【江海名师零距离】2015届高三数学二轮总复习专题4：解决利用导数研究函数问题

1、专题四 解决利用导数研究函数问题（1）【典题导引】例1已知函数（1）当时，求函数的单调递减区间；（2）若函数在上单调，求实数的取值范围 解:(1)由题意知，函数的定义域为，当时，当时，故的单调递减区间是；(2)由题意得，函数在上是单调函数若为上的单调增函数，则在上恒成立，即在上恒成立，设，在上单调递减，；若为上的单调减函数，则在上恒成立，不可能实数的取值范围为反思归纳利用导数研究函数单调性的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数；(3)若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数的定义域内解(或证明)不等式或.若已知的单调性，则转化为不等式或在单调区间上恒成立问题求解例2(2013福建)已

2、知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的极值解:函数的定义域为,. (1)当时, , 在点处的切线方程为, 即；(2)由可知: 当时,函数为上的增函数,函数无极值； 当时,由,解得； 时,时,，在处取得极小值,且极小值为,无极大值. 综上:当时,函数无极值；当时,函数在处取得极小值,无极大值. 例3(2013山东)已知函数（1）设，求的单调区间；（2）设，且对任意，试比较与的大小解:（1）的定义域为，.当时，.若，当时，恒成立，所以函数的单调递减区间是若，当时，当时，.所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是.当时，由得.解得，此时，.当时，当时，.所以函数的单调递减区间是，单

3、调递增区间是.综上所述：当，时，函数的单调递减区间是当，时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是.当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是.（2）由题意知：函数在处取得最小值，由（1）知，是的惟一极小值点，故，整理得.令，则，令得.当时，单调递增；当时，单调递减；所以.故，即，即.例4. 已知函数.（1）若是函数的一个极值点，求实数的值；（2）设，当时，函数的图象恒不在直线的上方，求实数的取值范围.解：（1）由，得.是函数的一个极值点，,解得.经检验，此时是函数的极小值点，符合题意,故；（2）当时, 函数的图象不在直线的上方，即当时，恒成立，即.由(1)知，令，解得.当时，在上单调递增，解得

4、，这与矛盾，舍去；当时， 在上单调递减，在上单调递增，在或取到，而，故只需，解得；当时，在上单调递增，符合题意.综上所述，实数的取值范围.说明：求在闭区间上的最大值,只需要比较在上的极大值(如果有的话)和端点函数值的大小,从而需要研究在上的单调性,从而需要知道的解相对于区间的分布情况,因为的一个解是定值,故只需讨论另一解相对于区间的分布情况.【归类总结】1. 在求曲线的切线方程时，注意两点：（1）求曲线在点处的切线方程和求曲线过点的切线方程，在点处的切线，一定是以点为切点；过点的切线不管点在不在曲线上，点不一定是切点；（2）当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解2. 利用导数研究函数单调性的一般步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式或.若已知f(x)的单调性，则转化为不等式或在单调区间上恒成立问题求解3. 利用导数研究函数的极值(最值) （1）求函数的最值可结合函数的单调性、极值，有时也可以和图象联系；（2）利用导数方法证明不等式在区间上恒成立的基本