高考数学江苏省理科试题及答案解析

1、2016年江苏省高考数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）【2016江苏（理）】已知集合A=1，2，3，6，B=x|2x3，则AB=【答案】1，2【解析】解：集合A=1，2，3，6，B=x|2x3，AB=1，2，【2016江苏（理）】复数z=（1+2i）（3i），其中i为虚数单位，则z的实部是【答案】5【解析】解：z=（1+2i）（3i）=5+5i，则z的实部是5，【2016江苏（理）】在平面直角坐标系xOy中，双曲线=1的焦距是【答案】2【解析】解：双曲线=1中，a=，b=，c=，双曲线=1的焦距是2【2016江苏（理）】已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，

2、则该组数据的方差是【答案】0.1【解析】解：数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5的平均数为：=（4.7+4.8+5.1+5.4+5.5）=5.1，该组数据的方差：S2=（4.75.1）2+（4.85.1）2+（5.15.1）2+（5.45.1）2+（5.55.1）2=0.1【2016江苏（理）】函数y=的定义域是【答案】3，1【解析】解：由32xx20得：x2+2x30，解得：x3，1，【2016江苏（理）】如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是【答案】9【解析】解：当a=1，b=9时，不满足ab，故a=5，b=7，当a=5，b=7时，不满足ab，故a=9，b=5当a=9，b=5时，满

3、足ab，故输出的a值为9，【2016江苏（理）】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是【答案】【解析】解：将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，基本事件总数为n=6×6=36，出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有：（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共6个，出现向上的点数之和小于10的概率：p=1=【2016江苏（理）】已知

4、an是等差数列，Sn是其前n项和，若a1+a22=3，S5=10，则a9的值是【答案】20【解析】解：an是等差数列，Sn是其前n项和，a1+a22=3，S5=10，解得a1=4，d=3，a9=4+8×3=20【2016江苏（理）】定义在区间0，3上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是【答案】7【解析】解：画出函数y=sin2x与y=cosx在区间0，3上的图象如下：由图可知，共7个交点【2016江苏（理）】如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆+=1（ab0）的右焦点，直线y=与椭圆交于B，C两点，且BFC=90°，则该椭圆的离心率是【答案】【解析

5、】解：设右焦点F（c，0），将y=代入椭圆方程可得x=±a=±a，可得B（a，），C（a，），由BFC=90°，可得kBFkCF=1，即有=1，化简为b2=3a24c2，由b2=a2c2，即有3c2=2a2，由e=，可得e2=，可得e=，【2016江苏（理）】设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间1，1）上，f（x）=，其中aR，若f（）=f（），则f（5a）的值是【答案】【解析】解：f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间1，1）上，f（x）=，f（）=f（）=+a，f（）=f（）=|=，a=，f（5a）=f（3）=f（1）=1+=，【2016江苏（

6、理）】已知实数x，y满足，则x2+y2的取值范围是【答案】，13【解析】解：作出不等式组对应的平面区域，设z=x2+y2，则z的几何意义是区域内的点到原点距离的平方，由图象知A到原点的距离最大，点O到直线BC：2x+y2=0的距离最小，由得，即A（2，3），此时z=22+32=4+9=13，点O到直线BC：2x+y2=0的距离d=，则z=d2=（）2=，故z的取值范围是，13，故答案为：，13【2016江苏（理）】如图，在ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，=4，=1，则的值是【答案】【解析】解：D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，=+，=+，=+3，=+3，=2

7、2=1，=922=4，2=，2=，又=+2，=+2，=422=，【2016江苏（理）】在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是【答案】8【解析】解：由sinA=sin（A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，由三角形ABC为锐角三角形，则cosB0，cosC0，在式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC，又tanA=tan（A）=tan（B+C）= ，则tanAtanBtanC=tanBtanC，由tan

8、B+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=，令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA0，tanB0，tanC0，由式得1tanBtanC0，解得t1，tanAtanBtanC=，=（）2，由t1得，0，因此tanAtanBtanC的最小值为8，当且仅当t=2时取到等号，此时tanB+tanC=4，tanBtanC=2，解得tanB=2+，tanC=2，tanA=4，（或tanB，tanC互换），此时A，B，C均为锐角二、解答题（共6小题，满分90分）【2016江苏（理）】在ABC中，AC=6，cosB=，C=（1）求AB的长；（2）求cos（A）的值【解析】解

9、：（1）ABC中，cosB=，sinB=，AB=5；（2）cosA=cos（C+B）=sinBsinCcosBcosC=A为三角形的内角，sinA=，cos（A）=cosA+sinA=【2016江苏（理）】如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1求证：（1）直线DE平面A1C1F；（2）平面B1DE平面A1C1F【解析】解：（1）D，E分别为AB，BC的中点，DE为ABC的中位线，DEAC，ABCA1B1C1为棱柱，ACA1C1，DEA1C1，A1C1平面A1C1F，且DE平面A1C1F，DEA1C1F；（2）AB

10、CA1B1C1为直棱柱，AA1平面A1B1C1，AA1A1C1，又A1C1A1B1，且AA1A1B1=A1，AA1、A1B1平面AA1B1B，A1C1平面AA1B1B，DEA1C1，DE平面AA1B1B，又A1F平面AA1B1B，DEA1F，又A1FB1D，DEB1D=D，且DE、B1D平面B1DE，A1F平面B1DE，又A1F平面A1C1F，平面B1DE平面A1C1F【2016江苏（理）】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥PA1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍（1）若AB=6m

11、，PO1=2m，则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？【解析】解：（1）PO1=2m，正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍O1O=8m，仓库的容积V=×62×2+62×8=312m3，（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，设PO1=xm，则O1O=4xm，A1O1=m，A1B1=m，则仓库的容积V=×（）2x+（）24x=x3+312x，（0x6），V=26x2+312，（0x6），当0x2时，V0，V（x）单调递增；当2x6时，V0，V（x）单调递减；故当x=2时，V（x）取最大值；即当PO1=2m时

12、，仓库的容积最大【2016江苏（理）】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y212x14y+60=0及其上一点A（2，4）（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线l的方程；（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得+=，求实数t的取值范围【解析】解：（1）N在直线x=6上，设N（6，n），圆N与x轴相切，圆N为：（x6）2+（yn）2=n2，n0，又圆N与圆M外切，圆M：x2+y212x14y+60=0，即圆M：（x6）2+（x7）2=25，|7n|

13、=|n|+5，解得n=1，圆N的标准方程为（x6）2+（y1）2=1（2）由题意得OA=2，kOA=2，设l：y=2x+b，则圆心M到直线l的距离：d=，则|BC|=2=2，BC=2，即2=2，解得b=5或b=15，直线l的方程为：y=2x+5或y=2x15（3）=，即，即|=|，|=，又|10，即10，解得t22，2+2，对于任意t22，2+2，欲使，此时，|10，只需要作直线TA的平行线，使圆心到直线的距离为，必然与圆交于P、Q两点，此时|=|，即，因此实数t的取值范围为t22，2+2，【2016江苏（理）】已知函数f（x）=ax+bx（a0，b0，a1，b1）（1）设a=2，b=求方程f

14、（x）=2的根；若对于任意xR，不等式f（2x）mf（x）6恒成立，求实数m的最大值；（2）若0a1，b1，函数g（x）=f（x）2有且只有1个零点，求ab的值【解析】解：函数f（x）=ax+bx（a0，b0，a1，b1）（1）设a=2，b=方程f（x）=2；即：=2，可得x=0不等式f（2x）mf（x）6恒成立，即m（）6恒成立令t=，t2不等式化为：t2mt+40在t2时，恒成立可得：0或即：m2160或m4，m（，4实数m的最大值为：4（2）g（x）=f（x）2=ax+bx2，g（x）=axlna+bxlnb=ax+，0a1，b1可得，令h（x）=+，则h（x）是递增函数，而，lna0，

15、lnb0，因此，x0=时，h（x0）=0，因此x（，x0）时，h（x）0，axlnb0，则g（x）0x（x0，+）时，h（x）0，axlnb0，则g（x）0，则g（x）在（，x0）递减，（x0，+）递增，因此g（x）的最小值为：g（x0）若g（x0）0，xloga2时，ax=2，bx0，则g（x）0，因此x1loga2，且x1x0时，g（x1）0，因此g（x）在（x1，x0）有零点，则g（x）至少有两个零点，与条件矛盾若g（x0）0，函数g（x）=f（x）2有且只有1个零点，g（x）的最小值为g（x0），可得g（x0）=0，由g（0）=a0+b02=0，因此x0=0，因此=0，=1，即lna+

16、lnb=0，ln（ab）=0，则ab=1可得ab=1【2016江苏（理）】记U=1，2，100，对数列an（nN*）和U的子集T，若T=，定义ST=0；若T=t1，t2，tk，定义ST=+例如：T=1，3，66时，ST=a1+a3+a66现设an（nN*）是公比为3的等比数列，且当T=2，4时，ST=30（1）求数列an的通项公式；（2）对任意正整数k（1k100），若T1，2，k，求证：STak+1；（3）设CU，DU，SCSD，求证：SC+SCD2SD【解析】解：（1）当T=2，4时，ST=a2+a4=a2+9a2=30，因此a2=3，从而a1=1，故an=3n1，（2）STa1+a2+a

17、k=1+3+32+3k1=3k=ak+1，（3）设A=C（CD），B=D（CD），则AB=，分析可得SC=SA+SCD，SD=SB+SCD，则SC+SCD2SD=SA2SB，因此原命题的等价于证明SC2SB，由条件SCSD，可得SASB，、若B=，则SB=0，故SA2SB，、若B，由SASB可得A，设A中最大元素为l，B中最大元素为m，若ml+1，则其与SAai+1amSB相矛盾，因为AB=，所以lm，则lm+1，SBa1+a2+am=1+3+32+3m1=，即SA2SB，综上所述，SA2SB，故SC+SCD2SD附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区

18、域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A【选修41几何证明选讲】【2016江苏（理）】如图，在ABC中，ABC=90°，BDAC，D为垂足，E为BC的中点，求证：EDC=ABD【解析】解：由BDAC可得BDC=90°，因为E为BC的中点，所以DE=CE=BC，则：EDC=C，由BDC=90°，可得C+DBC=90°，由ABC=90°，可得ABD+DBC=90°，因此ABD=C，而EDC=C，所以，EDC=ABDB.【选修42：矩阵与变换】【2016江苏（理）】已知矩阵A=，矩阵B的逆矩阵B

19、1=，求矩阵AB【解析】解：B1=，B=（B1）1=，又A=，AB=C.【选修44：坐标系与参数方程】【2016江苏（理）】在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为（为参数），设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长【解析】解：由，由得，代入并整理得，由，得，两式平方相加得联立，解得或|AB|=【2016江苏（理）】设a0，|x1|，|y2|，求证：|2x+y4|a【解析】证明：由a0，|x1|，|y2|，可得|2x+y4|=|2（x1）+（y2）|2|x1|+|y2|+=a，则|2x+y4|a成立附加题【必做题】【2016江苏（理）】如图，在平

20、面直角坐标系xOy中，已知直线l：xy2=0，抛物线C：y2=2px（p0）（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q求证：线段PQ的中点坐标为（2p，p）；求p的取值范围【解析】解：（1）l：xy2=0，l与x轴的交点坐标（2，0），即抛物线的焦点坐标（2，0），抛物线C：y2=8x（2）证明：设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则：，即：，kPQ=，又P，Q关于直线l对称，kPQ=1，即y1+y2=2p，又PQ的中点在直线l上，=2p，线段PQ的中点坐标为（2p，p）；因为Q中点坐标（2p，p），即，即关于y2+2py+4p

21、24p=0，有两个不相等的实数根，0，（2p）24（4p24p）0，p【2016江苏（理）】（1）求7C4C的值；（2）设m，nN*，nm，求证：（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+nC+（n+1）C=（m+1）C【解析】解：（1）7=4×=7×204×35=0证明：（2）对任意mN*，当n=m时，左边=（m+1）=m+1，右边=（m+1）=m+1，等式成立假设n=k（km）时命题成立，即（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+k+（k+1）=（m+1），当n=k+1时，左边=（m+1）+（m+2）+（m+3）+（k+1）+（k+2）=，右边=（m+1）=

22、（m+1）×k+3（km+1）=（k+2）=（k+2），=（m+1），左边=右边，n=k+1时，命题也成立，m，nN*，nm，（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+nC+（n+1）C=（m+1）C2016年江苏省高考数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1【2016江苏（理）】已知集合A=1，2，3，6，B=x|2x3，则AB=2【2016江苏（理）】复数z=（1+2i）（3i），其中i为虚数单位，则z的实部是3【2016江苏（理）】在平面直角坐标系xOy中，双曲线=1的焦距是4【2016江苏（理）】已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据

23、的方差是5【2016江苏（理）】函数y=的定义域是6【2016江苏（理）】如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是7【2016江苏（理）】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是8【2016江苏（理）】已知an是等差数列，Sn是其前n项和，若a1+a22=3，S5=10，则a9的值是9【2016江苏（理）】定义在区间0，3上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是10【2016江苏（理）】如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆+=1（ab0）的右焦点，直线y=与椭圆交于B，C两点，且

24、BFC=90°，则该椭圆的离心率是11【2016江苏（理）】设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间1，1）上，f（x）=，其中aR，若f（）=f（），则f（5a）的值是12【2016江苏（理）】已知实数x，y满足，则x2+y2的取值范围是13【2016江苏（理）】如图，在ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，=4，=1，则的值是14【2016江苏（理）】在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是二、解答题（共6小题，满分90分）15【2016江苏（理）】在ABC中，AC=6，cosB=，C=（1）求AB的长；（

25、2）求cos（A）的值16【2016江苏（理）】如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1求证：（1）直线DE平面A1C1F；（2）平面B1DE平面A1C1F17【2016江苏（理）】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥PA1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍（1）若AB=6m，PO1=2m，则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？18【2016江苏（理）】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y212x14y+60=0及其上一点A（2，4）（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线l的方程；（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得+=，求实数t的取值范围19【2016江苏（理）】已知函数f（x）=ax+bx（a0，b0，a1，b1）（1）设a=2，b