应用图形的旋转变换巧解“难题

1、应用图形的旋转变换巧解“难题”（一）正三角形类型在正ABC中，P为ABC内一点，将ABP绕A点按逆时针方向旋转600，使得AB与AC重合。经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（1-1-b）中的一个CP中，此时AP也为正三角形。 图（1-1-a） 图（1-1-b）例1. 如图：（1-1）：设P是等边ABC内的一点，PA=3， PB=4，PC=5，则APB的度数是_. 图（1-1） 图（1-2） 简解：在ABC的外侧，作BA=CAP，且A=AP=3，连结B。则BACAP。易证AP为正三角形，PB为RtAPB=AP+PB=+=1500（二）正方形类型在正方形ABC

2、D中，P为正方形ABCD内一点，将ABP绕B点按顺时针方向旋转900，使得BA与BC重合。经过旋转变化，将图（2-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（2-1-b）中的CP中，此时BP为等腰直角三角形。 图（2-1-a） 图（2-1-b）例2 . 如图（2-1）：P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离 分别为PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD面积。 图（2-1） 图（2-2）简解：作AED使DAE=BAP，AE=AP连结EP，则ADEABP（SAS） 同样方法，作DFC且有DFCBPC。易证EAP为等腰直角三角形，又AP=1PE= 同理，PF=3

3、EDA=PBA，FDC=PBC 又PBA+PBC=900EDF=EDA+FDC+ADC= 900+900=1800点E、D、F在一条直线上。EF=ED+DF=2+2=4，在EPF中，EF=4，EP=，FP=3由勾股定理的逆定理，可知EPF为RtS正方形ABCD =SRtEPF+SRtEPA+SRtPFC=3+=8例3 .如图（3-1）正方形ABCD中,边长AB=，点E、F分别在BC、CD上,且BAE=300, DAF=150。求AEF的面积。(第十一届希望杯邀请赛试题)图（3-1）简解： 延长CB至使得B=DF，连结A，则RtABRtADF（SAS）。AE =300 +150=450，FAE=

4、900 -300 -150=450易证AEFAE(SAS) EA =FEA=600，FEC=600, 在RtABE中, AB=，BAE=300BE=1, CE=-1, FE=2CE=2(-1), E=EF=2(-1)所以,SAEF= SAFE=AB·E=ÎÎ2(-1)=3-（三）等腰直角三角形类型在等腰直角三角形ABC中，C=Rt, P为ABC内一点，将APC绕C点按逆时针方向旋转900，使得AC与BC重合。经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个CP为等腰直角三角形。 图（3-1-a） 图（3-1-b）例4如图（4-1），在ABC中，ACB =900，BC=

5、AC，P为ABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2。求BPC的度数。 图（4-1） 图（4-2）简解：在RtABC的外侧，作BC=ACP，且C=CP=2，连结P。则BCACP。易证RtCP为等腰直角三角形，在PB中，B=3，BP=1，P=2，由勾股定理的逆定理可知，PB为Rt为Rt，PB=900BPC=CP+PB=450+=1350例5. 如图（5-1），在ABC中，BAC =900，AB=AC，ABC内一点O，AO=2cm,如果把ABO绕A点按逆时针方向转动900，使AB与AC重合，则O点经过的路径长为_。 图（5-1）例6 如图（6-1），五边形ABCDE中， ABC=AED=900，

6、AB=CD=AE=BC+DE=1，则这个五边形ABCDE的面积等于_。（2003年宁波市至诚杯竞赛题） 图（6-1） 图（6-2）简解：延长DE至使得E=BC，连结A，则AEABC（SAS） AB=CD=AE=BC+DE=1，CD =D CADAD（SSS）SABCDE=2 SCDA=2（11）=1（四） 三角形与圆混合类型将CAD绕A点按顺时针方向旋转600到BA，经过旋转变化，将图（3-1-a）中的DC与BD组合在一条直线上，见图（3-1-b）此时BD是个平角，AD为正三角形。 图（3-1-a） 图（3-1-b）例7 如图（7-1），正三角形ABC内接于O，P是劣弧上任意一点，PA=2，则四边形ABPC的面