第25章解直角三角形导学稿

1、第25章 解直角三角形25.1 锐角三角函数（1）导学目标1、 正弦、余弦、正切、余切的定义。2、 正弦、余弦、正切、余切的应用。导学重难点重点：正弦、余弦、正切、余切的定义。难点：正弦、余弦、正切、余切的应用。导学流程A、 预习环节我们学过的直角三角形的知识有勾股定理，还有上节课的拓展提高中提到的直角三角形的边角关系，那么直角三角形的边角关系究竟是怎样的，这就是本节课我们所研究的问题。B、 明确目标由直角三角形相似的知识探究出在直角三角形中，对边与斜边、斜边与斜边、斜边与对边的比值是唯一确定的，从而引出锐角三角函数的定义。C、 自主导学自学课本8889页，弄懂锐角三角函数的定义，搞清直角三角

2、形的边角关系，能够根据直角三角形的两边求出某一锐角的三角函数值，时间为12分钟。D、 合作交流同桌之间讨论0sinA1，0cosA1，tanA0,cotA0的原因和关系式1，tanA·cotA1的推导过程。E、 小组反馈合作交流后，由一名同学展示答案，其他同学认真听完后，还有其他方法的继续补充。F、 精讲点拨知识点一：锐角三角函数的定义的理解在RtABC中，对于锐角A有sinA，cosA，tanA，cotAsinA、cosA、tanA、cotA分别叫做锐角A的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角A的三角函数注：（1）锐角A的三角函数的定义是在直角三角形中相对其锐角定义的，其本质是两条线

3、段长度之比，没有单位，它们只与A的大小有关，而与三角形的边长无关。（2）对于每一个锐角A的确定值，它的正弦、余弦、正切和余切都有唯一确定的值和它对应；反之，对于每一个确定的正弦、余弦、正切和余切值，都有唯一的锐角与之对应。（3）sinA、cosA、 tanA和 cotA是整体符号，如不能把sinA看作sin.A，离开了A的sin没有意义。（4）任意锐角的正弦、余弦、正切和余切的值都是正实数，并且0sinA1，0cosA1，tanA0,cotA0。（5）因为sinA=（c为斜边,a为直角边），所以0sinA1；因为cosA=（c为斜边,b为直角边），所以0cosA1。因为sinA= ，cosA=

4、，所以sinA+cosA=。知识点二：锐角三角函数的定义的应用BaCbcA利用锐角三角函数的定义解题时，一定要结合图形来理解，做到“脑中有图，心中有式”，决不能死记硬背。如图所示：在RtABC中，C=90°，sinA=，cosA=，tanA=，cotA=；sinB=，cosB=，tanB=，cotB=。G、反思环节余切余弦正切直角三角形的边角关系正弦锐角三角函数H.测试环节锐角三角函数（2）导学目标掌握特殊锐角三角函数值。导学重难点重点: 掌握特殊锐角三角函数值。难点：理解并掌握特殊锐角三角函数值的应用方法。导学流程A、 预习环节复习锐角三角函数的概念，拿出一副三角板，你能求出各个锐

5、角的三角函数值吗？B、 明确目标自己求出30，45，60的三角函数值，熟记并应用，熟练应用在一个直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半。C、自主导学自学课本90-91页，熟记并应用30，45，60的三角函数值，时间7分钟。D、合作交流同桌之间讨论“在一个直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半”，的不同证明方法。E、小组反馈同桌之间互相提问30，45，60的三角函数值，达到不出错误为止；由一名同学展示“在一个直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半”的证明过程。F、精讲点拨（1）对于特殊角的三角函数值，可结合下图中的数据和各函数的定义来加以计算，从而记住结果：211111（2）通

6、过30，45，60的三角函数值，我们可以得到如下规律：在090之间，一个锐角A的正弦值（正切值）随角度的增大（或减小）而增大（或减小）。在090之间，一个锐角A的余弦值（余切值）随角度的增大（或减小）而减小（或增大）。G、反思环节通过表格的形式，熟记特殊锐角的三角函数值，并能熟练应用。H、测试环节1.计算：(1)Sin60-cos45 (2) cos60+tan60 (3)sin30+cos30 (4)sin45-cos30(5)tan60-tan302.在ABC中，A=30°，tanB=，求.拓展提高. 如图，在ABC中，是的中点，且tan，求Sin、cos、tan的值. 25.2

7、 解直角三角形（1）导学目标1. 理解解直角三角形的概念，理解俯角、仰角的概念。2. 能够解直角三角形。导学重难点重点: 锐角三角函数在解直角三角形中的灵活运用难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题导学流程A、预习环节1在三角形中共有几个元素？2直角三角形ABC中，C=90°，a、b、c、A、B这五个元素间有哪些等量关系呢？B、明确目标知道什么是解直角三角形，解直角三角形的工具是什么以及怎样应用？C、自主导学自学课本94-96页，理解解直角三角形的概念，仰角俯角的概念，并能简单的应用直角三角形的边角关系解决实际问题，时间为15分钟

8、。D、合作交流看完课本后，自己做完课后练习题，同桌之间相互检查，做错的地方相互讨论指正。E、小组反馈由小组中的一名同学，回答练习题答案，其他同学根据自己的答案指出异同点。F、精讲点拨解直角三角形的理论根据：(1)边角之间关系 sinA= cosA= tanA=(2)三边之间关系 a2 +b2 =c2 (勾股定理) (3)锐角之间关系A+B=90°直角三角形的概念：在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形做题步骤：一定要逻辑合理。例如例2如图2532，东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，

9、炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离（精确到1米）解在RtABC中，CAB90°DAC50°，tanCAB，BCAB·tanCAB2000×tan50°2384（米）cos50°，AC3111（米）答：敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3111米和2384米解直角三角形，只有下面两种情况：（1）已知两条边；（2）已知一条边和一个锐角即：除直角外的5个元素（3条边和2个锐角）只要知道其中的2个元素（至少有一个元素是边），就可以求出其余的3个元素。G、反思环节1、在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素(至少有一个

10、是边)，就可以求出另三个元素 2、解决问题要结合图形。3、将某些实际问题转化为解直角三角形问题去解决；今后，我们要善于用数学知识解决实际问题H、测试环节1、如图所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角BAC为34°，并已知目高AD为1米算出旗杆的实际高度.（精确到1米）2、海中有一个小岛A,该岛四周10海里内暗礁.今有货轮四由西向东航行,开始在A岛南偏西55°的B处,往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处.之后,货轮继续向东航行， 船有无触礁的危险？要解决这个问题,我们可以将其数学化,如图:请与同伴交流你是怎么想的?

11、怎么去做?ABCD北东 3.某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的40°减至35°,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01m).ABCDI、 拓展提高在RtACB中，ACB=90°，sinB=,D是BC上一点，DEAB于E，CD=DE,AC+CD =9,求BE、CE的长。解直角三角形（2）导学目标1、理解坡度、坡角的概念2、继续巩固解直角三角形的知识，提高学生的应用能力。导学重难点重点: 锐角三角函数在解直角三角形中的灵活运用难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题导

12、学流程A、预习环节分组练习，互问互答，巩固勾股定理和锐角三角函数定义等内容，回顾仰角与俯角等概念。在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度，何为倾斜程度呢？B、明确目标使学生养成“先画图，再求解”的习惯；灵活运用坡度、坡角在实际问题情境下的应用，以及熟练应用直角三角形的边角关系。C、自主导学自学课本97-98页，理解坡度、坡角的概念，并能熟练应用于实际问题中，时间为10分钟。D、合作交流看完课本后，对于课本中的例4，有不懂的地方，同桌之间交流，再解决不了得地方小组讨论解决，然后自己做完课后练习题，同桌之间相互检查，做错的地方相互讨论指正。E、小组反馈由小组中的一名同学，回答

13、练习题答案，其他同学根据自己的答案指出异同点。F、精讲点拨内容总结坡角是斜坡与水平线的夹角；坡度是指斜坡上任意一点的高度与水平距离的比值。坡角与坡度之间的关系是：i=tan a。坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡。方法归纳在涉及梯形问题时，常常首先把梯形分割成我们熟悉的三角形、平行四边形，再借助这些熟悉图形的性质与特征来加以研究。G、反思环节坡度、坡角的的概念，坡度与坡角的关系，以及它们在实际问题中的实际应用。H、测试环节1、如图，有一斜坡AB长40m，坡顶离地面的高度为20m,求此斜坡的倾斜角.ABC 2.如图,水库大坝的截面是梯形ABCD,坝顶AD=6m,坡长CD=8m.坡底BC=30m,A

14、DC=135°.(1)求坡角ABC的大小;(2)如果坝长100m,那么修建这个大坝共需多少土石方(结果精确到0.01m3 ).ABCDI、 拓展提高2.01:2.51:2B CA D E F3.如图,沿水库拦水坝的背水坡将坝面加宽两米,坡度由原来的1:2改成1:2.5,已知原背水坡长BD=13.4米, 求: (1)原背水坡的坡角 和加宽后的背水坡的坡角 ； (2)加宽后水坝的横截面面积增加了多少?(精确到0.01)25.3 测量一、导学目标1、复习巩固相似三角形的知识。2、掌握测量方法。二、教学重点难点3、 重点：掌握测量方法。4、难点：理解并掌握测量方法。三、导学流程A、预习环节当

15、你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许很想知道操场旗杆有多高？你有哪些可行的方法？B、明确目标能够根据所学的旧知识，总结出测量方法，写出具体的测量过程和计算过程，画出相应的几何图形。C、自主导学带着预习环节中的问题，看课本86-87页，看完后自己总结出测量方法，方法尽可能全，画出相应的几何图形，写出测量过程和计算过程，时间为7分钟。D、合作交流将自己预习的结果，和同桌交流，特别是测量方法是否全面，几何图形画的是否准确，测量步骤是否合理，计算过程是否准确，相互指出错误，彼此改正。如果同桌意见不统一，可进行小组交流，将争执点拿到小组内讨论，组织出自己认为较准确的答案。E、小组反

16、馈由各个小组推荐一名成员回答问题结果，全班同学认真听完后，找出自己比较认同的结果。F、精讲点拨根据所学的知识可利用相似三角形的知识来解决这个问题方法一：站在操场上，请你的同学量出你在太阳光下的影子长度、旗杆的影子长度，再根据你的身高，便可以利用ABCABC计算出旗杆BC的高度如图 这种方法可以理解为在同一时刻物高和影长成比例。方法二：如果就你一个人，又遇上阴天，还是利用相似三角形的知识如图如图2512所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角BAC为34°，并已知目高AD为1.5米现在若按1500的比例将ABC画在纸上，并记为ABC，用刻度直尺量出

17、纸上BC的长度，再乘以500，得到BC的长，再加上AD的长，便可以算出旗杆的实际高度这种方法的关键是利用比例尺=。我们利用图2512（1）中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系（即勾股定理），那么它的边与角又有什么关系？这就是本章要探究的内容G、反思环节利用太阳光测量利用比例尺H、测试环节1.某建筑物在地面的影长为36米，同时高为1.2米的侧杆影长为2米，那么该建筑物的高为-米。2.垂直于地面的竹竿的影长为12米，其顶端到期影子顶端的距离为13米，如果此时测得某小树的影长为6米，则树高-米。3、如图，小明在地

18、面上放置了一个平面镜E来测量铁塔AB的高度，镜子与铁塔的距离EB=20米，镜子于小明的距离ED=2米，小明刚好从镜中看到铁塔的顶端A。已知小明眼睛的高度CD=1.5米，则铁塔AB的高度是-。CDEAB4在平静的湖面上，有一枝红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被风吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深多少？5在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A处另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高度J、拓展提高6.在河的两岸有对应的A、B两点，请你利用相似三角形的知识设计一个方案测量并求出AB的距

19、离。并说明理由。单元测试题 一、耐心填一填： 1.在ABC中,如果C=90°,A=45°,那么tanA+sinB=_; ABC 为_对称图形(填“轴”或“中心”). 2.某飞机在离地面1200米的上空测得地面控制点的俯角为60°, 此时飞机与该地面控制点之间的距离是_米. 3.在ABC中,C为直角,若3AC=BC,则A的度数是_,cosB的值是_.4.如图,AD是ABC的中线,ADC=45°,把ADC沿AD对折,点C落在C处, 则BC与BC之间的数量关系是_. 5.sin60°·cos30°+sin245°=_.

20、6.如图,矩形ABCD(AD>AB)中AB=a,BDA=,作AE交BD于E,且AE=AB,试用a与表示:AD=_,BE=_. 7.求值:sin60°×cos45°=_. 8.已知:RtABC中,C=90°,sinA=,则sinB=_. 9.如果A是锐角,cosA=0.618,那么sin(90°-A)的值为_. 10.若tan+cot=3, 为锐角,则tan2+cot2=_. 二、精心选一选： 11.如图,RtABC中,ACB=90°,CDAB于D,BC=3,AC=4,设BCD=,则 tan的值为( ) A.; B.; C.; D

21、. 12.若是锐角,sin=cos50°,则的值为( ) A.20° B.30° C.40° D.50° 13.令a=sin60°,b=cos45°,c=tan30°,则它们之间的大小关系是( ) A.c<b<a B.b<a<c； C.a<c<b D.b<c<a 14.若A为锐角,且sinA=,则A的度数为( ) A.30° B.45° C.60° D.90°15.已知ABC中,B=60°,AB=6,BC=8,则ABC

22、的面积为( ) A.12; B.12; C.24; D.12 16.已知RtABC中,C=90°,sinA=,则cosB的值为( ) A.; B.; C.; D.1 17.如图,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴的夹角为60°,且点A坐标为(- 2,0),点B在x轴上方,设AB=a,那么点B的横坐标为( )A.2-; B.2+; C.-2-; D.-2+ 三、细心算一算：18.(7分)我人民解放军在进行“解放一号”军事演习时,于海拔高度为600米的某海岛顶端A处设立了一个观察点.上午九时, 观察员发现“红方舰”和“蓝方舰”与该岛恰如在一条直线上，并测得“红方舰”的俯角为30

23、°, 测得“蓝色D舰”的俯角为8°,请求出两舰之间的距离.(参谋数据: =1.73,tan8°=0. 14,cot8°=7.12)19.(8分)如图,有一位同学用一个30 °角的直角三角板估测他们学校的旗杆AB的高度,他将30°角的直角边水平放在1.3米高的支架CD上, 三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上,他又量得D、B的距离为15米,试求旗杆AB的高度.(精确到0.1米)20.(8分)为申办2010年冬奥会,须改变哈尔滨市的交通状况,在大直街拓宽工程中,要伐掉一棵树AB,在地面上事先划定以B为圆心,半径与AB等长的圆形危险区,现在

24、某工人站在离B点3米远的D处测得树的顶端A点的仰角为60°,树的底部B 点的俯角为30°,问距离B点8米远的保护物是否在危险区内?( 的近似值取1.73) 四、用心想一想：21.某村计划开挖一条长1500米的水渠,渠道的断面为等腰梯形,渠道深0.8米,下底宽1.2米,坡角为45°,实际开挖渠道时,每天比原计划多挖土20立方米, 结果比原计划提前4天完工,求原计划每天挖土多少立方米?22.如图,MN是表示某引水工程的一段设计路线,从M到N的走向为南偏东30°,在M的南偏东60°方向上有一点A,以A为圆心,500 米为半径的圆形区域为居民区,取MN

25、上另一点B,测得BA的方向为南偏东75°,已知MB=400米,通过计算回答,如果不改变方向,输水路线是否会穿过居民区? 23.如图,某港口有一灯塔A,灯塔A的正东有B、C两灯塔,以BC为直径的半圆区域内有若干暗礁,BC=18海里,一船在M处测得灯塔A、C分别在船的南偏西60°和南偏西15°方向,船沿MN方向行驶6海里恰好处在灯塔C的正北方向N处.(1) 求CN的长(精确到0.1海里); (2)若船继续沿MA方向朝A行驶,是否有触礁的危险? (参考数值:= 1. 414,=1.732,sin150=0.2588,cos150=0.9658,tan15°=0

26、.2680,cot15°=3.732)24.如图,已知测速站P到公路L的距离PO为40米,一辆汽车在公路L上行驶, 测得此车从点A行驶到点B所用的时间为2秒,并测得APO=60°,BPO=30°,计算此车从A到B的平均速度为每秒多少米?(结果保留四个有效数字),并判断此车是否超过了每秒22米的限制速度. 答案：25.1.11.MN ,PN,PN,MN. 2. 3.选A. 4.选A. 5.选B. 6.选A. 7.选B.8.解析：第一种方法，可以应用 1得，cosA=。第二种方法，利用定义，根据sinA=，设BC=3x,AB=5x,由勾股定理得AC=4x，所以cosA

27、=。拓展提高解析：利用定义，根据sinA=，设在直角三角形ABC中，C=90，BC=x, AB=3x,根据勾股定理得，AC=，TanA=, cotA=.25.1.21.（1） 。2.解析： tanB=，B=60°，又A=30°，C=90， sinB=, AB=.拓展提高解析：如图示，过点D作DECD, , AC/DE, 是的中点, E是BC的中点，DE=ACtan,设DE=x,CD=3x, AC=2x,在直角三角形ACD中，A=90°AC=2x, CD=3x, AD=。sinA=.25.1.3巩固练习：1、(1) sin67°38240.9248.(2)

28、tan63°272.0013;(3)cos18°59270.9456.2、（1）cosA=0.6753，A47°3121；(2) tanA=87.54，A89°2044；(3) sinA=0.4553A27°53.4m2.5mABC拓展提高：如图，cosA=0.625，A51°194.所以梯子与地面所成的锐角的度数约51°194.25.2.1测试环节：1、解析：在直角三角形ABC中，BAC为34°，AC=10，所以BC=10×tan34°0.67×10=6.7,所以BE=AD+BC=6

29、.7+1=7.78（米）.答：旗杆的实际高度为8米。2、解析： 如图，ABC=90°-55°=35°, ACD=90°-25°=65°，BC=20海里.A作AEBD,垂足为点E，在RtACE中，ACE=65°,CE=AE×cot65°,在RtABE中，BE= AE×cot35°,因为BE-CE= 20，所以AE×cot35°- AE×cot65°=20，解得AE=20÷（cot35°- cot65°）=20.7910.货轮继续向东航行， 船没有触礁的危险.3、解析：如图，BDC=40°, BAC=35°,DC=4m. 在RtBDC中，B