习题课三(数值积分和数值微分)

1、习题课数值微分和数值积分 用三点公式求 在x=1.0，1.1，1.2处的导数值，f (x)的函数值如下所示xi1.01.11.2f (xi)0.250000.62267570.2066122)1 (1)(xxf解：x0=1.0，x1=1.1，x2=1.2；h=0.1hxfxfxfxf2)()(4)(3)( 2100670454. 71 . 02206612. 06226757. 0425. 03)0 . 1 ( fhxfxfxf2)()()( 20121694. 01 . 02206612. 025. 0) 1 . 1 ( fhxfxfxfxf2)(3)(4)()( 2102104334. 8

2、1 . 02206612. 036226757. 0425. 0)2 . 1 ( f6.若用复化梯形公式与复化辛卜生公式计算积分 ，问区间0，1应多少等分才能使截断误差不超过0.510-5？若改用复化辛普生公式，要得到同样精度区间0，1应多少等分？解：利用给定的精度和两种方法的余项公式进行计算 xexf)(xexfxf )()()4(eexfxf 1) 4()()(10dxex0 x1由复化梯形截断误差公式，得8 .212n52122231012112)()()(enMnabfTfIn213n解得所以积分区间应等分213份由复化辛卜生截断误差公式，得521444510288012880)()(

3、)(emMmabfSfIn所以积分区间应等分4份7 . 3m解得4m已知43,21,41210 xxx(1)推导以这3个点作为求积节点在0,1上的插值型求积公式。(2)指明求积公式所具有的代数精度。(3)用所求公式计算 。(4)指出所得公式与一般的Newton-Cotes型公在形式上的重要区别。102dxx43,21,41210 xxx32)()()()(10434121414321102010210dxxxdxxxxxxxxxA31)()()()(10432141214341102101201dxxxdxxxxxxxxxA解:(1)()()(433221314132fffI32)()()()

4、(10214341432141101202102dxxxdxxxxxxxxxA所以该插值型求积公式为(2)求代数精度，f (x)分别取1，x，x2, x3，代入求积公式1)( xf1323132xxf)(左边=1右边=左=右右边=左边=2121102x21433221314132左=右3)(xxf2)(xxf左边=右边=左=右右边=左边=41433221314132333左=右3131103102xdxx314332213141322224141104103xdxx4)(xxf5151105104xdxx右边=左边=19237433221314132444左右所以该公式具有3次代数精度3143

5、3221314132222102dxx（3）计算积分值（4）这也是一个等距节点的插值公式，它与一般Newton-Cotes公式的区别是该公式的求和项中不包含积分的上下限对应的函数值已知飞机在高度H的上升速度v(H)如下:H(km)0246810v(H)(km/s) 50.0 46.0 40.0 32.2 22.5 10.0用复化梯形公式求从地面（H=0）上升到H=10km高空所需的时间100)(1dHHvT解:复化梯形)(1)(, 2Hvxfh 36448. 0)5 .2212 .321401461(210150122 )(2)()(2)(11110niixfbfafhdHHv试确定积分公式中

6、的A、B、C使积分公式的代数精度最高，并指出实际的代数精度解：令f (x)=1，x，x2，则hhhCfBfhAfdxxf22)()0()()(给定求积分公式f (x)=1左边CBAhxhh422右边f (x)=x2左边ChAhhxhh22331622331右边f (x)=x左边CAxhh022221右边hCACAhCBA31604解得hChBhA383438关于A、B、C的三元一次方程组hhhhfhfhhfdxxf22383438)() 0()()(该积分公式可写为下面确定该公式实际代数精度再取f (x)=x3左边022441hhx右边00338338hhhh左边右边，所以该求积公式具有3阶代

7、数精度。再取f (x)=x4代入，得左边=556422551hxhh右边=53164384380hhhhh用龙贝格方法计算下列积分10dxx要求精确到10-2解：（1）xxf)(（2）将区间0，1二等分，x=0. 5是新 分点，得在区间0，1上使用梯形公式，得5 . 0 01 )1 () 0 (21211ffT6380. 01312341TTS6036. 05 . 0211212fTT（3）再将区间等分，增加的分点为 （4）将区间再等分，增加的分点为 4341,6433. 0)()(4341412214ffTT6565. 02314342TTS6578. 01151215161SSC 6582

8、. 0)()(87858381814218ffffTT87858381,6632. 04318344TTS6536. 02151415162SSC（5）将区间再等分，增加的分点为 161516131611169167165163161,6636. 016T6654. 08S6656. 04C6658. 02R6536. 06316364121CCR注意:什么时候停止计算?k 区间等分数TSCR010.5120.6036 0.6380240.6433 0.6565 0.6578380.6582 0.6632 0.6536 0.65364160.6636 0.6654 0.6656 0.66585320.6656 0.6663 0.6663 0.66631.物理量x的准确值、相对误差限和绝对误差限分别是x*、r和，它们三者的关系是 。2.最小二乘法拟合与插值的区别是什么？3.已知 f (0.99)=2.691，f (1.00)=2.718，f (1.01)=2.746，用一阶三点公式计算出 f (1.00)4. 求求积公式)33()33()(11ffdxxf代数精度5.计算 ，应避免 。)2cos1 (107A小测验6.写出拉格朗日插