双曲线答案OK

1、双曲线知识梳理1. 双曲线的定义第一定义：当时, 的轨迹为双曲线; 当时, 的轨迹不存在; 当时, 的轨迹为以为端点的两条射线2. 双曲线的标准方程与几何性质标准方程图像性质焦点焦距范围对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点轴实轴长2a，虚轴长2b离心率渐近线2共渐近线的双曲线系方程：与双曲线1有相同渐近线的双曲线系方程可设为(0)，若>0，则双曲线的焦点在x轴上；若<0，则双曲线的焦点在y轴上等轴双曲线的渐近线方程为 ，离心率为.； 3基础三角形如图，AOB中，|OA|a，|AB|b，|OB|c，tanAOB， OF2D中，|F2D|b.4. 注意定义中“陷阱”问题1：已知，一曲线上

2、的动点到距离之差为6，则双曲线的方程为 点拨：一要注意是否满足，二要注意是一支还是两支 ，的轨迹是双曲线的右支.其方程为5. 注意焦点的位置问题2：双曲线的渐近线为，则离心率为 点拨：当焦点在x轴上时，；当焦点在y轴上时，第一部分热点考点题型探析考点1 双曲线的定义及标准方程题型1：运用双曲线的定义例1已知两圆C1：(x4)2y22，C2：(x4)2y22，动圆M与两圆C1、C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是()Ax0 B. 1(x) C. 1 D. 1或x0解析：如右图，动圆M与两圆C1、C2都相切，有四种情况：动圆M与两圆都相外切，动圆M与两圆都相内切；动圆M与圆C1外切、与圆C2内切.

3、 动圆M与圆C1内切、与圆C2外切. 在的情况下，显然，动圆圆心M的轨迹方程为x0；在的情况下，设动圆M的半径为r，则|MC1|r，|MC2|r故得|MC1|MC2|2；在的情况下，同理得|MC2|MC1|2由得|MC1|MC2|±2根据双曲线定义，可知点M的轨迹是以C1(4,0)、C2(4,0)为焦点的双曲线，且a，c4，bc2a214，其方程为1. 由可知选D.跟踪练习1.设P为双曲线上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=3：2，则PF1F2的面积为（ ）AB12CD24解析： 又由、解得直角三角形，故选B。2. 如图2所示，为双曲线的左焦点，双曲线上

4、的点与关于轴对称，则的值是（ ）A9 B16 C18 D27 解析 ，选C3. P是双曲线左支上的一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c，则的内切圆的圆心的横坐标为（ ）（A）（B）（C）（D）解析设的内切圆的圆心的横坐标为，由圆的切线性质知，题型2 求双曲线的标准方程例2 已知双曲线C与双曲线=1有公共焦点，且过点（3，2），求双曲线C的方程 解析 解法一：设双曲线方程为=1.由题意易求c=2.又双曲线过点（3，2），=1.又a2+b2=（2）2，a2=12，b2=8. 所求双曲线的方程为=1.解法二：设双曲线方程为1，将点（3，2）代入得k=4，所以双曲线方程为1.跟踪练习4. 已

5、知双曲线的渐近线方程是，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ； 解析设双曲线方程为，当时，化为，当时，化为，综上，双曲线方程为或5. 以抛物线的焦点为右焦点,且两条渐近线是的双曲线方程为_.解析 抛物线的焦点为，设双曲线方程为，双曲线方程为6. 已知点，动圆与直线切于点，过、与圆相切的两直线相交于点，则点的轨迹方程为A BC（x > 0） D解析，点的轨迹是以、为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B考点2 双曲线的几何性质题型1 求离心率或离心率的范围例3 已知双曲线的左，右焦点分别为，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率e的最大值为 【解题思路】这是一个存在性问题，

6、可转化为最值问题来解决解析(方法1)由定义知，又已知，解得，在中，由余弦定理，得，要求的最大值，即求的最小值，当时，解得即的最大值为(方法2) ，双曲线上存在一点P使，等价于 (方法3)设，由焦半径公式得，的最大值为【名师指引】（1）解法1用余弦定理转化，解法2用定义转化，解法3用焦半径转化；（2）点P在变化过程中，的范围变化值得探究；（3）运用不等式知识转化为的齐次式是关键跟踪练习7. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 解析当时，当时，或8. 已知双曲线的右顶点为E，双曲线的左准线与该双曲线的两渐近线的交点分别为A、B两点，若AEB=60°，则该双曲线的离心率e是

7、（ ）A B2 C或2 D不存在解析设双曲线的左准线与x轴交于点D,则，题型2 与渐近线有关的问题例4若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为 （ ）A. B. C. D.【解题思路】通过渐近线、离心率等几何元素，沟通的关系解析 焦点到渐近线的距离等于实轴长，故，,所以【新题导练】9. 设双曲线1(a0，b0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为(C)Ay±x By±2x Cy±x Dy±x10.已知双曲线C：1(a>0，b>0)，以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是（ ）A. B. Ca Db解析：右

8、焦点为F(c,0)，渐近线为bx±ay0，所求圆半径r等于F(c,0)到直线bx±ay0的距离考点3 双曲线的综合应用例6已知等轴双曲线C：x2y2a2(a>0)上一定点P(x0，y0)及曲线C上两动点A、B满足()·()0.(其中O为原点)(1)求证：()·()0.(2)求|AB|的最小值解析：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AP、BP中点分别为M、N，则xya2，xya2，xxyy 同理()·()0，·0，即·1，·1OMON即()·()0(2)又MONMPN易知O、M、N、P四点共

9、圆，且MN为圆的直径，OP为圆的任一弦，故|MN|OP|AB|2|OP|2因此|AB|最小值为2.10. (2010·广州一中)过双曲线1(a>0，b>0)的右顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、C，若，则双曲线的离心率是 ()A. B. C. D.解析：过点A(a,0)的直线的方程为yxa，则易求得该直线与双曲线的渐近线y±x的交点B、C的坐标为B、C，由得b2a，所以双曲线的离心率e.故选C基础巩固训练1. 以椭圆的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是 （A） （B） （C） （D）解析椭圆与双曲线共焦点，焦点到渐近

10、线的距离为b，选A 2. 已知双曲线的两个焦点为、，是此双曲线上的一点，且满足，则该双曲线的方程是（）A B C D 解析由 和得，选A3. 两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且则双曲线的离心率为( ) A B C D解析 ，选D4. 设，分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为( )A B1C2D不确定解析 C. 设，5.已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）(A). (B). (C). (D).解析 ，选B6. 曲线与曲线的（ ）A

11、焦距相等 B焦点相同 C离心率相等 D以上都不对解析 方程的曲线为焦点在x轴的椭圆，方程的曲线为焦点在y轴的双曲线，故选A7. 已知椭圆和双曲线有公共的焦点，（1）求双曲线的渐近线方程；（2）直线过焦点且垂直于x轴，若直线与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为，求双曲线的方程 解析（1）依题意，有，即，即双曲线方程为，故双曲线的渐近线方程是，即，（2）设渐近线与直线交于A、B，则，解得即，又，双曲线的方程为8. 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为，右顶点为.（）求双曲线C的方程（）若直线与双曲线恒有两个不同的交点A和B且（其中为原点），求k的取值范围解（1）设双曲线方程为由已知得，再由，得故双曲

12、线的方程为.（2）将代入得 由直线与双曲线交与不同的两点得 即且. 设，则，由得，而.于是，即解此不等式得 由+得故的取值范围为第二部分一、选择题1双曲线的离心率为( )A B C D2已知双曲线的离心率为2，焦点是，则双曲线方程为（ ）A B C. D.3.已知双曲线的一条准线为，则该双曲线的离心率为（ ）（A）（B）（C）（D）4.设F1和F2为双曲线y21两个焦点，点P在双曲线上，满足F1PF290°，则F1PF2的面积是（ ） A1 B C2 D5.已知双曲线的焦点为、，点在双曲线上且轴，则到直线的距离为（ ）（A） （B） （C） （D）6.若椭圆的共同焦点为F1，F2，P

13、是两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值为（ ） A. B.84 C.3 D.217.已知点,动点满足,则点P的轨迹为( )A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线8.（北京3）“双曲线的方程为”是“双曲线的准线方程为”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件9.（福建12）双曲线（a0,b0）的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|=2|PE2|，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A.（1，3） B.（1，3） C.（3，+） D. 3，+10.已知双曲线的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且则点M到x轴的距离为（ ）（A） （B）

14、（C） （D）11.（全国11）设是等腰三角形，则以为焦点且过点的双曲线的离心率为（ ）AB C D12.如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） （A）（B）（C）（D）二。填空题13.（江西14）已知双曲线的两条渐近线方程为，若顶点到渐近线距离为1，则双曲线方程为 14.设双曲线的右焦点为F,右准线与两条渐近线交于P、Q两点，如果是直角三角形，则双曲线的离心率15.设中心在原点的椭圆与双曲线2x22y21有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是 16.已知双曲线的中心在坐标原点,一个焦点为,两

15、条渐近线的方程为,则该双曲线的标准方程为 . 三。解答题17已知双曲线的中心在原点，焦点为F1，F2（0，），且离心率，求双曲线的标准方程及其渐近线18.（本小题满分12分）设双曲线C：相交于两个不同的点A、B.（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：（II）设直线l与y轴的交点为P，且求a的值.19.(12分)双曲线的两条准线间距离为3,右焦点到直线的距离为 (1)求双曲线C的方程; (2)双曲线C中是否存在以点为中点的弦,并说明理由20.（全国22）（本小题满分12分）双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点已知成等差数列，且与同向（）求双曲线的离

16、心率；（）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程21.(天津22)（本小题满分14分）已知中心在原点的双曲线的一个焦点是，一条渐近线的方程是（）求双曲线的方程；（）若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点，且线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围22.（本大题满分14分）如图，F为双曲线C：的右焦点。P为双曲线C右支上一点，且位于轴上方，M为左准线上一点，为坐标原点。已知四边形为平行四边形，。（）写出双曲线C的离心率与的关系式；OFxyPMH（）当时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若，求此时的双曲线方程。答案一。选择题答案1561011 12

17、D二。填空题答案13. 。14。15.x2y21 16.三。解答题答案。17. 解：18. （本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分14分.解：（I）由C与t相交于两个不同的点，故知方程组有两个不同的实数解.消去y并整理得 （1a2）x2+2a2x2a2=0. 2分双曲线的离心率（II）设8分由于x1，x2都是方程的根，且1a20，19.解:(1)由已知设右焦点,则由已知: 双曲线C的方程为: (2)假设存在以P为中点的弦AB设则: P为中点 , 此时直线AB: 即联立AB与双曲线方程有: 代简得: 无解故不存在以P为中点的弦20. 解：（1）设，由勾股定理可得：得：，由倍角公式，解得则离心率（2）过直线方程为与双曲线方程联立将，代入，化简有将数值代入，有解得最后求得