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文档简介

1、构造概率分布列利用E2(E)2证明不等式若离散型随机变量列为P(xi)Pi(i=1，2，n)，其中p1p21，则依方差公式DE2（E）2(x1E)2p1(x2E)2p2(xiE)2pi0，可得E2（E）2.利用这一结论，在证明一些不等式时，若能根据不等式的结构特征，巧妙地构造离散型随机变量，则可另辟蹊径，别具一格地证明不等式.构造分布列证明不等式的一般步骤是：(1)根据不等式的结构特征确定随机变量的取值xi及相应的概率值pi.(2)分别计算随机变量及2的期望EE2.(3)最后利用E2(E)2.一、利用不等式的轮换对称性构造分布列如果所证的不等式中含有n个字母，且不等式是一个关于每个字母的轮换对

2、称式，则可以根据每个字母在式中处于同等的地位的特点，则可将每个字母取值视为一个随机变量的取值，每个取值的概率均为.例1求证()2·证明：构造随机变量的分布列为abP所以E，(E)2由E2(E)2，得()2。数学期望也常称为均值.E2(E)2说明2的“平均值”不小于的“平均值”的平方.而不等式()2说明平方平均数不小于算术平均数的平方.两者之间确有类似之处充分体现出随机性数学与决定性数学的融合，显示了数学的统一.例2求证：已知a，b，cR，求证：a2b2c2abbcac.证明：不等式为关于a、bc的轮换对称式，构造随机变量的分布列为abcP所以E，(E)2由E2(E)2，得()2，化简

3、整理得a2b2c2abbcac.二、利用“和为1”条件构造分布列如果证明以几项的和为1的条件不等式，则取所证不等式的项或项的部分因式及变式为随机变量，取和为1的项为随机变量相应的概率构造分布列.如果题设条件中没有“和为1”的等式，则可以通过凑“和为1”，其凑法主要有两条途径：一是根据所给的条件等式变形凑“1”；二是根据已有的公式或题中没有的而成立的等式凑“1”.例3已知a，b是不相等的两个正数，x、yR，且ab1求证：ax2by2(axby)2.证明：构造随机变量的分布列为xyPab所以Eaxby，E2ax2by2，由E2(E)2，得ax2by2(axby)2.例4已知x2y216，求证：xy

4、4.证明：由x2y216，变形得1，所以与为概率，而所证不等式变形为，根据概率的特点取随机变量为与，因此，构造随机变量的分布列为：P所以E，E22，由E2(E)2，即2()2，化简整理得xy4.例5设a0b0c0，求证：.证明：(ab)(bc)(ac)2(abc)，1，同时取左端的部分因式为随机变量，构离散型随机变量的分布列：P()；P()；P()；E2()2()2()2()·，E···，依E2(E)2，可得).例6设、（0，），求证1.证明：cos()coscossinsin，1，时取左端的部分因式为随机变量，构离散型随机变量的分布列：P()；P()；E2()

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