完整word版,初中最基本的尺规作图总结

1、尺规作图一、理解“尺规作图”的含义1 .在几何中，我们把只限定用直尺（无刻度）和圆规来画图的方法，称为尺规作图.其 中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规用来作圆和圆弧.由此可知，尺规作 图与一般的画图不同，一般画图可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操作过 程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的.2 .基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段；（2）用尺规作一个角等于已知角 .利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差二、熟练掌握尺规作图题的规范语言1 .用直尺作图的几何语言：过点X、点X作直线XX;或作直线XX;或作射线XX;连结两点XX；或

2、连结XX;延长XX到点X;或延长（反向延长）*到点*,使XX = XX;或延长XX交X X于点X ;2 .用圆规作图的几何语言：在X X上截取X x = xx；以点X为圆心，XX的长为半径作圆（或弧）；以点X为圆心，XX的长为半径作弧，交XX于点X;分别以点X、点X为圆心，以XX、XX的长为半径作弧，两弧相交于点X、X.三、了解尺规作图题的一般步骤尺规作图题的步骤：1 .已知：当作图是文字语言叙述时， 要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；2 .求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；3 .作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹

3、.对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找 作法.在目前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步（另外还有第四步证明）就可以了， 而且在许多中考作图题中，又往往只要求保留作图痕迹，不需要写出作法，可见在解作图题时，保留作图痕迹很重要.尺规作图的定义： 尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本，最常用的尺规作图通常称 基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。五种基本作图：1、作一条线段等于已知线段；2、作一个角等于已知角；3、作已知线段的垂直平分线；4、作已知角的角平分线；5、过一点作已知直线的垂线; 题目一：作一条线段等于已知线段。 已知：如图，

4、线段a .求作：线段AB,使AB = a .作法：(1)作射线AP;(2) 在射线AP上截取AB=a . 则线段AB就是所求作的图形。题目二：作已知线段的中点。已知：如图，线段MN.求作：点O,使MO=NO即O是MN勺中点) 作法：(1)分别以M N为圆心，大于别N的相同线段为半径画弧，两弧相交于P, Q;(2 )连接 PQ交 MNT O.则点O就是所求作的MN的中点。(试问：PQ与MN有何关系？)题目三：作已知角的角平分线。已知：如图，/ AOB求作a(已知)(作线段等于已知线段)M C N乂 Q(作线段的中点)射线 OP,使/AOP= / BOP（即 OP平分/ AOB o作法：(1)以O

5、为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA OB于M N;(2)分别以M N为圆心，大于知二的相同线段为半径画弧，两弧交/ AOB内于P;(3)作射线OR则射线O刚是/ AOB勺角平分线。题目四：作一个角等于已知角。(请自己写出“已知” “求作”并作出图形，不写作法)题目五：已知三边作三角形。已知：如图，线段a, b, c.求作： ABC 使 AB = c , AC = b , BC = a.作法：(1)作线段AB = c；(2)以A为圆心b为半径作弧，以B为圆心a为半径作弧与前弧相交于C;(3)连接 AG BG则 ABC就是所求作的三角形题目六：已知两边及夹角作三角形。-已知：如图，线段m n,

6、 /./工求作： ABC 使/ A=/, AB=m AC=n.1已知、作法：(1)作/A"；n(2)在 AB上截取 AB=m ,AC=n/(3)连接 BGJ则 ABC就是所求作的三角形。 丁:已知两边及夹角作三角形),AB=m.mF（已知）(已知两角及夹边作三角形)题目七：已知两角及夹边作三角形。已知：如图，/，/ ，线段m .求作： ABC 使 / A=/, / B=/作法：(1)作线段AB=m(2) 在AB的同旁作 / A=/ ,作 / B=/ ,/ A与/B的另一边相交于Co则 ABC就是所求作的图形(三角形)初中尺规作图典型例题归纳典型例题一例 已知线段a、b,画一条线段，使

7、其等于 a 2b .ab分析所要画的线段等于 a 2b,实质上就是abb.ABC画法：1.画线段 AB a. 2.在AB的延长线上截取 BC 2b.线段AC就是所画的 线段.说明1 .尺规作图要保留画图痕迹，画图时画出的所有点和线不可随意擦去.2 .其它作图都可以通过画基本作图来完成，写画法时，只需用一句话来概括叙述基本 作图.典型例题二例 如下图，已知线段 a和b,求作一条线段 AD使它的长度等于 2ab.错解如图(1),(1)作射线AM; (2)在射线AM上截取AB=BC=a, CD=b,则线段AD即为所求.错解分析 主要是作图语言不严密，当在射线上两次截取时，要写清是否顺次，而在 求线段

8、差时，要交待截取的方向.aM-aI75CDM .4Rnb GM图(1)图(2)正解如图(2),(1)作射线 AM; (2)在射线 AM上，顺次截取 AB=BC=a；(3)在线段CA上截取CD=b,则线段AD就是所求作的线段.典型例题三例 求作一个角等于已知角/ MON (如图1).图(1)图(2)错解如图(2),(1)作射线O1M1；在图(1),以O为圆心作弧，交 OM于点A,交ON于点B;(3)以Oi为圆心作弧，交O1M1于C； (4)以C为圆心作弧，交于点D; (5)作射线OiD .则/ CO1D即为所求的角.错解分析 作图过程中出现了不准确的作图语言，在作出一条弧时，应表达为：以某点为圆

9、心，以其长为半径作弧.正解如图(2),(1)作射线OiMi ； (2)在图(1)上，以O为圆心，任意长为半径作弧，交 OM于点A,交ON于点B; (3)以Oi为圆心，OA的长为半径作弧，交 OiMi于点C;(4)以C为圆心，以AB的长为半径作弧，交前弧于点D; (5)过点D作射线O1D .则/ CO1D就是所要求作的角.典型例题四例 如下图，已知/ a及线段 a,求作等腰三角形，使它的底角为“，底边为a.分析 先假设等腰三角形已经作好，根据等腰三角形的性质， 知两底角/ B=/C=/ a ,底边BC=a,故可以先作/ B=/，或先作底边 BC=a.作法如下图PCB= / e ,射线(1) /

10、MBN = Z a ; (2)CP交BN于点A. ABC就是所要求作的等腰三角形.说明 画复杂的图形时，如一时找不到作法，一般是先画出一个符合条件的草图，再 根据这个草图进行分析，逐步寻找画图步骤.典型例题五例 如图(1),已知直线AB及直线AB外一点C,过点C作CD/AB (写出作法，画出图形).分析 即可.作法根据两直线平行的性质，同位角相等或内错角相等，故作一个角/ECD = Z EFB如图(图(1)图(2)(1)过点C作直线EF,交AB于点F;(2)以点F为圆心，以任意长为半径作弧，交 FB于点P,交EF于点Q;(3)以点C为圆心，以FP为半径作弧，交 CE于M点；(4)以点M为圆心，

11、以PQ为半径作弧，交前弧于点 D;(5)过点D作直线CD, CD就是所求的直线.说明 作图题都应给出证明，但按照教科书的要求，一般不用写出，但要知道作图的原由.典型例题六例 如下图， ABC 中，a=5cm, b=3cm, c=3.5cm, / B= 36 , / C= 44 ,请你从中选择适当的数据，画出与 ABC全等的三角形(把你能画的三角形全部画出来，不写画法 但要在所画的三角形中标出用到的数据)85cm C分析 本题实质上是利用原题中的5个数据，列出所有与据是 SSS、SAS、AAS、ASA.ABC全等的各种情况，依典型例题七例 正在修建的中山北路有一形状如下图所示的三角形空地需要绿化

12、.拟从点 A出发, 将 ABC分成面积相等的三个三角形， 以便种上三种不同的花草，请你帮助规划出图案(保 留作图痕迹，不写作法).（2003年,桂林）分析 这是尺规作图在生活中的具体应用.要把 ABC分成面积相等的三个三角形， 且都是从 A点出发，说明这三个三角形的高是相等的，因而只需这三个三角形的底边也相 等，所以只要作出 BC边的三等分点即可.作法如下图，找三等分点的依据是平行线等分线段定理.典型例题八例 已知/ AOB,求作/ AOB的平分线 OC.错解作法如图（1）（1）以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB 于 D、E两点;(2)(3)分别以D、E为圆心，以大于 2DE的长为

13、半径作弧，两弧相交于2连结OC,则OC就是/ AOB的平分线.C点;错解分析对角平分线的概念理解不够准确而致误.作法（3）中连结一条线段，OC,则OC是正解（1）8,40 I）图（2）如图（2）以点。为圆心,任意长为半径作弧,分别交OA、OB于D、E两点;(2)(3)分别以D、E为圆心，以大于 ,DE的长为半径作弧，两弧交于 C点;2作射线OC,则OC为/ AOB的平分线.典型例题九例 如图(1)所示，已知线段 a、b、h (hvb).求作 ABC,使 BC=a, AB=b, BC 边上的高 AD=h.图(1)错解如图(2),(1)作线段BC=a；(2)作线段 BA=b,使 ADBC 且 AD

14、=h.则 ABC就是所求作的三角形.错解分析 不能先作BC;第2步不能同时满足几个条件，完全凭感觉毫无根据； 未考虑到本题有两种情况.对于这种作图题往往都是按照由里到外的顺序依次作图，如本题先彳高AD,再作AB,最后确定BC.图(2)图(3)正解如图(3).(1)作直线 PQ,在直线 PQ上任取一点 D,作DM，PQ;(2)在DM上截取线段DA=h;(3)以A为圆心，以b为半径画弧交射线 DP于B;(4)以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线 BP和射线BQ于C1和C2 ；(5)连结AC1、AC2,则4 ABC1 (或 ABC2)都是所求作的三角形.典型例题十例 如下图，已知线段 a, b,求

15、作 RtAABC,使/ ACB=90° , BC=a, AC=b (用直尺 和圆规作图，保留作图痕迹).分析 本题解答的关键在于作出/ ACB=90° ,然后确定A、B两点的位置，作出 ABC.作法如下图(1)作直线MN:(2)在MN上任取一点 C,过点C作CEXMN;(3)在CE上截取CA=b,在CM上截取CB=a；(4)连结AB, ABC就是所求作的直角三角形.若把握说明 利用基本作图画出所求作的几何图形的关键是要先分析清楚作图的顺序. 不好作图顺序，要先画出假设图形.典型例题旺求作：(1) BC边上的高；(2) BC边上的中线(写出作法，画出图形)分析(1)作BC边上

16、的高，就是过已知点 A作BC边所在直线的垂线；(2)作BC边上的中线，要先确定出 BC边的中点，即作出 BC边的垂直平分线. 作法如下图(1)在直线CB外取一点P,使A、P在直线CB的两旁；以点A为圆心，AP为半径画弧，交直线 CB于G、H两点;分别以G、H为圆心，以大于 工GH的长为半径画弧，两弧交于E点；2作射线AE,交直线CB于D点，则线段AD就是所要求作的 ABC中BC边上的高.(2)分别以B、C为圆心，以大于BC的长为半径画弧，两弧分别交于 M、N两点；2作直线MN,交BC于点F;连结AF,则线段AF就是所要求作的 ABC中边BC上的中线.说明 在已知三角形中求作一边上的高线、中线、

17、角平分线时，首先要把握好高线、 中线、角平分钱是三条线段；其次，高线、中线的一个端点必须是三角形中这边所对的顶点， 而关键是找出另一个端点.典型例题十二例 如图(1)所示，在图中作出点 C,使得C是/ MON平分线上的点，且 AC=OC.图(1)图(2)分析 由题意知，点C不仅要在/ MON的平分线上，且点 C到O、A两点的距离要相 等，所以点C应是/ MON的平分线与线段 OA的垂直平分线的交点.作法如图(2)所示(1)作/ MON的平分线 OP;(2)作线段OA的垂直平分线EF,交OP于点C,则点C就是所要求作的点.说明(1)根据题意弄清要求作的点的特征是到各直线距离相等，还是到各端点距离

18、相等.(2)两条直线交于一点.典型例题十三例如下图，已知线段 a、b、/“、Z 3 .求作梯形 ABCD,使 AD=a, BC=b, AD II BC, / B=Z a ; / C=Z § .分析 假定梯形已经作出，作 AE/ DC交BC于巳则AE将梯形分割为两部分，一部 分是 ABE,另一部分是 QAECD.在 ABE 中，已知/ B=Z a , / AEB=Z B, BE=b-a, 所以，可以首先把它作出来，而后作出一AECD.作法如下图.(1)作线段BC=b;(2)在BC上截取BE = b-a ;(3)分别以B、E为顶点，在 BE同侧作/ EBA=Z a , / AEB = Z

19、 3 , BA、EA交于A;(4)以EA、EC为邻边作。AECD .四边形ABCD就是所求作的梯形.说明 基本作图是作出较简单图形的基础，三角形是最简单的多边形，它是许多复杂 图形的基础.因此，要作一个复杂的图形，常常先作一个比较容易作出的三角形，然后以此 为基础，再作出所求作的图形.典型例题十四例 如下图，在一次军事演习中，红方侦察员发现蓝方指挥部在A区内，到铁路与公路的距离相等，且离铁路与公路交叉处B点700米，如果你是红方的指挥员，请你在图示比例尺1 ： 20000的作战图上标出蓝方指挥部的位置.（2002年,青岛）分析 依据角平分线的性质可以知道，蓝方指挥部必在A区内两条路所夹角的平分

20、线上，然后由蓝方指挥部距B点的距离，依据比例尺，计算出图上的距离为3.5cm,就可以确定出蓝方指挥部的位置.解 如下图，图中C点就是蓝方指挥部的位置.典型例题十五例 如图（1）,已知有公共端点的线段 AB、BC.求作。O,使它经过点 A、B、C （要 求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2002年,大连）图（1）图（2）分析 因为A、B、C三点在。上，所以OA=OB=OC=R.根据到线段 AB、BC各端点 距离相等的点在线段的垂直平分线上，故分别作线段AB、BC垂直平分线即可.解如图（2）说明 角平分线的性质、线段垂直平分线的性质在作图题中的应用是近几年中考中的 又一道风景，它往往与实际问

21、题紧密联系在一起.典型例题十六例 如图，是一块直角三角形余料，C 90 .工人师傅要把它加工成一个正方形零件，使C为正方形的一个顶点，其余三个顶点分别在AB、BC、AC边上.试协助工人师傅用尺规画出裁割线.分析要作出符合条件的正方形，可先作出有三个角为 的一组边相等即可.作法如图.90。的四边形，并设法让相邻作 ACB的角平分线CD,交AB于点G;过G点分别作AC、BC的垂线，垂足为E、F.则四边形ECFG就是所要求作的正方形.基础训练1、已知线段 AB和CD，如下图，求作一线段，使它的长度等于AB+ 2CD.ABCD -一i2、如图，已知/ A、/ B,求作一个角，使它等于/ A-ZB.3、

22、如图作 ABC 使得 BC=a、AC=b、AB=C4、如图，画一个等腰 ABC使得底边BC=a ,它的高AD=h5、如图，已知/ AOBM M N的两点也距离相等。N两点，求作：点 P,使点P到/AOB的两边距离相等，且到 M6 .己知三角形的两条边及其夹角，求作三角形已知一个三角形的两条边分别为a, b,这两条边夹角为/ a,求作这个三角形7 .已知三角形的两角及其夹边，求作三角形巳知一个三角形的两角分别为/a / 3夹边为a求作这个三角形。8、己知三角形的两角及其中一角的对边，求作三角形已知三角形的两角分别为/a Z 3 , / a的对边为/ a,求作这个三角形9.己知一直角边和斜边求作三

23、角形己知一个直角三角形的一条直角边为a,斜边长为c,求作这个三角形。10.尺规作图：请你作出一个以线段a和线段b为对角线的菱形 ABCD.明）（要求：写出已知，求作，结论,并用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法及证已知:求作:(2)在图中画出物流中心的位置P.解：(1)1cm3.为美化环境，在一块三角形草坪上建一个喷水池，使得它到草坪的三边 距离相等.若三角形草坪如图所示，请你在图中确定这个喷水池(用点AB、BC、AC 的P表示)的位置；结论:垂直平分线的训练1 .某旅游景区内有一块三角形绿地 ABC,如图所示，现要在道路 使他到A, C两个点的距离相等.在图中确定休息点 M的位置;角平分线作图训练2 .如图，AB.AC表示两条相交的公路，现要在/BAC的内部建一个物流中心.设计时要求该物流中心到两条公路的距离相等，且到公路交叉处A点的距离为1000米.(1)若要以1: 50000的比例尺画设计图，求物流中心