2020届高考数学一轮复习讲义(提高版)专题6.5相关系数及回归方程(解析版)

1、6.5 相关系数及回归方程【套路秘籍】-千里之行始于足下两个变量间的相关关系：有关概念：相关关系与函数关系不同.函数关系中的两个变量间是一种确定性关系.相关关系是一种非 确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系如果一个变量的值由小变大时另一个变量 的值由小变大，这种相关称为正相关；如果一个变量的值由小变大时另一个变量的值由大变小，这种相关 称为负相关；如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系.回归方程：$ bx $是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(Xi, yi),(X2, y2),L ,(Xn, yn)的回归方程，其中是待定参数.

2、的计算公式n_(X x)( yiy)i 1_n_(XiX)2i 1了阪n_XiYinxyi 1_n_Xi2n (x)2i 1【修炼套路】-为君聊赋今日诗，努力请从今日始考向一样本中心【例 1-1】某种产品的广告费支出X与销售额y之间有如下对应数据（单位：百万元），根据下表求出y关于x的线性回归方程为? 6.5x17.5，则表中a的值为（）X24568y304057a69A.50B.54C.56.5D.649【答案】B【解析】根据规律知道回归直线一定过样本中心，故得到x 5,y196 a，将坐标代入方程? 6.5x 17.5得到a的值为54.故答案为：B.【例 1-2】已知表中数据 y 与 x

3、有较好的线性关系，通过计算得到 y 关于 x 的线性回归方程为? 1.05x?，则相应于下列各点的残差中绝对值最小的是（）x246810y4691012.5A. ( 2, 4)B. (4, 6)C. (8, 10)D. ( 10, 12.5 )【答案】 D【解析】Q x6, y 8.3,8.3 1.056?, tD(43 勺+(2.4:2.8)旬左 2D03有一散点图如图所示，在5 个（x, y）数据中去掉 D（3,10）后，下列说法正确的是（C X)料(U)从散点图可分析得出：只有D点偏离直线远，去掉D点，变量X与变量y的线性相关性变强, 相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小，故选：

4、A.考向二回归方程【例 2】某人经营淡水池塘养草鱼，根据过去40期的养殖档案，该池塘的养殖重量X（百斤）都在20百 斤以上，其中不足40百斤的有8期，不低于40百斤且不超过60百斤的有20期，超过60百斤的有12期.根 据统计，该池塘的草鱼重量的增加量y（百斤）与使用某种饵料的质量x（百斤）之间的关系如图所示.A.残差平方和变小C.相关指数 R2变小B.相关系数r变小D.解释变量 X 与预报变量y的相关性变弱【答案】A【解i 1(i)根据数据可知y与x具有线性相关关系，请建立y关于x的回归方程? bx a；如果此人设想使用某种饵料10百斤时，草鱼重量的增加量须多于5百斤，请根据回归方程计算，确

5、定此方案是否可行？并说 明理由.(2 )养鱼的池塘对水质含氧量与新鲜度要求较高，某商家为该养殖户提供收费服务，即提供不超过3台增氧冲水机，每期养殖使用的冲水机运行台数与鱼塘的鱼重量X有如下关系：鱼的重量(单位：百斤)20vX60冲水机只需运行台数123若某台增氧冲水机运行，则商家每期可获利5千元；若某台冲水机未运行，则商家每期亏损2千元视频率为概率，商家欲使每期冲水机总利润的均值达到最大，应提供几台增氧冲水机？附：对于一组数据人，X2, y2L Xn,yn，其回归方程? bX ?的斜率和截距的最小二乘估计公式nnXiy nxyXix yiy分别为b?i 1i 1nn2 22xinxXiXi 1

6、i 1bx【答案】(i)337x当x 10时，此方案可行.1313(2)应提供2台增氧冲水机【解析】(1)依题意，x 5, y 4,XiX yiyb?Xi13Xii 1yi26337337y l5x 45所以$ x13131313i 1(2)设盈利为 Y【举一反三】2018 年政府工作报告指出，要加快建设创新型国家，把握世界新一轮科技革命和产业变革大势，深入实施创新驱动发展战略，不断增强经济创新力和竞争力 大力研发新产品，争创世界名牌 为了对研发的一批最新款手机进行合理定价，将该款手机按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据x, y (i 1,2, L ,6)，如表所示:单价x(千元)345

7、678销量y7065625956t当x 10时，?67石5，故此方案可行.安装1台时，盈利5000,安装2台时,2040, Y3000,X -40, Y10000,1E(Y)-5300041000058600安装3台时,20X 40,1000,40 剟 X 60,8000, P35；X 60,15000, PE(Y)1000180005150008000.Q86008000, 故应提供2台增氧冲水机.1 .李克强总理在.某手机生产企业积极响应政府号召,（百件）已知y1yi60.6i i（i）若变量x,y具有线性相关关系，求产品销量y（百件）关于试销单价x（千元）的线性回归方程y bx a；（2

8、）用（1）中所求的线性回归方程得到与Xi对应的产品销量的估计值 屮.当销售数据x,yi对应的残差 的绝对值？y1时，则将销售数据Xi, yi称为一个“好数据” 现从6个销售数据中任取3个子，求“好 数据”个数 的分布列和数学期望E（）.n_XiYinxyt?,?的估计值分别为b?-，召y bx).2 2x nxi 1【答案】？4x 82见解析n 2 21910,nxy=1980, 人199,n x=181.5，i 1? y bx 60 4 5.582, 所以所求的线性回归方程为？4x 82.（2）利用（1）中所求的线性回归方程y 4x 82可得，当为3时，70;当X24时，y 66；（参考公式

9、： 线性回归方程中【解析】（1）由y6iiyi60，可求得t 48,n故xiyii 1x %nx yi 1n2-2Xinxi 11910 1980199 181.57017.5n代入可得$当X35时，y362;当X46时，y458;当x57时，快54;当x68时，卅50.|屮% | 1（ 1,2丄，6）的共有 4 个“好数据”：（3,70）、（4,65）、（5,62）、（6,59）于是的所有可能取值为1,2,3的分布列为:123P131555131所以E 1 23 2.555考向三非线性回归【例 3】近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计