第三章三角恒等变形

1、第三章 三角恒等变形3.1两角和与差的三角函数（两课时） 洋浦实验中学 赵生碧一.教学目标：1.知识与技能（1）能够推导两角差的余弦公式；（2）能够利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式；（3）能够运用两角和的正、余弦公式进行化简、求值、证明；（4）揭示知识背景，引发学生学习兴趣；（5）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.2.过程与方法通过创设情境：通过向量的手段证明两角差的余弦公式，让学生进一步体会向量作为一种有效手段的同时掌握两角差的余弦函数，然后通过诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式；讲解例题，总结方法，巩固练习.3.

2、情感态度价值观通过本节的学习，使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识；理解掌握两角和与差的三角的各种变形，提高逆用思维的能力.二.教学重、难点 重点: 公式的应用.难点: 两角差的余弦公式的推导.三.学法与教学用具 学法：(1)自主性学习法：通过自学掌握两角差的余弦公式. (2)探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程. (3)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机.四.教学设想 【创设情境】思考:如何求cos（45-30）0的值.【探究新知】1思考:如何用任意角与 的正弦、余弦来表示cos(-)？你认为会是co

3、s(-)=cos-cos吗? 展示课件在直角坐标系作出单位圆，利用向量的方法求解（如教材图3.1）.学生思考：以上推导是否有不严谨之处？教师引导学生分析其中的过程发现：上述证明仅仅是对与为锐角的情况，但与为任意角时上述过程还成立吗？当-是任意角时，由诱导公式总可以找到一个角0，2），使cos=cos(-) 若0， ，则= cos=cos(-) 若,2)，则2 -0， ，且=cos(2-)=cos=cos(-).结论归纳: 对任意角与都有cos=cos·cos+sin·sin这个公式称为：差角的余弦公式 注意：1.公式的结构特点2.对于,只要知道其正弦或余弦，就可以求出cos

4、()展示投影例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）例1.利用差角余弦公式求cos的值分析: cos= cos= cos= cos思考：你会求sin的值吗?例2.已知cos , ,求cos的值.【巩固深化，发展思维】1.cos·cos+sin·sin= .2.cos·cos+sin·sin= .3.已知sina-sinb=-，cosa-cosb=，aÎ(0, ),bÎ(0, ),求cos(a-b)的值. 展示投影思考：如何利用差角余弦公式导出下列式子：cos= cos·cos- sin·sinsin=sin

5、·cos cos ·sinsin=cos·coscos ·sin (可让学生自己讲解，教师只是适当点拨而已)展示投影例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）例3.已知sin，cos求cos，sin的值.思考题：已知、都是锐角, cos，cos求cos.学习小结.两角差的余弦公式：cos=cos·cos+sin·sin .两角和的余弦公式：cos= cos·cos- sin·sin 两角和的正弦公式： sin=sin·cos cos ·sin 两角差的正弦公式： sin=cos·

6、coscos ·sin .注意公式的结构特点五、评价设计1作业：习题3.1 A组第1,2,3题 2（备选题）：求证：cosa+sina=2sin(+a)证一：左边=2(cosa+ sina)=2(sincosa+cos sina)=2sin(+a)=右边 （构造辅助角）证二：右边=2(sincosa+cos sina)=2(cosa+ sina)= cosa+sina=左边3、进一步理解这四个公式的特点六、课后反思：两角和与差的正切函数（1课时）洋浦实验中学 赵生碧一、教学目标：1、知识与技能（1）能够利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式；（2）能够运用两角和与差的

7、正切公式进行化简、求值、证明；（3）揭示知识背景，引发学生学习兴趣；（4）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.2、过程与方法借助两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式，让学生进一步体会各个公式之间的联系及结构特点；讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情感态度价值观通过本节的学习，使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识；理解掌握两角和与差的三角的各种变形，提高逆用思维的能力.二、教学重、难点 重点: 公式的应用.难点: 公式的推导.三、学法与教学用具 学法：(1)自主性学习+探究式学习法：通过通过类比分析、探索、掌握两角和与差的正切公式的推导过程。

8、 (2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距。教学用具:电脑、投影机四、教学设想 【探究新知】1两角和与差的正切公式 Ta+b ,Ta-b问：在两角和与差的正、余弦公式的基础上，你能用tana，tanb表示tan(a+b)和tan(a-b)吗？（让学生回答） 展示投影 cos (a+b)¹0tan(a+b)=tan(a+b)= 当cosacosb¹0时分子分母同时除以cosacosb得：tan(a-b)=以-b代b得：2运用此公式应注意些什么？（让学生回答）展示投影 注意：1°必须在定义域范围内使用上述公式。即：tana，tanb

9、，tan(a±b)只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能（也只需）用诱导公式来解；2°注意公式的结构，尤其是符号。）展示投影例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）例1.求tan15°，tan75°及cot15°的值：解：1° tan15°= tan(45°-30°)= 2° tan75°= tan(45°+30°)= 3° cot15°= cot(45°-30°)= （为什么？）例2.（见课本P134例1）例3.已

10、知tana=，tanb=-2 求cot(a-b)，并求a+b的值，其中0°<a<90°, 90°<b<180°.解：cot(a-b)= tan(a+b)=又0°<a<90°, 90°<b<180° 90°<a+b<270° a+b=135°例4. 求下列各式的值：1° 2°tan17°+tan28°+tan17°tan28° 解：1°原式= 2°

11、tan17°+tan28°=tan(17°+28°)(1-tan17°tan28°)=1- tan17°tan28° 原式=1- tan17°tan28°+ tan17°tan28°=1 展示投影练习教材P135第1、2、3、4题.学习小结1必须在定义域范围内使用上述公式。即：tana，tanb，tan(a±b)只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能（也只需）用诱导公式来解；2注意公式的结构，尤其是符号。五、评价设计作业：习题3.1 A组第4、5、6、7、8题六、

12、课后反思：3.2二倍角的正、余弦和正切 3.3半角的三角函数（两课时）洋浦实验中学 赵生碧一.教学目标：1.知识与技能（1）能够由和角公式而导出倍角公式；（2）能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力；（3）能推导和理解半角公式；（4）揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识. 并培养学生综合分析能力.2.过程与方法让学生自己由和角公式而导出倍角公式和半角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.3.情感态度价值观通过本节的学

13、习，使同学们对三角函数各个公式之间有一个全新的认识；理解掌握三角函数各个公式的各种变形，增强学生灵活运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能力.提高逆用思维的能力.二.教学重、难点 重点:倍角公式的应用.难点:公式的推导.三.学法与教学用具 学法：(1)自主+探究性学习：让学生自己由和角公式导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。 (2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机.四.教学设想 【探究新知】1、复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式：2、提出问题：公式中如果，公式会变得如何？3、

14、让学生板演得下述二倍角公式：展示投影这组公式有何特点？应注意些什么？注意：1每个公式的特点，嘱记：尤其是“倍角”的意义是相对的，如：是的倍角.2熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角降次，降角升次）3特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形： 这两个形式今后常用. 展示投影例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）例1.（公式巩固性练习）求值：sin22°30cos22°30=例2.化简例3、已知，求sin2a，cos2a，tan2a的值。 解： sin2a = 2sinacosa = cos2a = tan2a = 展示投影思考：你能否有办法用sina、cosa和tan

15、a表示多倍角的正弦、余弦和正切函数？你的思路、方法和步骤是什么？试用sina、cosa和tana分别表示sin3a，cos3a，tan3a.展示投影例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）例4. cos20°cos40°cos80° = 例5.求函数的值域. 解： 降次展示投影学生练习：教材P140练习第1、2、3题展示投影思考（学生思考，学生做，教师适当提示）你能够证明： 证：1°在 中，以a代2a，代a 即得： 2°在 中，以a代2a，代a 即得： 3°以上结果相除得：展示投影这组公式有何特点？应注意些什么？注意：1

16、76;左边是平方形式，只要知道角终边所在象限，就可以开平方。 2°公式的“本质”是用a角的余弦表示角的正弦、余弦、正切 3°上述公式称之谓半角公式（课标规定这套公式不必记忆） 4°还有一个有用的公式：（课后自己证）展示投影例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）例6.已知cos，求的值.例7.求cos的值.例8.已知sin，求的值.展示投影练习教材P145练习第1、2、3题.学习小结1公式的特点要嘱记：尤其是“倍角”的意义是相对的，如：是的倍角.2熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角降次，降角升次）.3特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形： 这两个形式今

17、后常用.4.半角公式左边是平方形式，只要知道角终边所在象限，就可以开平方；公式的“本质”是用a角的余弦表示角的正弦、余弦、正切.5注意公式的结构，尤其是符号.五、评价设计1作业：习题3.2 A组第1、2、3、4题2. 作业：习题3.3 A组第1、2、3、4题六、课后反思：3.4三角函数的和差化积与积化和差 3.5三角函数的简单应用（两课时）洋浦实验中学 赵生碧一.教学目标：1.知识与技能（1）能够推导“和差化积”及“积化和差”公式，并对此有所了解.（2）能较熟练地运用公式进行化简、求值、探索和证明一些恒等关系，进一步体会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会如何综合利用这些公式解决问题.（3）

18、揭示知识背景，培养学生的应用意识与建模意识.2.过程与方法让学生自己导出“和差化积”及“积化和差”公式，领会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；同时让学生初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.3.情感态度价值观通过本节的学习，使同学们对三角恒等变形公式的意义和作用有一个初步的认识；理解并掌握三角函数各个公式的灵活变形，体会公式所蕴涵的和谐美，增强学生灵活运用数学知识解决实际问题的能力.二.教学重、难点 重点:三角恒等变形.难点: “和差化积”及“积化和差”公式的推导.三.学法与教学用具 学法：(

19、1)自主+探究性学习：让学生自己根据已有的知识导出“和差化积”及“积化和差”公式，领会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。 (2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机.四.教学设想 【创设情景】请回忆两角和的正弦公式、两角差的正弦公式、两角和的余弦公式、两角差的余弦公式；问你能否用sin与sin表示sin·cos和cos ·sin？类似地能否用cos与cos来表示cos·cos和sin·sin？【探究新知】展示投影（在学生已完成的基础上进行评价）积化和差

20、公式的推导 sin(a + b) + sin(a - b) = 2sinacosb Þ sinacosb =sin(a + b) + sin(a - b)sin(a + b) - sin(a - b) = 2cosasinb Þ cosasinb =sin(a + b) - sin(a - b)cos(a + b) + cos(a - b) = 2cosacosb Þ cosacosb =cos(a + b) + cos(a - b)cos(a + b) - cos(a - b) = - 2sinasinb Þ sinasinb = -cos(a + b

21、) - cos(a - b)展示投影这组公式有何特点？应注意些什么？这套公式称为三角函数积化和差公式，熟悉结构，不要求记忆，它的优点在于将“积式”化为“和差”，有利于简化计算。（在告知公式前提下）展示投影练习1.求的值2.求的值3.在积化和差中若令a + b = q，a - b = ，则， 代入可得什么的式子，做做看：（教师巡视，先观察学生做的情况，再决定是否示范） 引导学生观察这套公式的特点：这套公式称为和差化积公式，其特点是同名的正（余）弦才能使用，它与积化和差公式相辅相成，配合使用. 展示投影例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）例1.教材P148例2.例2.教材P149例3.

22、展示投影练习.教材P149第1、2题. 展示投影例题讲评（学生边做教师边提示）例3. 已知cosa - cos b = ，sina - sinb = ，求tan(a + b)的值解：cosa - cos b = ， sina - sin b =， 例4.教材P150例6. （学生做，教师巡视，鼓励学生用多种方法求解）展示投影练习1.化简；2. 教材P151练习第1、2、3、4题.展示投影例题讲评（学生边思考教师边提示）例5.要使半径为R的半圆形木料截成长方形（如图），应怎样截取才能使长方形的面积最大？学生自主学习阶段学生阅读教材P154158相关内容，学生提问，学生回答，教师控制课堂节奏。学生

23、自主学习检测：教材P158159的相应习题。学习小结尝试由学生小结，学生补充的形式.五、评价设计1作业：习题3.4 A组第1、2、3、4、5、6、7题2. 作业：习题3.5 A组第4题（选做）六、课后反思：第三章 三角恒等变形复习课（2课时）洋浦实验中学 赵生碧第一部分：基础知识基本公式常见变形一、两角和与差公式及规律 常见变形 二、二倍角公式及规律 常见变形 ( )三、积化和差与和差化积公式四、学习本章应注意的问题1、两角差的余弦公式是本章中其余公式的基础，应记准该公式的形式.2、倍角公式有升、降幂的功能，如果升幂，则角减半，如果降幂，则角加倍，根据条件灵活选用.3、公式的“三用”（顺用、逆

24、用、变用）是熟练进行三角变形的前提.第二部分：基本技能与基本数学思想方法1、 整体原则-从角度关系、函数名称差异、式子结构特征分析入手，寻求三角变形的思维指向；2、 角度配凑方法 如等;3、 方程思想；4、 消参数思想；5、 “1”的代换；6、 关于间的互相转化；7、 关于的齐次分式、二次齐次式与间的互相转化；8、 配凑辅助角公式:一般地，其中9、关于已知条件是的求值、化简、证明的变形及其思维方法。其中是任意角；等等。第三部分：应用举例（供选用）例已知（） 求（） 若求的值分析求三角函数式的值，一般先化简，再代值计算略解当时，当时，故当n为偶数时，当n为奇数时，例已知求的值分析已知三角函数式的

25、值，求其它三角函数式的值的基本思路：考虑已知式与待求式之间的相互转化略解原式例已知（） 求的值；（） 当时，求的值分析从角度关系分析入手，寻求变形的思维方向略解（）方法从而，方法设（）由已知可得 例4已知求的值.分析根据问题及已知条件可先“化切为弦”。由，只需求出和，问题即可迎刃而解.略解点评 对公式整体把握，可“居高临下”的审视问题。例5已知求的值.分析要想求出的值，即要求出的值，而要出现和，只需对条件式两边平方相加即可。 略解 将两条件式分别平方，得 将上面两式相加，得 例6已知方程有两根，求的最小值.分析 可借助于一元二次方程的根与系数关系求出关于m的解析式。 略解又 解得 故 的最小值为例7已知求的值.分析注意到 可通过与的正、余弦值来求出的值。略解 由已知可得例8 的值等于 （ ）A B C D分析从角度关系分析入手，尝试配凑已知