有理函数的高阶导数的行列式表示

1、有理函数的高阶导数的行列式表示朱 靖（楚雄师范学院数学系2006级1班）指导老师 郎开禄摘要：本文讨论了有理函数,和一般形式的高阶导数,并得出一些有意义的用行列式表示的高阶导数计算公式.关键词：有理函数；高阶导数；行列式表示The determinant expression of higher order derivatives of the rational functionAbstract This paper has discussed the derivatives of higher order of rational functions in forms of ,and the

2、general form，some meaningful derivative calculation formulas with determinant expressions are obtained.Key words rational function; derivatives of higher order; determinant expression导师评语：在文1（1 刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义(上册)M,第三版.北京: 高等教育出版社，1992:193198.）中给出了常见的一些基本初等函数的高阶导数计算公式.对于有理函数,在文2（2华东师范大学数学系编.数学分析(上册)M

3、，第三版.北京:高等教育出版社,2001:117.）中给出了分子、分母都是一次多项式的有理函数（即）的阶导数计算公式,并用二级行列式表示出来.受文2的启发,在文1、2的基础上,朱靖同学的毕业论文有理函数的高阶导数的行列式表示进一步研究了有理函数,和的高阶导数计算公式及其行列式表示,并获得一些有意义的导数计算公式(定理4至定理7及推论).朱靖同学的毕业论文有理函数的高阶导数的行列式表示选题具有一定的理论价值和实际意义,通过深入研究,该论文获得了一些有理论和实际意义的用行列式表示的高阶导数计算公式.该论文完成有相当的技巧性和难度,其结果在理论与实际上都有重要意义.论文语言流畅,打印行文规范,是一篇

4、创新型的毕业论文.该同学在作论文过程中,悟性好,爱钻研,能吃苦,独立性强,心理素养好.有理函数的高阶导数的行列式表示前言高阶导数计算是数学分析中的重要内容，在数学分析中,我们仅能获得较少的简单函数的高阶导数计算公式.对于有理函数,文2已给出了分子、分母都是一次多项式的有理函数（即）的阶导数计算公式,并用二级行列式表示出来.在本文中,受文2的启发,我将进一步讨论有理函数,和一般形式的高阶导数计算公式，并将其用行列式表示出来.一 高阶导数关于高阶导数,在文1中,有下面的运算性质和基本公式：定理 若,在存在阶导数,则(1) ;(2) (为常数);(3) .定理 常用初等函数的阶导数公式如下:(1)

5、(2) (3) (4) (5) (6) 二 的高阶导数 关于的高阶导数,在文2中,有定理 若,则(1) (2).证明 (1) .(2) 证法一(分解成部分分式之和)：因为,所以.证法二(莱布尼茨公式法)：因为,所以.证法三(数学归纳法)：当时,由(1)知等式显然成立.假设时,则,即当时,等式也成立,故有.三 的高阶导数受文2的启发,本文我们研究了的高阶导数,并获得了下面结果：定理4 若,则(1) ;(2) ;(3) ;(4) .注1 为了使上面公式尽可能地简化，我们规定.注2 本文中的多项式系数除特别标注外可以是任意常数. 证明 (1) .(2) .(3) .(4)应用数学归纳法证明：当时,前

6、面已证,结论显然成立.假设时,结论成立,有 于是 .下令 ,则.当时，,从而 ;当时，同理可得. 因此, .即当时,结论也成立,故有.对定理4的结论作进一步的改造与化简，可得定理5 若,则(1) ;(2) ;(3) ;(4)(*)证明 根据定理4的结论,可得(1) (2) .(3) .(4) 推论1 若,则.证明 ,即中当时的情形,将代入公式(*),得：当时, ;当时, .综上可得, .推论2 若,则证明 ,即中当时的情形,将代入公式(*)可得：当时, ; 当时, .综上可得, 例1 设,求.解解法一:公式法 根据定理5,得. . 解法二: 直接求导法 根据基本求导法则,得 .例2 设,求.解

7、解法一:公式法 根据推论2,得.解法二: 直接求导法 根据基本求导法则,得.例3 设,求.解解法一:公式法 根据定理5,得 . 解法二: 直接求导法 根据基本求导法则,得. .以上三个例子均应用公式法和直接求导法两种方法求解,且由两种方法得出的结果是完全一致的，由此进一步验证了定理与推论的正确性.两种方法各有优缺点.用直接求导法时,求较低阶导数时更方便，但是求较高阶导数时，数字运算比较复杂,且必须在已求得前一阶导数的基础上才能求解（如例3解法二）.用公式法求解时,将具体数值代入公式(*)的计算过程较为繁琐,在求解较低阶导数时未体现明显的优势,但是利用公式法可直接求解任意阶导数,并且当有理函数所

8、求导数的阶数越高,就越能体现它的优越性;此外,公式法还具有较高的理论价值.四 的高阶导数关于的高阶导数,在本文中我们获得以下结果：定理6 若,则(1) (2) 证明 (1) .(2)推论3 若,则(1) (2)证明 ,即中当时的情形,由定理6 ,得:(1) (2) 例4 设,求.解解法一:公式法 根据定理6,得解法二:直接求导法 根据基本求导法则,得该例子应用公式法和直接求导法所得出的结果是完全一致的,由此进一步验证了定理6的正确性.在这个例题中,求解函数的一、二阶导数用公式法比用直接求导法繁杂得多,由此,定理6在实际应用中并不可取，但却具有一定的理论价值.五 的一阶导数定理7 若，则.证明 .推论4 (1) 若,则;(2) 若,则;(3) 若,则;(4) 若,则.注1推论4中(1)、(2)、(3)和前文定理3、定理4、定理6中的结论是一致的，由此进一步验证了定理7的正确性.注2 形式上看只是分子、分母同为次多项式的有理函数,不具有一般性,但由于在此多项式系数并没有规定不可以为,因此实质上它已包括了一切有理函数. 参考文献1 刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义