不等式有关概念精析

1、不等式有关概念精析 山东省嘉祥县第二中学（272404）任宪伟1不等式的性质（1）不等式的基本性质对于任意，都有,.等价符号的左边反应实数的运算性质，右边反应是书的大小顺序，合起来是实数的运算性质与大小顺序间的关系。这是不等式的理论基础，正是实数比较大小、求解不等式、不等式性质证明以及证明不等式的重要依据。比较实数的大小，归根结底为判断两者差的符号，即符号运算的符号法则。将两个实数作差，作差后通常变形为：常数；常数或几个平方和的形式（常用配方法或实数）判断差的符号；几个因式积的形式（常用因式分解法）等。两个实数比较大小，通常用作差法，通常采取 “三步一结论”的步骤：作差；变形（配方法、因式分解

2、）；判断差的符号；结论。其中“判断差的符号”是解决问题的目的，“变形”是解决问题的关键。比较两个实数的大小，有时可借助作商法：作比，变形，判断与的大小，结论。用此法只需两实数同号即可：若,则，；若，则，。比如：“设的大小”宜用此法。（2）不等式的性质定理不等式的性质有“单向性”和“双向性”两类：单向性：，双向性：,，单向性主要应用于证明不等式；双向性是解不等式的基础，也能用于证明不等式。不等式的性质与等式的性质主要区别在于发生在与数（或恒为正、负的整式）相乘（或相除）时，不等式两边所乘（或除）的数的符号不同，结论不同；而等式则不然。（3）不等式性质的应用熟练不等式的性质，可以：证明简单的不等式

3、；判断一些命题的真假；比较实数的大小；求一些取值范围问题等。（4）不等式所涉及的几个常见问题不等式作为高中数学的重点内容，主要涉及以下几个问题：理解不等式基本性质的条件和结论；注意条件的加强和放宽与结论间的关系；正确利用不等式的性质，注意结论成立的条件；掌握证明不等式的常用方法，能利用不同问题选择适当的方法进行解决，注意每一方法的解题步骤和使用范围，以及含参数（字母）不等式的讨论与验证等。含参数的讨论要注意：根据实际问题，做到分类不重复、不遗漏；不断总结经验和教训，克服分类讨论中的主观性和盲目性；要养成简化或避免分类讨论的习惯来优化解题过程。2不等式的解法 （1）一元一次不等式(组)与一元二次

4、不等式(组)的解法解一元一次不等式（组）、一元二次不等式（组）是解其他不等式（组）的基础，利用数轴及二次函数的图象是解一元一次不等式（组）、一元二次不等式（组）的常用解法之一，熟练掌握逻辑联结词“或”、“且”的运用以及集合的“并”、“交”运算是解不等式的关键。一元一次不等式：将不等式整理成一般形式或或，；，。一元二次不等式：关于的一元二次不等式总可以整理成一般形式，。 不等式图象 （2）可化为一元二次不等式（组）的不等式解法分式不等式与高次不等式：、分式不等式的解法：、若能判断分母（子）的符号，则可直接化为整式不等式；、若不能判定分母、分子的符号，则，。、解一元高次不等式时，通常进行因式分解，

5、化为（或）的形式，然后利用区间法、或化为不等式组，或用数轴标根法求解。、用数轴标根法解一元高次不等式的步骤为：a化简，将原不等式化为与其同解的不等式（或），其中为的实数根，通常情况下它们两两不相等，且，且均为自然数，可以相等；b标根，将的根标在数轴上，将数轴分成个区间；c求解，若，则从最右边区间的右上方开始画一条连续的曲线，一次穿过每一个零点（即的根对应的数轴上的点），穿过最左边的零点后，曲线不再改变方向，向上或向下的方向无限延伸，这样不等式（或）的解救形象而又直观的表示在图上，这种方法称数轴标根法（或穿针引线法）。当不全为1时，即的根出现重根（出现重因式）时，对于奇次重因式对应的根，仍穿轴而过；对于偶次重因式对应的根，则应穿而不过（使曲线与轴相切）。简而言之，函数中有重因式时，曲线与轴的关系是“奇穿偶切”。指数、对数不等式的解法及注意点、解指数、对数不等式的依据是指数、对数的概念和性质，同底法解指数、对数不等式是最基本的方