抽象函数问题的模型构造

1、 抽象函数问题的模型构造 数学科 崔吉平抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊条件的函数，它是中学数学函数部分的难点.因为抽象，学生难以理解，接受困难；因为抽象，教师对教材难以处理，何时讲授，如何讲授，讲授哪些内容，采用什么方式等等，深感茫然无序.其实，大量的抽象函数并非无源之水，都是以中学阶段所学的基本函数为背景抽象而得，解题时，若能从研究抽象函数的“背景”入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比、猜想出它可能为某种基本函数，常可觅得解题思路，本文就上述问题作一些探讨。1、线性函数型抽象函数f（x）kx（k0）-f（xy）f（x）f（y）例1、已知函数对任意实数x，y，均

2、有，且当时，求在区间2，1上的值域。解：设，则，当时，即，为增函数在条件中，令yx，则，再令xy0，则， ，故，为奇函数，又，的值域为4，2。例2、已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（xy）2f（x）f（y），且当x0时，f(x)2，f(3) 5，求不等式的解.分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（仿例1）；再求出f（1）3；最后脱去函数符号.2、二次函数型抽象函数 二次函数型抽象函数即由二次函数抽象而得到的函数若抽象函数满足，总有，则可用二次函数为模型引出解题思路；例3、 已知实数集上的函数恒满足,方程=0有5个实根,则这5个根之和=_分析：因为实数集上的函数恒满足,方程=0有5个实根

3、，可以将该函数看成是类似于二次函数为模型引出解题思路，即函数的对称轴是，并且函数在，其余的四个实数根关于对称，解：因为实数集上的函数恒满足,方程=0有5个实根，所以函数关于直线对称，所以方程的五个实数根也关于直线对称，其中有一个实数根为2，其它四个实数根位于直线两侧，关于直线对称，则这5个根之和为103、指数函数型的抽象函数 f（x）ax- f（xy）f（x）f（y）；f（xy）例4、设f (x)是定义在R上的偶函数。其图象关于直线yx对称，对任意x1，x2，都有f (x1x2)f (x1)f (x2)，且f ( 1 )a0 ()求及； ()证明f (x)是周期函数； ()解：可以考虑指数函数

4、的模型指导解题的思路，例如运用函数由知：0，x0，1 ，f (1)a0，()证明：依题设yf (x)关于直线x1对称，故f (x)f (11x)，即f (x)f (2x)，xR又由f (x)是偶函数知f (x)f (x)，xR将上式中x以x代换，得f (x)f (x2)，xR这表明f (x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期例5定义在R上的函数满足：对任意实数，总有，且当时，（1）试求的值；（2）判断的单调性并证明你的结论；（3）试举出一个满足条件的函数解：（1）在中，令得：因为，所以，（2）要判断的单调性，可任取，且设在已知条件中，若取，则已知条件可化为：由于，所以为比较的大小，只需考虑的

5、正负即可在中，令，则得 时， 当时，又，所以，综上，可知，对于任意，均有 函数在R上单调递减（3）如点评：根据题意，将一般问题特殊化，也即选取适当的特值（如本题中令；以及等）是解决有关抽象函数问题的非常重要的手段；另外，如果能找到一个适合题目条件的函数4、对数函数型的抽象函数f（x）logax（a0且a1）-f（xy）f（x）f（y）；f（） f（x）f（y）例6、已知函数满足定义域在上的函数，对于任意的，都有，当且仅当时，成立，（1）设，求证；（2）设，若，试比较与的大小；（3）解关于的不等式分析：本题是以对数函数为模型的抽象函数，可以参考对数函数的基本性质解题证明：（1），（2），即当且仅

6、当时，成立，当时，（3）令代入得，关于的不等式为，由（2）可知函数在定义域上是减函数，由得，当时，此时成立；当时，此时成立；当，此时成立。练习：1、函数f(x)的定义域为，对 任意正实数x,y都有f(xy)= f(x)+f(y) 且f(4)=2 ，则 （ ）5、三角函数型的抽象函数例7. 设函数的定义域为R，且对任意的x，y有，并存在正实数c，使。试问是否为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由。 分析：仔细观察分析条件，联想三角公式，就会发现：满足题设条件，且，猜测是以2c为周期的周期函数。 故是周期函数，2c是它的一个周期。总之，因为抽象函数与函数的单调性、奇偶性等众多性质联系紧密，加上本身的抽象性、多变性，所以问题类型众多，解题方法复杂多变.尽管如此，以特殊模型代替抽象函数帮助解题或理解题意