的面积S最大？若存在，求出l2的方程及对应的CEF的面积S.若不存在，请说明理由21. 如图，平面ABCD平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为梯形，AF/DE，AFFE，AF=AD=2DE=2()求证：EF平面BAF；()若二面角ABFD的平面角的余弦值为24，求AB的长22. 已知抛物线方程y2=4x，F为焦点，P为抛物线准线上一点，Q为线段PF与抛物线的交点，定义：d(P)=|PF|FQ|(1)当P(1,83)时，求d(P)；(2)证明：存在常

8、数a，使得2d(P)=|PF|+a；(3)P1，P2，P3为抛物线准线上三点，且|P1P2|=|P2P3|，判断d(P1)+d(P3)与2d(P2)的关系答案和解析1.【答案】D【解析】解：解析几何是17世纪法国数学家笛卡尔和费马创立的，它的创立是数学发展史上的一个里程碑，数学从此进入变最数学时期，为微积分的创建奠定了基础故选：D创立解析几何的主要数学家是笛卡尔、费马本题考查数学史，考查解析几何发展史等基础知识，是基础题2.【答案】C【解析】解：直线x2y+2=0，可得y=12x+1，所以直线的斜率为：12故选：C直接利用直线方程，求解直线的斜率即可本题考查直线的斜率的求法，是基础题3.【答案

9、】D【解析】解：设直线方程为y=kx+b，倾斜角为120°，k=tan120°=3，故y=3x+b，又在x轴上的截距为1，0=3×(1)+b，即b=3，故直线方程为3x+y+3=0，故选：D根据倾斜角可求出斜率，再根据截距即可求出答案本题考查了直线方程的倾斜角与斜率的关系以及截距的运用，属于基础题4.【答案】D【解析】【分析】本题考查空间向量坐标的加法、减法、数乘和数量积运算，以及空间向量垂直的条件，属于基础题可求出ka+b=(k+1,k,2)，a2b=(3,1,4)，根据ka+b与a2b互相垂直，即可得出(ka+b)(a2b)=0，进行数量积的坐标运算即可求出k

10、的值【解答】解：ka+b=(k+1,k,2)，a2b=(3,1,4)；ka+b与a2b垂直，(ka+b)(a2b)=3(k+1)+k8=0，解得k=114故选：D  5.【答案】B【解析】解：圆心是两直线x=1与x+y=2的交点，圆心为x=1x+y=2 的解，即圆心坐标为(1,1)，又该圆经过点(1,0)，半径为1，故圆的标准方程为(x1)2+(y1)2=1故选：B首项将两条直线联立，即可推得圆心坐标，再根据圆经过点(1,0)，即可求得圆的标准方程本题考查了圆的标准方程的求解，属于基础题6.【答案】B【解析】解：双曲线C1：x22y28=1的渐近线方程为y=

11、77;2x，由题意可得C2：x2a2y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax，即有b=2a，又2c=45，即c=25，即有a2+b2=20，解得a=2，b=4，故选：B求出双曲线C1的渐近线方程，可得b=2a，再由焦距，可得c=25，即有a2+b2=20，解方程，可得b=4本题考查双曲线的虚半轴长，注意运用双曲线的渐近线方程和基本量的关系，考查运算能力，属于基础题7.【答案】B【解析】解：正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，设正方体ABCDA1B1C1D1中棱长为2，以D为原点，建立空间直角坐标系Dxyz，则E(0,0,1)，

12、F(1,1,0)，A(2,0,0)，D1(0,0,2)，AD1=(2,0,2)，EF=(1,1,1)，设直线AD1与EF所成角为，则cos=|AD1EF|AD1|EF|=483=63直线AD1与EF所成角的余弦值是63故选：B以D为原点，建立空间直角坐标系Dxyz，利用向量法能求出直线AD1与EF所成角的余弦值本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查异面直线所成角的定义、向量法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题8.【答案】D【解析】解：由题意，A(1,0)，F(1,0)，点P在以AF为直径的圆x2+y2=1上设点P的横坐标为m，联立圆与抛物线的方程得x2+4x1=0，m>0，m=2

13、+5，点P的横坐标为2+5，|PF|=m+1=1+5，圆F的方程为(x1)2+y2=(51)2，令x=0，可得y=±525，|EF|=2525=252×2.24=2.1，故选：D由题意，点P在以AF为直径的圆x2+y2=1上，联立圆与抛物线的方程，求出点P的横坐标，利用抛物线的定义求出|PF|，可得圆F的方程，再令x=0，即可求出答案本题考查抛物线与圆的方程，考查抛物线的定义，确定点P在以AF为直径的圆x2+y2=1上是关键9.【答案】AC【解析】解：根据题意，要求直线平行于直线x+y+1=0，则设要求直线的方程为x+y+m=0，若要求直线与圆x2+y2=4相切，则|m|2

14、=2，解可得m=±22，则要求直线的方程为x+y±22=0；故选：AC根据题意，设要求直线的方程为x+y+m=0，由直线与圆的位置关系可得|m|2=2，解可得m的值，代入直线的方程计算可得答案本题考查圆的切线方程的计算，涉及直线平行的判定，属于基础题10.【答案】AC【解析】解：x2+y2=1是圆的标准方程，所以A正确；x2y2=2不是圆的方程，是双曲线方程，所以B不正确；x2+y2+2x=1化为(x+1)2+y2=2，是圆的方程，所以C正确；x2+y2+xy1=0，不是圆的方程，所以D不正确；故选：AC利用圆的标准方程与一般方程判断即可本题考查圆的方程的判断，是基础题11

15、.【答案】AB【解析】解：结合双曲线的定义，可得满足|PA|PB|=6的点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支，满足|QB|QA|=6的点Q的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的左支，则其中焦点坐标为A(5,0)和B(5,0)，即c=5，a=3，可得b=4；故双曲线的方程为x29y216=1，依题意，若该直线为“一箭双雕线”，则这条直线必与双曲线的左右支相交，进而分析可得，y=x+1，y=2与其相交，y=43x与双曲线的渐近线平行，与右支没有交点，y=2x代入双曲线的方程可得无实数解故选：AB结合双曲线的定义，可得满足|PA|PB|=6的点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支，满足|QB|QA|=

16、6的点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的左支，进而可得其方程，若该直线为“一箭双雕线”，则这条直线必与双曲线的左右支相交，依次分析4条直线可得答案本题考查双曲线与直线的位置关系，要掌握判断双曲线与直线相交，交点位置的判定方法，属于基础题12.【答案】ABD【解析】解：设A(x1,x12)，B(x2,x22)，(x10,x20 ) OAOB，OAOB=0，OAOB=(x1,x12)(x2,x22)=x1x2+x12x22=x1x2(1+x1x2)=0，1+x1x2=0，x2=1x1，|OA|OB|=(x12+x14)(x22+x24)=(x12+x14)(1x12+1x14)=1+x12

17、+1x12+12+2x121x12=2，当且仅当x12=1x12，即x1=±1时等号成立，故选项A正确，又|OA|+|OB|2|OA|OB|22，故选项B正确，直线AB的斜率为x22x12x2x1=x2+x1=x11x1，直线AB的方程为：yx12=(x11x1) (xx1)，当x=0时，y=1，焦点坐标(0,14)不满足直线AB的方程，故选项C错误，原点(0,0)到直线AB：(x11x1)xy+1=0 的距离d=1(x11x1)2+121，故选项D正确，故选：ABD设A(x1,x12)，B(x2,x22)，利用OAOB=0可得x2=1x1，再利用基本不等式即可求

18、出|OA|OB|22，从而|OA|+|OB|2|OA|OB|22，表达出直线AB的方程，再利用点到直线距离公式即可得到d=1(x11x1)2+121本题主要考查了抛物线的性质，考查了利用基本不等式求最值，考查了点到直线距离公式，是中档题13.【答案】2【解析】解：双曲线x24y212=1中，a2=4，b2=12，c2=16，a=2，c=4，e=ca=2故答案为：2利用双曲线x24y212=1，求出a，b，c，即可求出双曲线的离心率本题考查双曲线方程与性质，确定a，c的值是关键14.【答案】(x2)2+(y+32)2=254【解析】解：设圆的圆心坐标(a,b)，半径为r，因为圆C经过坐标原点和点

19、(4,0)，且与直线y=1相切，所以a2+b2=r2(a4)2+b2=r2|b1|=r，解得a=2b=32r=52，所求圆的方程为：(x2)2+(y+32)2=254故答案为：(x2)2+(y+32)2=254设出圆的圆心坐标与半径，利用已知条件列出方程组，求出圆的圆心坐标与半径，即可得到圆的方程本题考查圆的标准方程的求法，列出方程组是解题的关键，考查计算能力15.【答案】33,1【解析】解：如图所示，建立空间直角坐标系： 不妨设A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，P(0,b,1b)(12b1)，Q(a,0,0)(0a12). QP=(a,b,1b)，OB=(0,1,0)所以

20、，cos<QP，OB>=QPOB|QP|OB|=ba2+b2+(1b)2=1(ab)2+(1b1)2+1，因为ab0,1，1b1,2，所以a=0，b=1时，cos<QP，OB>=1取得最大值；a=b=12时，cos<QP，OB>=33取得最小值所以PQ和OB所成的角的余弦值的取值范围是33,1利用空间向量的夹角公式进行异面直线所成的角的求解，注意分类讨论本题考查了异面直线所成的角的夹角，向量夹角公式，考查了分类讨论的方法，推理计算能力，属于中档题16.【答案】(3,3)3x+2y=0，x(2,2)  【解析】【分析】本题考查直线与椭圆的位

21、置关系的应用，椭圆的简单性质的应用，轨迹方程的求法，考查计算能力直线与椭圆联立方程组，通过判别式大于0，求解m的范围；设出AB坐标，利用韦达定理，转化求解M的轨迹方程即可【解答】解：由y=32x+mx24+y29=1，得：9x2+6mx+2m218=0；设A(x1,y1)，B(x2,y2)，可得：=36m24×9(2m218)>0，可得：32<m<32设弦AB的中点为M(x,y)，可得：x=x1+x22=m3y=y1+y22=3(x1+x2)4+m=m2,可得：3x+2y=0，x(2,2)故答案为：(32,32)；3x+2y=0，x(2,2)  

22、17.【答案】解：(1)由x+y4=0xy+2=0，得x=1y=3，l1与l2的交点为(1,3)设与直线2xy1=0平行的直线为2xy+c=0，则23+c=0，c=1所求直线方程为2xy+1=0(2)设与直线2xy1=0垂直的直线为x+2y+c=0，则1+2×3+c=0，解得c=7所求直线方程为x+2y7=0【解析】(1)由x+y4=0xy+2=0，得l1与l2的交点为(1,3).设与直线2xy1=0平行的直线为2xy+c=0，由此能求出l的直线方程(2)设与直线2xy1=0垂直的直线为x+2y+c=0，由此能求出l的直线方程本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直

23、线的位置关系的合理运用18.【答案】解：(1)由F1(22,0)、F2(22,0)，长轴长为6，得：c=22，a=3，b=a2c2=1，椭圆方程为x29+y2=1；(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线AB的方程为y=x+2，联立y=x+2x29+y2=1，得10x2+36x+27=0，x1+x2=185，x1x2=2710，|AB|=2|x1x2|=2(x1+x2)24x1x2=2(185)24×2710=635【解析】(1)由题意可得c=22，a=3，由隐含条件求得b，即可得到椭圆方程；(2)设出A，B的坐标，联立直线AB的方程与椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，即可得

24、到线段AB的长度本题考查椭圆的方程和性质，考查韦达定理及弦长公式的应用，考查运算能力，属于中档题19.【答案】解：以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(如图)设AD=a，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a,a,0)，C(0,a,0)，E(a,a2,0)，P(0,0,a)，F(a2,a2,a2).(1)证明：EFDC=(a2,0,a2)(0,a,0)=0，EFDC，EFCD(2)设平面DEF的法向量为n=(x,y,z)，由(x,y,z)(a2a2a2)=0(x,y,z)(aa2,0)=0，得即a2(x+y+z)=0ax+a2y=0，取x=1，则y=2，z=

25、1，n=(1,2,1)，cos<BD，n>a2a6=36设DB与平面DEF所成角为，则sin=36【解析】以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设AD=a，求出D，A，B，C，E，P，F，坐标(1)通过EFDC=0，证明EFCD(2)设平面DEF的法向量为n=(x,y,z)，由(x,y,z)(a2a2a2)=0(x,y,z)(aa2,0)=0，推出n=(1,2,1)，利用cos<BD，n>a2a6=36.设DB与平面DEF所成角为，求出sin=36本题是中档题，考查空间向量求直线与平面的夹角，证明直线与直线的垂直，直线与平面所成的角，考查计

26、算能力20.【答案】解：(1)圆C：x2+y2+2x3=0，可化为圆C：(x+1)2+y2=4，圆心坐标为(1,0)，直线l1与圆C相交于不同的A、B两点，点M(0,1)是线段AB的中点，CM直线l1，kCM=1，直线l1的斜率为1，直线l1的方程为y=x+1；(2)设直线l2的方程为y=x+b，即x+yb=0，(1,0)到直线l2的距离为d=|1b|2<2，|EF|=24d2，CEF的面积S=12d24d2=d2(4d2)d2+4d22=2，当且仅当d2=4d2，即d=2时CEF的面积S最大，此时|1b|2=2<2，b=1或3，最大面积为2，直线l1的方程为y=x+1，l2的方程

27、为x+y+3=0【解析】(1)圆的方程化为标准方程，根据直线l1与圆C相交于不同的A、B两点，点M(0,1)是线段AB的中点，可得CM直线l1，求出斜率，即可求直线l1的方程；(2)设直线l2的方程，求出CEF的面积，利用基本不等式，即可得出结论本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，直线与圆的相交关系的应用及基本运算的能力21.【答案】()证明：平面ABCD平面ADEF，且ABCD为矩形，BA平面ADEF，又EF平面ADEF，BAEF，又AFEF且AFBA=A，EF平面BAF；()解：设AB=t以F为原点，AF，FE所在的直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系Fzy

28、z则F(0,0,0)，A(2,0,0)，E(0,3,0)，D(1,3,0)，B(2,0,t)，DF=(1,3,0)，BF=(2,0,t)EF平面ABF，平面ABF的法向量可取m=(0,1,0)设n=(x,y,z)为平面BFD的法向量，则nDF=x3y=0nBF=2xtz=0，取y=1，可得n=(3,1,23t).cos<m,n>=mn|m|n|=24，得t=3，AB=3【解析】()由平面ABCD平面ADEF，且ABCD为矩形，可得BA平面ADEF，得到BAEF，又AFEF，由线面垂直的判定可得EF平面BAF；()设AB=t.以F为原点，AF，FE所在的直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系Fzyz.可得平面ABF的法向量可取m=(0,1,0).再求出平面BFD的法向量n=(3,1,23t).结合二面角ABFD的平面角的余弦值