2018版高中数学苏教版必修五学案：2.2.3等差数列的前n项和(二)

1、2.2.3 等差数列的前 n 项和（二）【学习目标】1进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前 的最值问题.3理解 an与 Sn的关系，能根据 Sn求 an.If问题导学-知识点一数列中 an与 Sn的关系思考 1 已知数列an的前 n 项和 Sn= n2,怎样求 ai, an?梳理 对任意数列an , Sn与 an的关系可以表示为_n=1，an=*I. n 2, n N .思考 2 在数列an中，已知 S= an2+bn+ c（a, b, c 为常数）,这个数列一定是等差数列吗?知识点二等差数列前 n 项和的最值思考 我们已经知道当公差 dz0 时，等差数列前 n 项和是关于 n 的二次函数 S

2、n=切2+一d）n，类比二次函数的最值情况，等差数列的S 何时有最大值？何时有最小值?n 项和公式 2 会解等差数列前 n 项和梳理 等差数列前 n 项和的最值与Sn的单调性有关.（1）若 ai0, d0,则数列的前面若干项为正项（或 0），所以将这些项相加即得Sn的最大值. 若 ai0，则数列的前面若干项为负项（或 0），所以将这些项相加即得Sn的最小值.若 ai0, d0，则Sn是递增数列，S1是Sn的最小值；若 ai0 , d2 时，an=Sn Sn-i求得 an,最后验证 ai是否符合 an,若符合则统一用一个解析式表示.不符合则分段.跟踪训练 i 已知数列an的前 n 项和 Sn=

3、3n，求 an.类型二等差数列前 n 项和的最值例 2 已知等差数列 5,4, 3专，的前 n 项和为 Sn,求使得 Sn最大的序号 n 的值.反思与感悟 在等差数列中，求 Sn的最大（小）值，其思路是找出某一项，使这项及它前面的项皆取正（负）值或零，而它后面的各项皆取负（正）值，贝U从第 1 项起到该项的各项的和为最大（小）.由于 sn为关于 n 的二次函数，也可借助二次函数的图象或性质求解.跟踪训练 2 在等差数列an中，an= 2n 14,试用两种方法求该数列前 n 项和 Sn的最小值.类型三求等差数列前 n 项的绝对值之和例 3 若等差数列 an的首项 ai= 13，d = 4，记 T

4、n=|+ |an|，求 Tn.反思与感悟 求等差数列an前 n 项的绝对值之和，根据绝对值的意义，应首先分清这个数列的哪些项是负的，哪些项是非负的，然后再分段求出前n 项的绝对值之和.跟踪训练 3 已知数列an中，s=n2+ 10n，数列bn的每一项都有 bn=釦，求数列bn 的前 n项和 Tn的表达式.1 .已知数列an的前 n 项和 Sn= n2+ n,贝Va*=_.2 .已知数列 an为等差数列，它的前 n 项和为 Sn,若 Sn= (n+ 1)2+入贝 V 入的值是_3 .首项为正数的等差数列，前n 项和为 Sn,且 S3= S8,当 n=_时，Sn取到最大值.4 .已知数列an的前

5、n 项和 Sn= 3+ 2n，求an.规律与方法-11.因为 an= Sn Sni只有 n2 时才有意义，所以由 Sn求通项公式 為=f(n)时，要分 n= 1 和 n2 两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数 的形式表示.当堂训练2 .求等差数列前 n 项和最值的方法：(1) 二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n 项和的最值，但要注意 n N*，结合二次函数图象的对称性来确定 n 的值，更加直观.工 an0 ,anW0,(2) 通项法：当 ai0, d0,当时，Sn取得最大值；当 ai0,当时,|an+1W 0|an+10Sn取得最小值.3.求等

6、差数列 an 前 n 项的绝对值之和，关键是找到数列an的正负项的分界点.答案精析问题导学知识点一思考 1 a1= Sr= 1;当 n2 时，an= Sn SnT=n2 (n 1)2= 2n 1,又 n= 1 时也适合上式，所以 an= 2n 1，n N*.梳理S13nSn-1思考 2 当 n= 1 时，a1= Si = a+ b+ c;当 n2 时，an= Sn Sn-1= (an?+ bn + c) a(n 1) + b(n 1) + c=2an a + b.a+ b + c(n = 1),an |*pan a+ b(n2, n N)只有当 c= 0 时，a1= a+ b + c 才满足

7、an 2an a+ b,数列an才是等差数列.CM0 时，整个数列an不是等差数列，但从第二项起，以后各项依次构成等差数列.知识点二思考 由二次函数的性质可以得出：当a10 时，Sn先减后增，有最小值；当a10,d1 , n N ),21211当 n1 时，an= Sn Sn1= n + n (n 1) + ?(n 1) 2n 2,213当 n = 1 时，a1= S1 1 +1 2，也满足式.二数列an的通项公式为 an 2n g(n + ?n + 1) (n 1) + ?(n 1) + 1 2n ?215当 n= 1 时，ai= Si= 1 +空+ 1 = 5 不符合式.5，n= 1,an

8、=1*2n 2，n2, n N .跟踪训练 1 解当 n = 1 时，a1= 0 = 3;当 n2 时，an= Sn Sn1= 3n 3n1= 2 3n1.当 n= 1 时，代入 an= 2 3n1,得 a1= 2 工 3.3,n= 1,.an= 2 3n1,n2, n N*.例 2 解 方法一由题意知，等差数列 5,47, 37,的公差为n n155152所以 S =5n+2 ( 4)= 1(n 3)+于是，当 n 取与亍最接近的整数即 7 或 8 时，Sn取最大值.方法二 an= a+ (n 1)d = 5+ (n 1)x440令 an= 7n + w0,解得 n8,且 a$= 0, a9

9、0.故前 n 项和是从第 9 项开始减小，而 Sy= S8,所以前 7 项或前 8 项和最大.跟踪训练 2 解/ an= 2n 14 ,a1= 12, d= 2.a1a2a6a7= 0a8a9 5, n N .跟踪训练 3 解 由 Sn= n?+ 10n，得 an= Sn Sn1= 11 2n(n2, n N ).验证 a1= 9 也符合上式.二 an= 11 2n, n N .当 nW5 时，an0 ,此时 Tn= Sn= n2+ 10n；当 n5 时，an5, n N .当堂训练1 . 2n 2. 13.5 或 64.解 当 n = 1 时，a1= S1= 3+ 2 = 5.当 n2 时，Sn1=