对数不等式的解法

1、高次、无理、指数、对数不等式的解法 解不等式是中学数学解决问题的重要工具，在研究函数的性质、确立问题成立的条件等方面都有广泛的应用。 本阶段的重点是不等式的“等价转化”，将高次不等式低次化，无理不等式有理化、超越不等式代数化，最终回归到一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）来解。难点是解含参数的不等式，对于如何选择参数分类的标准、如何把握分类的时机是有难度和深度的。 一、高次不等式 1概念： 形如不等式(x-x1)(x-x2)(x-xn)>0（其中x1, x2, ,xn是互不相等的实常数）叫做一元n次不等式(nN)。 2解题思路： 作出相应函数的图象草图。具体步骤如下：(a)明确标出

2、曲线与x轴的交点，(b)分析在每一个开区间上函数的那段曲线是在x轴的上方还是下方（除此之外，对草图不必做更细致的要求）。然后根据图象草图，写出满足不等式的解集。 3例题： 例1解不等式：(1) (x-2)(x+2)(x-1)(x+1)>0；(2)(x2-5x-6)(1-x)>0。 解：(1)做出函数y=(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)的图象的草图（图1）。 所以不等式的解集为(-,-2)(-1,1)(2,+)。 (2)先把原不等式化成与它等价的：(x+1)(x-6)(x-1)<0。作出函数y=(x+1)(x-6)(x-1)的草图（图2），所以解集为(-,-1)(1,6

3、)。 注意：(1)解题中首先观察关于x的最高次项的系数是否为正数，如果为正数，函数y在最右边的开区间上的函数值总为正数，因此曲线总在x轴的上方，这样作草图就可以一蹴而就了，如果不是正数，那么首先化为正数；(2)解高次不等式的步骤可以概括为：找零点、分区间、画草图、写解集。 例2解不等式(x+2)(x+1)2(x-1)3(x-3)>0。 分析：此例中y=(x+2)(x+1)2(x-1)3(x-3)出现了重因式，函数图象应遵循“奇过偶切”如图3， 故解集为(-2,-1)(-1,1)(3,+)。 二、无理不等式 1概念：如果函数f(x)是关于x的无理式，那么f(x)>0或f(x)<

4、0，叫做无理不等式。 2解题思路：将其转化为有理不等式。 3常见题型及等价转化： (1)> (2)>g(x) 或 或 (3) <g(x) 4例题： 例1解不等式x-2。 解法一： 即 ，所以x5。所以原不等式的解集为5，+）。 解法二：设=t (t0)。 则x=。所以原不等式化为t-2,所以t2-2t-30, 即t-1或t3。因为 t0, 所以t3, 所以x5。 所以原不等式解集为5，+）。 评述：解法1是通法，要求必须熟练掌握，解法2是换元法，由于不等式两边次数恰是倍数关系，故换元后变为二次不等式，但最终还要解x的方程。三、指数不等式，对数不等式 1解题思路：化超越不等式为

5、代数不等式，依据是指数函数和对数函数的单调性。 2常见题型及等价转化： (1) (a>0,a1)。当0<a<1时，f(x)<g(x)；当a>1时，f(x)>g(x)。 (2)m·(ax)2+n·(ax)+k>0。令ax=t(t>0)，转化为mt2+nt+k>0，先求t的取值范围，再确定x的集合。 (3)logaf(x)>logag(x) (a>0, a1)。 当0<a<1时， 当a>1时， (4) 。 令logaf(x)=t (tR)，转化为mt2+nt+k>0，先求t的取值范围，再确定x的集合。 3例题 例1解不等式。 解：，所以x2-2x-3<3-3x，所以x2+x-6<0, 所以-3<x<2。 所以原不等式的解集为（-3，2）。 例2解不等式。 解：原不等式可化为，设2x=t(t>0), 则t2-12t-640。 所以-4t16，因为t>0。所以0<t16, 故