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文档简介
1、找中点构造中位线解题三角形的中位线定理,是一个非常有价值的定理。它是一个遇到中点,必须联想到的重要定理之一。但是,在解题时,往往只知道一个中点,而另一个中点就需要同学们,根据题目的特点,自己去寻找。本文就向同学们介绍三种在不同条件下寻找中点的方法,供同学们学习时参考。一、知识回顾1、三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。2、应用时注意的几个细节:定理的使用前提:三角形。定理使用时,满足的具体条件:两条边的中点,且连接这两点,成一条线段。定理的结论:位置上:与第三边是平行的;大小上:等于第三边的一半。在应用时,要灵活选择结论。二、应用举例1、直接找线段的中点,应用中位线
2、定理例1、如图1所示,在三角形ABC中,B=2C,AD是三角形的高,点M是边BC的中点,求证:DM=AB。分析:看到结论的表达形式,我们就想到,三角形的中位线定理,有这样的特点,因此,我们就可以构造AB上的中位线,再证明这条中位线与DM是相等的。证明:如图2所示,取边AC的中点E,连接ME,则MEAB,ME=AB,因为,MEAB,所以,B=EMC,因为,B=2C,所以,EMC=2C,EMC是三角形DME的一个外角,所以,EMC=MDE+MED,所以,2C=MDE+MED,因为,AD是三角形的高,所以,ADC是直角,所以,DE是直角三角形ADC斜边上的中线,所以,DE=EC,所以,MDE=C,所
3、以,2C=C +MED,所以,MED=C,所以,MDE=MED,所以,DM=ME,所以,DM=AB。2、利用等腰三角形的三线合一找中点,应用中位线定理例2、如图3所示,在三角形ABC中,AD是三角形ABCBAC的角平分线,BDAD,点D是垂足,点E是边BC的中点,如果AB=6,AC=14,则DE的长为 。分析:因为,点E是BC的中点,如果点D也是某一边的中点,我们就可以利用三角形的中位线定理,来求得DE的长度。循着这条思路,我们不妨延长BD,交AC于点F,只要证明点D是BF的中点就可以了。解:如图4所示,延长BD,交AC于点F,因为,BDAD,点D是垂足,所以,ADB=ADE=90°
4、,因为,AD是三角形ABCBAC的角平分线,所以,BD=DF,AB=AF,又因为,BE=EC,所以,DE是三角形BFC的中位线,所以,DE=FC,因为,FC=AC-AF=AC-AB=14-6=8,所以,DE =4.3、利用平行四边形对角线的交点找中点,应用中位线定理例3、如图5所示,ABCD,BCAD ,DEBE ,DF=EF,甲从B出发,沿着BA、AD、DF的方向运动,乙B出发,沿着BC、CE、EF的方向运动,如果两人的速度是相同的,且同时从B出发,则谁先到达?分析:要想知道谁先到达,因为,他们的速度相等,所以,谁走的路程短,就是谁先到达,所以,关键是比较BA+AD+DF与BC+CE+EF的大小。解:如图6所示,连接BD,交AF于点O,因为,ABCD,BCAD ,所以,四边形ABCD是平行四边形,所以,CD=AB,AD=BC,所以,点O是BD的中点,因为,DF=EF,所以,OF是三角形DBE 的中位线,所以,OFBE,因为,DEBE ,所以,CFDE,因为,DF=EF,所以,CD=CE,所以,CE=BA,所以
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