两自由度系统的振动

1、两自由度系统两自由度系统列出下列系统的动力学微分方程列出下列系统的动力学微分方程两自由度系统的振动两自由度系统的振动单自由度系统与多自由度系统单自由度系统与多自由度系统单自由度系统单自由度系统v描述系统运动状态只需一个广义坐标；系统振动微分方描述系统运动状态只需一个广义坐标；系统振动微分方程为一个二阶常微分方程；程为一个二阶常微分方程；v系统有一个固有频率；系统自由振动的频率为固有频率。系统有一个固有频率；系统自由振动的频率为固有频率。多自由度系统多自由度系统v描述系统运动状态需多个广义坐标；系统振动微分方程描述系统运动状态需多个广义坐标；系统振动微分方程一般包括多个相互耦合的二阶常微分方程组

2、；一般包括多个相互耦合的二阶常微分方程组；v系统具有多个不同数值的固有频率（特殊情况下数值可系统具有多个不同数值的固有频率（特殊情况下数值可能相等或有一个等于零）。当系统按其中任一固有频率能相等或有一个等于零）。当系统按其中任一固有频率作自由振动时，称为主振动。主振动是一种简谐振动作自由振动时，称为主振动。主振动是一种简谐振动v系统作主振动时，任何瞬时各点位移之间具有一定的相系统作主振动时，任何瞬时各点位移之间具有一定的相对比值，即整个系统具有确定的振动形态，称为主振型。对比值，即整个系统具有确定的振动形态，称为主振型。 两自由度系统的振动两自由度系统的振动两个自由度的振动系统两个自由度的振动

3、系统工程实际中大量的问题不能简化为单自由度系统，工程实际中大量的问题不能简化为单自由度系统，往往需要简化成多自由度系统；往往需要简化成多自由度系统；两自由度系统是最简单的多自由度系统，无论是两自由度系统是最简单的多自由度系统，无论是模型的简化、振动微分方程式的建立和求解的一模型的简化、振动微分方程式的建立和求解的一般方法、以及系统响应表现出来的振动特性等等，般方法、以及系统响应表现出来的振动特性等等，两自由度系统的多自由度系统没有什么本质上区两自由度系统的多自由度系统没有什么本质上区别，却有数学上求解比较简便的好处。别，却有数学上求解比较简便的好处。研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振研

4、究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。动特性的基础。两自由度系统的振动两自由度系统的振动双质量弹簧系统的自由振动双质量弹簧系统的自由振动m m1 1与与m m2 2的任一瞬时位置的任一瞬时位置只要用和两个独立座标只要用和两个独立座标就可以确定，系统具有就可以确定，系统具有两个自由度两个自由度 质量质量 m m1 1与与m m2 2的自的自由振动微分方程由振动微分方程)(1221111xxKxKxm 2312222)(xKxxKxm 0)(0)(23212222212111xKKxKxmxKxKKxm 两自由度系统的振动两自由度系统的振动自由振动微分方程自由振动微分方程 0)(0

5、)(23212222212111xKKxKxmxKxKKxm 矩阵形式矩阵形式0000213222212121xxkkkkkkxxmm 2100mmM322221kkkkkkK质量矩阵质量矩阵刚度矩阵刚度矩阵双盘转子的扭振双盘转子的扭振动力学方程动力学方程0000212t1t1t1t1t2121kkkkkJJ 汽车车体的振动汽车车体的振动系统简化成二自由度系统，即一根刚系统简化成二自由度系统，即一根刚性杆（车体的简化模型）支承在两个性杆（车体的简化模型）支承在两个弹簧（悬挂弹簧和轮胎的模型）上，弹簧（悬挂弹簧和轮胎的模型）上，刚性杆作跟随其质心的上下垂直振动刚性杆作跟随其质心的上下垂直振动和绕

6、刚性杆质心轴的俯仰运动。和绕刚性杆质心轴的俯仰运动。以钢杆中点垂直位移和转角为广义坐以钢杆中点垂直位移和转角为广义坐标，可以得到如下标，可以得到如下动力学方程动力学方程0)()()(4231lxklxkexm 0)()()(331442eexmllxkllxkJc 整理后得整理后得0023124231423142211xlklklklklklkkkxJememmc 0)()()(23124231422lklkxlklkmeJxemc 0)()(314221lklkxkkmexm 两自由度系统的振动两自由度系统的振动静力耦合和动力耦合静力耦合和动力耦合一般情况下两自由度系统无阻尼自由振动微分方程

7、组为一般情况下两自由度系统无阻尼自由振动微分方程组为002122211211212211211xxkkkkxxmmmm 每个方程式中往往都有耦合项每个方程式中往往都有耦合项0)(0)(23212222212111xKKxKxmxKxKKxm 座标之间的耦合称为座标之间的耦合称为静力耦合静力耦合或或弹性耦合弹性耦合 加速度之间的耦合称为加速度之间的耦合称为动力耦合动力耦合或或惯性耦合惯性耦合 两自由度系统的振动两自由度系统的振动 双质量弹簧系统的自由振动双质量弹簧系统的自由振动0)(0)(23212222212111xKKxKxmxKxKKxm 双盘转子的扭振双盘转子的扭振0)(02211122

8、211111tttttkkkJkkJ 汽车车体的平面振动汽车车体的平面振动广义坐标：车体随参考点广义坐标：车体随参考点O O的的（上下）平动（上下）平动x x和车体在平面和车体在平面内绕内绕O O点的转动点的转动0)( )( 0)()()(21112211222222112xkklklkxmmaxlklklklkxmamaJ 振动方程的矩阵形式振动方程的矩阵形式0KMqq 22211211Mmmmm22211211Kkkkk质量矩阵质量矩阵刚度矩阵刚度矩阵2100Mmm322221Kkkkkkk2100MJJ2t1t1t1t1tKkkkkkmmamamaJ2M2111221122222211K

9、kklklklklklklk21xxq21qxq座标之间的耦合称为座标之间的耦合称为静静力耦合力耦合或或弹性耦合弹性耦合座标之间的耦合称为座标之间的耦合称为静静力耦合力耦合或或弹性耦合弹性耦合座标之间的耦合称为座标之间的耦合称为静静力耦合力耦合或或弹性耦合弹性耦合加速度之间的耦合称为加速度之间的耦合称为动力耦合动力耦合或或惯性耦合惯性耦合两自由度系统的振动两自由度系统的振动固有频率固有频率0)(0)(23212222212111xKKxKxmxKxKKxm 为了书写简便，引入符号：为了书写简便，引入符号：121mKKa12mKb 22mKc 221mKKd00212211dxcxxbxaxx

10、q这是二阶常系数性齐次联立微分方程组。第一个方程中包这是二阶常系数性齐次联立微分方程组。第一个方程中包含含-bx-bx2 2项，第二个方程中包含项，第二个方程中包含-cx-cx1 1项，称为耦合项。项，称为耦合项。 q如果耦合项均为零时，方程组便成为两个独立的单自由如果耦合项均为零时，方程组便成为两个独立的单自由度系统自由振动的微分方程度系统自由振动的微分方程 两自由度系统的振动两自由度系统的振动固有频率固有频率00212211dxcxxbxaxx 设在振动两个质量按同样频率和相位角作简谐振动设在振动两个质量按同样频率和相位角作简谐振动tAxtAxsinsin2211其中振幅其中振幅A A1

11、1与与A A2 2，频率，频率和相位角和相位角都为待定常数都为待定常数 代入运动微分方程组可得代入运动微分方程组可得0 sin212tbAAa0) sin()(221tAdcASin(t+)Sin(t+)不恒等于零不恒等于零两自由度系统的振动两自由度系统的振动固有频率固有频率0)(0)(221212AdcAbAAa这是这是A A1 1和和A A2 2的线性齐次代数方程组的线性齐次代数方程组 q显然，显然， A A1 1 = A = A2 2 =0 =0 是它的解，但这只对应于系统处于静是它的解，但这只对应于系统处于静平衡的情况，不是我们所需的解平衡的情况，不是我们所需的解 A A1 1和和A

12、A2 2具有非零性解的充要条件是系数行列式等于零具有非零性解的充要条件是系数行列式等于零 0)(222dcba0)()()(242bcaddaq该方程唯一确定了频率该方程唯一确定了频率所需满足的条件，称为所需满足的条件，称为频率方程频率方程或或特特征方程征方程 两自由度系统的振动两自由度系统的振动固有频率固有频率频率方程是频率方程是2 2的二次代数方程，它的两个特征根为的二次代数方程，它的两个特征根为 0)()()(242bcadda)(22222, 1bcaddadabcdada222121mKKa12mKb 22mKc 221mKKd弹簧刚度和质量恒为正数，弹簧刚度和质量恒为正数，a a，

13、b b，c c，d d的值都是正数的值都是正数 2122和和都是实根都是实根 由于由于adadbcbc 2122和和都是正数都是正数 两自由度系统的振动两自由度系统的振动固有频率固有频率2122和和是两个正实根。它们仅决定于系统本身的物理性质，是两个正实根。它们仅决定于系统本身的物理性质，称为振动系统的固有频率。较低的一个称为第一阶固有频称为振动系统的固有频率。较低的一个称为第一阶固有频率，简称率，简称基频基频。较高的一个称为第二阶固有频率。较高的一个称为第二阶固有频率。固有振型固有振型将特征值将特征值 2122和和分别代回方程组分别代回方程组 0)(0)(221212AdcAbAAa任一式任

14、一式2222)2(1)2(222121)1(1)1(21dcbaAAvdcbaAAv 对应于对应于2122和和，振幅，振幅A A1 1和和A A2 2之间有两个确定的比值。之间有两个确定的比值。这个比值称为振幅比这个比值称为振幅比 虽然振幅大小与初始条件有关，但当系统按任一固有频率振动时，虽然振幅大小与初始条件有关，但当系统按任一固有频率振动时，振幅比却和固有频率一样只决定于系统本身的物理性质。振幅比却和固有频率一样只决定于系统本身的物理性质。 两自由度系统的振动两自由度系统的振动固有振型（主振型）固有振型（主振型）对应于对应于2122和和振幅振幅A A1 1和和A A2 2，之间有两个确定的

15、比值。之间有两个确定的比值。tAxtAxsinsin2211 两个质量任一瞬时的位移的比值两个质量任一瞬时的位移的比值x x1 1/x/x2 2也同样是确定的，并且也同样是确定的，并且等于振幅比等于振幅比 o在振动过程中系统各点位移的相对比值都可由振幅比确定在振动过程中系统各点位移的相对比值都可由振幅比确定o振幅比决定了整个系统的振动形态，称为振幅比决定了整个系统的振动形态，称为主振型主振型 与与1 1对应的振幅比对应的振幅比1 1称为第一阶主振型称为第一阶主振型 与与2 2对应的振幅比对应的振幅比2 2称为第二阶主振型称为第二阶主振型 两自由度系统的振动两自由度系统的振动固有振型（主振型）固

16、有振型（主振型）bcdada222, 1222222)2(1)2(222121)1(1)1(21dcbaAAvdcbaAAv022102212221bcdadabvbcdadabvo说明系统以频率说明系统以频率1 1振动时，质量与总是按同一个方向运动，振动时，质量与总是按同一个方向运动，而以频率而以频率2 2振动时，则按相反方向运动。振动时，则按相反方向运动。 两自由度系统的振动两自由度系统的振动主振动主振动l系统以某一阶固有频率按其相应的主振型作振动，称系统以某一阶固有频率按其相应的主振型作振动，称为系统的为系统的主振动主振动 第一阶主振动为第一阶主振动为11)1(1111)1(2)1(21

17、1)1(1)1(1sin)sin()sin(tAvtAxtAx第二阶主振动为第二阶主振动为22)2(1222)2(2)2(222)2(1)2(1sin)sin()sin(tAvtAxtAxl系统作主振动时，各点同时经过静平衡位置和到达最大偏离位系统作主振动时，各点同时经过静平衡位置和到达最大偏离位置，以确定的频率和振型作简谐振动。置，以确定的频率和振型作简谐振动。 两自由度系统的振动两自由度系统的振动系统的自由振动系统的自由振动微分方程组微分方程组 00212211dxcxxbxaxx 的通解是两种主振动的叠加的通解是两种主振动的叠加 )sin()sin()sin()sin(22)2(1211

18、)1(11)2(2)1(2222)2(111)1(1)2(1)1(11tAvtAvxxxtAtAxxxl在一般情况下，系统的自由振动是两种不同频率的主振动的在一般情况下，系统的自由振动是两种不同频率的主振动的叠加，其结果不一定是简谐振动。叠加，其结果不一定是简谐振动。 例例1 1 试求图示系统的试求图示系统的振动系统的固有频率和振动系统的固有频率和主振型主振型假设已知假设已知 mm 1mm22KKK21KK23例例4.14.1试求图示系统的振动系统的固有频率和主振型。试求图示系统的振动系统的固有频率和主振型。已知已知 mm 1mm22KKK21KK23解解 振动微分方程振动微分方程0)(0)(

19、23212222212111xKKxKxmxKxKKxm 03202212211KxKxxmKxKxxm tAxtAxsinsin2211代入运动微分方程组得代入运动微分方程组得记记mKa 03202212211axaxxaxaxx 0)sin()23(0sin2221212tAaaAtaAAa0)23(0)2(221212AaaAaAAa0232)(222aaaa频率方程频率方程0)23)(2(222aaa0572224aa固有频率（特征根）固有频率（特征根）)40497(41222aaa)37(422, 1amKa 21mKa41041022tAxtAxsinsin22110)23(0)2

20、(221212AaaAaAAamK21mK41022mK12222)1(1)2(222121)1(1)1(21232232aaaaAAvaaaaAAvmKa 121mKmKmKv第一阶第一阶振幅比振幅比第一阶第一阶主振型主振型 11)1(21AA11vmKmK581. 1252第一阶固第一阶固有频率有频率第二阶固第二阶固有频率有频率212522mKmKmKv212v第二阶第二阶主振型主振型 5 . 01)2(21AA第二阶第二阶振幅比振幅比第一阶主振型第一阶主振型 11)1(21AA第二阶主振型第二阶主振型 5 . 01)2(21AAmK1mK252两自由度系统的振动两自由度系统的振动对初始条

21、件的响应对初始条件的响应00212211dxcxxbxaxx 是两个二阶常微分方程，应有四个待定常数是两个二阶常微分方程，应有四个待定常数 )sin()sin()sin()sin(22)2(1211)1(11)2(2)1(2222)2(111)1(1)2(1)1(11tAvtAvxxxtAtAxxx中有四个未知数中有四个未知数需要由振动的四个初始条件来决定需要由振动的四个初始条件来决定 21)2(1)1(1,AA两自由度系统的振动两自由度系统的振动对初始条件的响应对初始条件的响应设初始条件为：设初始条件为： 202101202101,0 xxxxxxxxt，时，代入代入)sin()sin()s

22、in()sin(22)2(1211)1(11)2(2)1(2222)2(111)1(1)2(1)1(11tAvtAvxxxtAtAxxx2)2(11)1(110sinsinAAx2)2(121)1(1120sinsinAvAvx22)2(111)1(110coscosAAx22)2(1211)1(1120coscosAvAvx201012010121220102201021112222010122010121)2(12122010222010212)1(1tantan)(1)(1xxvxxvxxvxxvxxvxxvvvAxxvxxvvvA两自由度系统的振动两自由度系统的振动对初始条件的响应对初

23、始条件的响应201012010121220102201021112222010122010121)2(12122010222010212)1(1tantan)(1)(1xxvxxvxxvxxvxxvxxvvvAxxvxxvvvA)sin()sin()sin()sin(22)2(1211)1(11)2(2)1(2222)2(111)1(1)2(1)1(11tAvtAvxxxtAtAxxxl将右边各式代入下面表将右边各式代入下面表达式，就得到系统在前述达式，就得到系统在前述初始条件下的响应初始条件下的响应 在特殊的初始条件下，若在特殊的初始条件下，若 ，系统便作第一阶主振动，系统便作第一阶主振动

24、0)2(1A若若 ，系统便作第二阶主振动，系统便作第二阶主振动0)1(1Al如果初始位移和初始速度的比值都等于振幅如果初始位移和初始速度的比值都等于振幅比比1 1（或（或2 2），就可得到相应的主振动。），就可得到相应的主振动。 例例4.24.2已知已知 mm 1mm22KKK21KK23解解1)1)已知初始条件为已知初始条件为2 . 110 x0201020 xxx求系统的响应；求系统的响应；2)2)若初始条件变为若初始条件变为12010 xx02010 xx系统的响应有何变化？系统的响应有何变化？固有频率固有频率由例由例4.14.1得得mK1mK252振幅比振幅比11v5 . 02v对初始

25、条件对初始条件)sin()sin()sin()sin(22)2(1211)1(11)2(2)1(2222)2(111)1(1)2(1)1(11tAvtAvxxxtAtAxxx202101202101,0 xxxxxxxxt，时，的响应的响应)sin()sin()sin()sin(22)2(1211)1(11)2(2)1(2222)2(111)1(1)2(1)1(11tAvtAvxxxtAtAxxx11v5 . 02v1) 1) 初始条件为初始条件为2 . 110 x0201020 xxx2)2(121)1(112)2(11)1(110sinsin0sinsinAvAvAAx2)2(1221)1

26、(1112)2(121)1(11coscos0coscos0AvAvAA2)2(111221)1(12)2(1121)1(1coscossinsinAvvAAvvA2)2(1121)1(12)2(1121)1(1coscossinsinAAAvvA可以解得可以解得22同样过程可以解得同样过程可以解得21 )2(12)1(11)2(1)1(1100AvAvAAx)2(1)1(1)2(1)1(15 . 002 . 1AAAA8 . 04 . 0)2(1)1(1AAtmKtmKx25cos8 . 0cos4 . 01tmKtmKx25cos4 . 0cos4 . 02)sin()sin()sin()

27、sin(22)2(1211)1(11)2(2)1(2222)2(111)1(1)2(1)1(11tAvtAvxxxtAtAxxxmK1mK25211v5 . 02v2)2)若初始条件为若初始条件为12010 xx02010 xx201012010121220102201021112222010122010121)2(12122010222010212)1(1tantan)(1)(1xxvxxvxxvxxvxxvxxvvvAxxvxxvvvA201012010121220102201021112120101)2(11221220102)1(1tan2tan011xxvxxvxxvxxvvvxxv

28、AvvvvvxxvA 系统的响应为系统的响应为 tmKxcos1tmKxcos2为第一阶主振动为第一阶主振动 1) 1) 初始条件为初始条件为2 . 110 x0201020 xxxtmKtmKx25cos8 . 0cos4 . 01tmKtmKx25cos4 . 0cos4 . 02系统的响应为系统的响应为2)2)若初始条件为若初始条件为12010 xx02010 xx系统的响应为系统的响应为tmKxcos1tmKxcos2为第一阶主振动为第一阶主振动 mK1mK25211v5 . 02vmm 1mm22KKK21KK23初始条件与初始条件与第一阶主振第一阶主振型一致型一致例例3 3 扭转振

29、动扭转振动 I I1 1与与I I2 2分别为两圆盘绕分别为两圆盘绕x x轴的转动轴的转动惯量，惯量，角座标角座标1 1与与2 2分别表示圆盘分别表示圆盘I I1 1与与I I2 2的角位移，的角位移，K K为轴段的扭转刚度为轴段的扭转刚度 轴的相对扭转角轴的相对扭转角12作用在轴两端的扭矩为作用在轴两端的扭矩为)(12 KM轴对圆盘的反作用扭矩与之大小相等，方向相反。轴对圆盘的反作用扭矩与之大小相等，方向相反。根据动量矩定理，分别列出两圆盘的转动方程式，即得系统根据动量矩定理，分别列出两圆盘的转动方程式，即得系统扭振的微分方程组扭振的微分方程组 )(1211 KI )(1222KI 0211

30、1KKI 02122KKI 或或00212112211IKIKIKIK 自由振动微分方程自由振动微分方程0)(0)(23212222212111xKKxKxmxKxKKxm 00212112211IKIKIKIK 上面两个系统的自由振动微分方程在数学形式上是相同的上面两个系统的自由振动微分方程在数学形式上是相同的00212211dxcxxbxaxx 121mKKa12mKb 22mKc 221mKKd1IKa1IKab2IKc2IKcd微分方程组的解微分方程组的解tAxtAxsinsin2211tAtAsinsin2211aaAA)(2211)(21211aaaaAA2122212)(IIac

31、aaAA0)(212aAAa00212211dcba 1IKa1IKab2IKc2IKcd0021211ccaa 微分方程组的解微分方程组的解tAtAsinsin2211代入运动微分方程组可得代入运动微分方程组可得0)sin()(0sin221212tAccAtaAAa 0)(0)(221212AccAaAAa频率方程频率方程0)(222ccaa0)()(222acca0)()(242ca解得解得0121212IIIIKca相应的相应的振幅比振幅比0111第一个特征根为零根第一个特征根为零根相应的振幅比为相应的振幅比为1 111)1(21AA21即即主振型主振型表明两圆盘以同样的转角转动，轴段

32、相对无变形，整个系统表明两圆盘以同样的转角转动，轴段相对无变形，整个系统象刚体一样绕定轴转动象刚体一样绕定轴转动 扭振的实际基频为扭振的实际基频为21212IIIIK相应的振幅比相应的振幅比212II主振型主振型 21)2(21IIAA在轴段上的一个始终不动的面，称在轴段上的一个始终不动的面，称为节面，为节面，节面的位置正好把轴段按两圆盘转节面的位置正好把轴段按两圆盘转动惯量的反比例值分成两段。动惯量的反比例值分成两段。 1221IILL两自由度系统的振动两自由度系统的振动刚体在平面内的振动刚体在平面内的振动弹簧弹簧- -质量系统和扭转系统等，就动力学性质质量系统和扭转系统等，就动力学性质而言

33、，是属于质点作直线运动或刚体绕定轴转而言，是属于质点作直线运动或刚体绕定轴转动的问题。动的问题。在工程实际问题中，例如具有对称平面的机器在工程实际问题中，例如具有对称平面的机器和基础的隔振系统以及车体等的振动，往往可和基础的隔振系统以及车体等的振动，往往可简化为弹性支承的刚体在平面内的振动，一般简化为弹性支承的刚体在平面内的振动，一般具有上下移动及转动两个自由度。具有上下移动及转动两个自由度。选择不同的广义座标，将会得到不同形式耦合选择不同的广义座标，将会得到不同形式耦合的振动微分方程。的振动微分方程。以车体振动为例说明这一类型振动的基本性质，以车体振动为例说明这一类型振动的基本性质，并由此讨

34、论两自由度系统在一般情况下的静力并由此讨论两自由度系统在一般情况下的静力耦合和动力耦合问题。耦合和动力耦合问题。 两自由度系统的振动两自由度系统的振动刚体在平面内的振动刚体在平面内的振动 车辆结构一般是一个复杂的空间多自由度系统。在进行研究车辆结构一般是一个复杂的空间多自由度系统。在进行研究计算时，可以根据研究的目的，结构的特点，要求计算的精计算时，可以根据研究的目的，结构的特点，要求计算的精确程度等等，从实际情况出发进行简化。确程度等等，从实际情况出发进行简化。考虑到前后桥的质量比车体质量小得多，在计算精度要求不太考虑到前后桥的质量比车体质量小得多，在计算精度要求不太高时，可以略去不计，可进

35、一步简化成图高时，可以略去不计，可进一步简化成图c c所示的两自由度系统：所示的两自由度系统：一根刚性杆（车体）支承在弹簧（悬挂弹簧和轮胎）上，作上一根刚性杆（车体）支承在弹簧（悬挂弹簧和轮胎）上，作上下垂直振动和绕刚性杆质心轴的前后俯仰振动。下垂直振动和绕刚性杆质心轴的前后俯仰振动。如略去次要的左右摇摆振动，可简化为在汽车对称平面内如略去次要的左右摇摆振动，可简化为在汽车对称平面内的振动，如图的振动，如图b b所示。所示。汽车是由许多部件组成的复杂结构，即使忽略零部件的局部振汽车是由许多部件组成的复杂结构，即使忽略零部件的局部振动，单研究车体和前后桥的振动，把车体和前后桥作为刚体，联动，单研

36、究车体和前后桥的振动，把车体和前后桥作为刚体，联结和支承在弹性元件悬挂弹簧和轮胎上，如图结和支承在弹性元件悬挂弹簧和轮胎上，如图a a所示，仍然包括所示，仍然包括车体和前后桥的上下垂直振动，左右摇摆振动以及车体的前后俯车体和前后桥的上下垂直振动，左右摇摆振动以及车体的前后俯仰振动等。仰振动等。两自由度系统的振动两自由度系统的振动 刚体在平面内的振动刚体在平面内的振动 设刚性杆质量为设刚性杆质量为m，两端弹簧的刚度为，两端弹簧的刚度为K1 1与与K2 2，杆质心，杆质心c与与弹簧弹簧K1 1 、 K2 2的距离为的距离为l1 1和和l2 2，杆绕质心轴的转动惯量为，杆绕质心轴的转动惯量为I0 0

37、。以质心垂直位移以质心垂直位移x及杆绕质心的角位移及杆绕质心的角位移为两个独立座标，为两个独立座标，其正方向如图其正方向如图d d所示。所示。lx的座标原点取在静平衡的座标原点取在静平衡位置，使杆重和与之相平位置，使杆重和与之相平衡的弹簧静压力都不出现衡的弹簧静压力都不出现在运动方程式中在运动方程式中 l在任一瞬时杆发生微小在任一瞬时杆发生微小位移位移x x与与，两端便受到，两端便受到弹性恢复力的作用。弹性恢复力的作用。 l根据牛顿运动定律和转动方程式，可写出根据牛顿运动定律和转动方程式，可写出x与与两个方向的振两个方向的振动微分方程式动微分方程式 两自由度系统的振动两自由度系统的振动 刚体平

38、面振动微分方程刚体平面振动微分方程)()()()(2221112211lxlKlxlKIlxKlxKxmc l或或0)()(0)()(2212111122112221lKlKxlKlKIlKlKxKKxmc l引入符号引入符号 mKKa21mlKlKb1122cIlKlKc1122cIlKlKd222211l得到与双质量得到与双质量- -弹簧系统同样形式的微分方程组弹簧系统同样形式的微分方程组 00dcxbaxx 两自由度系统的振动两自由度系统的振动刚体平面振动主振型刚体平面振动主振型00dcxbaxx mKKa21mlKlKb1122cIlKlKc1122cIlKlKd222211l系统的固

39、有频率和主振型系统的固有频率和主振型 bcdada222, 1222222)2(1)2(222121)1(1)1(21dcbaAAvdcbaAAvl振幅比是角位移振幅比是角位移与垂直位移与垂直位移x x的比值的比值 两自由度系统的振动两自由度系统的振动 刚体平面振动主振动刚体平面振动主振动分析分析K K2 2 l l2 2 K K1 1 l l1 1的情况的情况01122mlKlKb01122cIlKlKc022102212221bcdadabvbcdadabv第一阶主振动时第一阶主振动时x x与与是同方向，第二阶主振动时是同方向，第二阶主振动时x x与与是反方向是反方向 在实际情况中，振幅比

40、绝对值在实际情况中，振幅比绝对值 )1 (1)1 (2)2(1)2(2AAAAl表明两种主振动如以相同的角位作比较，第一阶主振动的质心表明两种主振动如以相同的角位作比较，第一阶主振动的质心位移远大于第二阶主振动的质心位移，第一阶主振动以上下垂直位移远大于第二阶主振动的质心位移，第一阶主振动以上下垂直振动为主，其主振型如图振动为主，其主振型如图a a）所示，）所示， l第二阶主振动以杆绕质心轴的俯仰振动为主，其主振型如图第二阶主振动以杆绕质心轴的俯仰振动为主，其主振型如图b b）所示）所示 两自由度系统的振动两自由度系统的振动刚体平面振动主振动刚体平面振动主振动2211lKlK如果如果01122

41、mlKlKb01122cIlKlKc00dcxbaxx 中耦合项均为零，简化为中耦合项均为零，简化为 0 axx 0d 相当于两个单自由度系统各自独立地作不同固有频率的主振动相当于两个单自由度系统各自独立地作不同固有频率的主振动 mKKa211cIlKlKd2222112bcdada222, 122两自由度系统的振动两自由度系统的振动静力耦合和动力耦合静力耦合和动力耦合一般情况下两自由度系统振动微分方程组为一般情况下两自由度系统振动微分方程组为 00222121222121212111112111xkxkxmxmxkxkxmxm 00dcxbaxx 方程组方程组中座标之间有耦合的情况称为中座标

42、之间有耦合的情况称为静力耦合静力耦合或或弹性耦合弹性耦合 两自由度系统的振动两自由度系统的振动静力耦合和动力耦合静力耦合和动力耦合以弹簧支承处的位移以弹簧支承处的位移x x1 1与与x x2 2为独为独立座标建立振动微分方程立座标建立振动微分方程 lx x1 1与与x x2 2同同x x与与之间有之间有如下关系如下关系 11lxx22lxx转换后得转换后得 212112llxlxlx2121llxx代入代入 )()()()(2221112211lxlKlxlKIlxKlxKxmc 可得可得 2211212112xKxKllxlxlm 2221112121xlKxlKllxxIc 两自由度系统的

43、振动两自由度系统的振动静力耦合和动力耦合静力耦合和动力耦合2211212112xKxKllxlxlm 2221112121xlKxlKllxxIc 0)()(0)()(221221211121221212112112xlllKxlllKxIxIxllKxllKxmlxmlcc 该方程组中不仅座标有耦合，而且包含加速度的项也有耦合该方程组中不仅座标有耦合，而且包含加速度的项也有耦合 这种加速度之间有耦合的情况，称为这种加速度之间有耦合的情况，称为动力耦合动力耦合或或惯性耦合惯性耦合 l如果选取的座标恰好可使微分方程组的耦合项全等于零，既无静如果选取的座标恰好可使微分方程组的耦合项全等于零，既无静

44、力耦合，又无动力耦合，就相当于两个单自由度系统，这时的座力耦合，又无动力耦合，就相当于两个单自由度系统，这时的座标就称为主座标标就称为主座标两自由度系统的振动两自由度系统的振动 主坐标：能够使振动微分方程组完全解耦的广义坐标主坐标：能够使振动微分方程组完全解耦的广义坐标在特殊情况下，由于结构上的安排，可以找到明显的主座标在特殊情况下，由于结构上的安排，可以找到明显的主座标 c c为汽车的回转半径为汽车的回转半径 2ccmI0)()(0)()(221221211121221212112112xlllKxlllKxIxIxllKxllKxmlxmlcc 第一式乘以第一式乘以 ，分别与第二式乘以，分

45、别与第二式乘以l1 1相加相加 2c0)()(0)()(2212121212112121122212212121212122xllllKxlllKxlmxlmxllKxllKxlmxlmcccccc 以及与第二式乘以以及与第二式乘以l2 2相减相减 0)()(0)()(2212221212112221222212212121212122xlllKxllllKxlmxlmxllKxllKxlmxlmcccccc 0)()()(221212212121211212xllllKxlllKxllmccc 0)()()(221222212121212212xlllKxllllKxllmccc 两自由度系

46、统的振动两自由度系统的振动 主坐标主坐标0)()()(221212212121211212xllllKxlllKxllmccc 0)()()(221222212121212212xlllKxllllKxllmccc l在汽车设计中希望一个轮子在行车时受到跳动不传动另一个轮在汽车设计中希望一个轮子在行车时受到跳动不传动另一个轮子上去，可使车体质量分布和前后轮的位置之间满足条件：子上去，可使车体质量分布和前后轮的位置之间满足条件： 212llcl上面方程组中将无耦合项，成为上面方程组中将无耦合项，成为 0)(0)(22222221222111xmlKxxmlKxcccc 这时弹簧支承处的位移这时弹

47、簧支承处的位移x1 1和和x2 2便是主座标便是主座标 两个独立的主振动的固有频率为两个独立的主振动的固有频率为 2211222111)()(mlllKmlKcc1212222222)()(mlllKmlKcc两自由度系统的振动两自由度系统的振动 主坐标主坐标212l lc时，弹簧支承处的位移时，弹簧支承处的位移x1 1和和x2 2就是主座标就是主座标 两个独立的主振动的固有频率为两个独立的主振动的固有频率为 2211222111)()(mlllKmlKcc1212222222)()(mlllKmlKcc这两个频率称为偏频，是汽这两个频率称为偏频，是汽车出厂检验测试项目之一。车出厂检验测试项目

48、之一。 对应于这两个频率的主振型对应于这两个频率的主振型当前轮按当前轮按1 1上下振动时，后上下振动时，后轮不动；轮不动；后轮以后轮以2 2上下振动时，上下振动时，前轮不动。前轮不动。两自由度系统的振动两自由度系统的振动如果同时满足两个条件如果同时满足两个条件2211lKlK212llc0)(0)(22222221222111xmlKxxmlKxcccc 由由可得可得mKK2121l特征值出现两个相等的实根，即两个固有频率相等。特征值出现两个相等的实根，即两个固有频率相等。l这时对应的主振型将不是唯一的。这时对应的主振型将不是唯一的。 两自由度系统的振动两自由度系统的振动 振动方程组解耦振动方程组解耦k1k2m1m2F1F2xx12k3两自由度弹簧两自由度弹簧- -质量质量系统系统振动微分方程组振动微分方程组12212111)(Fxkxkkxm 22321222)(Fxkkxkxm 2121322221212100FFxxkkkkkkxxmm 矩阵