数列综合测试题含附加题(有答案)

1、数列综合测试题一选择题（每小题5分，满分50分）1. “”是“成等比数列”的（ ）条件A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 2.已知是等比数列，对恒成立，且，则等于 （ ）A36 B C6 D63.在等差数列中，有，则此数列的前13项之和为A52 B26 C13 D1564.已知等差数列的公差, 若, , 则该数列的前n项和的最大值为 ( .A. 50 B. 45 C. 40 D. 355.已知等差数列中，公差；是数列的前n项和，则（ ）A B C D6.数列的前n和为,当时有 ( A. B. C. D. 7.设函数f（x）满足f（n+1）=（nN*）且f（1

2、）=2，则f（20）为 （ ）A95 B97 C105 D1928.已知数列满足：，定义使 为整数的K叫做希望数，则区间1，2010内所有希望数的和 （ ）A2026 B2036 C2046 D20489.给定正数p,q,a,b,c，其中pq，若p,a,q成等比数列，p,b,c,q成等差数列, 则一元二次程bx22ax+c=0 （ ） A无实数根 B有两个相等的实数根C有两个同号的相异的实数根 D有两个异号的相异的实数根10.已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为,则的取值范围是 （ ）A B C D 二填空题（每小题5分，共25分）11.已知等比数列an，a2a3=1，则使不等式(a1-

3、+(a2-+(an-0成立的最大自然数n是 12.已知等比数列及等差数列，其中，公差d0将这两个数列的对应项相加，得一新数列1，1，2，则这个新数列的前10项之和为_13.设an是首项是1的正项数列, 且 0(n1.2,3,则它的通项公式 _.14.把49个数排成如图4所示的数表，若表中每行的7个数自左至右依次都成等差数列，每列的7个数自上而下依次也都成等差数列，且正中间的数a=1，则表中所有数的和为 _.15. 已知，把数列的各项排成三角形状； 记A（m,n）表示第m行，第n列的项，则A（10，8）= .三.解答题16.( 本小题12分 已知数列满足，（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前

4、项和；（）设，数列的前项和为求证：对任意的， 17( 本小题12分 设二次函数的所有整数值的个数为g(n （I）求g(n的表达式；（II）设（III）设的最小值18. ( 本小题12分 已知数列的前项和满足（）写出数列的前3项；（）求数列的通项公式；（）证明：对任意的整数，有19. ( 本小题13分 设A（x1,y1）,B(x2,y2是函数f(x=的图象上任意两点，且，已知点M的横坐标为.（I）求证：M点的纵坐标为定值； （II）若Sn=f(N*，且n2,求Sn;（III）已知an=，其中nN*.Tn为数列an的前n项和，若Tn(Sn+1+1对一切nN*都成立，试求的取值范围.20. ( 本小

5、题13分 对数列，规定为数列的一阶差分数列，其中。对自然数，规定为的阶差分数列，其中。（I）已知数列的通项公式，试判断，是否为等差或等比数列，为什么？（II）若数列首项，且满足，求数列的通项公式。（III）对（II）中数列，是否存在等差数列，使得对一切都成立？若存在，求数列的通项公式；若不存在，则请说明理由。21. ( 本小题13分 A3如图， 是曲线 上的个点，点在轴的正半轴上，是正三角形(是坐标原点 .( 写出；(求出点的横坐标关于的表达式；(设，若对任意正整数，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.1. 已知函数的最大值不大于，又当时（1）求的值；（2）设，证明2.如图，把正分成有限个全

6、等的小正三角形，且在每个小三角形的顶点上都放置一个非零实数，使得任意两个相邻的小三角形组成的菱形的两组相对顶点上实数的乘积相等设点A为第一行，BC为第n行，记点A上的数为，第i行中第j个数为若（1）求；（2）试求第n行中第m个数的表达式（用n、m表示）；（3）记，求证：3.已知函数的定义域为R, 且对于任意R,存在正实数,使得都成立.(1 若,求的取值范围；(2 当时，数列满足，.1 证明：；2 令，证明：.4已知数列中，其前项和满足.令.（）求数列的通项公式；（）若，求证：（）；（）令（），求同时满足下列两个条件的所有的值：对于任意正整数，都有；对于任意的，均存在，使得时，.5.设二次函数的

7、所有整数值的个数为g(n （I）求g(n的表达式；（II）设（III）设的最小值6.已知，. 数列满足，。（）证明：；（）已知，证明：；（）设是数列的前项和，判断与的大小，并说明理由. 7.数列an的前n项和为Sn，已知(I 求数列an的通项公式；Yes( II 若 ，数列 b n 的前 n 项和为 T n ，求 T n ； (III 张三同学利用第(II题中的Tn设计了一个程序如图，但李四同学认为这个程序如果被执行会是一个“死循环”(即程序会永远循环下去，而无法结束 你是否同意李四同学的观点？请说明理由1-10 BDBBD CBAAD 11.5; 12.978; 13.; 14.49; 15

8、. 16解：（），又，数列是首项为，公比为的等比数列，即. （） （）， 当时，则， 对任意的，17【解析】：（I）当时，函数的值随x的增大而增大，的值域为，（II） n为偶数时， =3 + 7 +（2n1）=当n为奇数时，=（III）由 ×得 得=则由，可得l的最小值是718（04年全国卷）简析 （）略，（） ；（）由于通项中含有，很难直接放缩，考虑分项讨论：当且为奇数时（减项放缩），于是当且为偶数时当且为奇数时（添项放缩）由知由得证。19（1）证明：M是AB的中点.设M点的坐标为（x,y）,由（x1+x2）=x=,得x1+x2=1，则x1=1-x2或x2=1-x1.而y=(y1+

9、y2= f(x1+f(x2=(+log2=(1+log2=(1+log2=(1+log2M点的纵坐标为定值.（2）由（1）知x1+x2=1,f(x1+f(x2=y1+y2=1,Sn=f(Sn=f(,两式相加得：2Sn=f(+f(+f(= Sn=(n2,nN*.(2当n2时,an=Tn=a1+a2+a3+an=(=(由Tn(Sn+1+1得·n+4,当且仅当n=2时等号成立,因此，即的取值范围是（+）.20解：（I），是首项为4，公差为2的等差数列。,是首项为2，公差为0的等差数列；也是首项为2，公比为1的等比数列。（II）证法一：，即，即，,，猜想：.证明：）当时，猜想成立；）假设时，

10、,时， 结论也成立,由）、）可知，.证法二：，即，即，,，故是首项为，公差为的等差数列， ，故。（III），即 ， ,存在等差数列，使得对一切自然都成立。21 解：( .(依题意，则A3 ， 3 分 在正三角形中，有 .， ， 同理可得 . -并变形得， ， . 数列是以为首项，公差为的等差数列. ， 7分，. (解法1 ：， .当时，上式恒为负值，当时，数列是递减数列. 的最大值为. 若对任意正整数，当时，不等式恒成立，则不等式在时恒成立，即不等式在时恒成立.设，则且，解之，得 或，即的取值范围是.辅助练习1.（04年辽宁卷第21题）解析 （）=1 ；（）由得 且用数学归纳法（只看第二步）：

11、在是增函数，则得2.解：（1）（2） （3）当时，所以当时，则又所以3.(1 证明：对任意R，有： . 2分由,即.当时,得.且，. 4分要使对任意R都成立,只要.当时, 恒成立.的取值范围是. 5分(2 证明：，,故当时，. 6分 7分. 8分,当时,不等式也成立. 9分,. 11分. 14分4.【解】（）由题意知即12检验知、时，结论也成立，故.3（）由于故.6（）（）当时，由（）知：，即条件满足；又，.取等于不超过的最大整数，则当时，.9（）当时，.由（）知存在，当时，故存在，当时，不满足条件. 12（）当时，.取，若存在，当时，则.矛盾. 故不存在，当时，.不满足条件.综上所述：只有时满足条件，故.145.【解析】：（I）当时，函数的值随x的增大而增大，的值域为，（II） n为偶数时， =3 + 7 +（2n1）=当n为奇数时，=（III）由 ×得 得=则由，可得l的最小值是76.解：（I），. . （1分）下面用数学归纳法证明：.时，故结论成立.假设时结论成立，即.，即.也就是说时，结论也成立.由可知，对一切均有. （4分）（）要证，即证，其中.令. .由，得. （6分）+0极大值又， .当，. . . 即. （9分）（）