武汉大学研究生数值分析考试试题

1、武汉大学20132014学年第一学期硕士研究生期末考试试题科目名称：数值分析 学生所在院：学号：姓名：1、（ 10分）已知方程 3x- 2cosx- 12= 0.（1）估计出含根的区间；2（2） 讨论迭代格式 Xn + 1 = COSXn+ 4 的收敛性；3（3）写出求解此方程的牛顿迭代格式，并讨论初值 xo取何值时迭代收敛。2、（10分）用杜利特尔（Doolittle）分解算法求解方程Ax = b，其中A =5 122 73 5b =3、（ 14分）设线性方程组Ax= b的系数矩阵A= （a,.,an ? 0,i1丄，n. b= （db ,L , bhf（1）分别写出Jacobi迭代格式及

2、Gauss-SeideI迭代格式；2 ）证明：Gauss-Seidel迭代格式收敛的充分必要条件是方程a11a12La1 ha211 a22La2hMMMan1I an2L1 ann=0的根的模I < 1.4、（12分）已知y二f（x）的数据如下:Xi123f (xi)2412(Xi )3求f （x）的Hermite插值多项式H 3（x）及其余项5、（10分）已知数据xi-2-1012yi01210求形如y二a+ bx+ cx2的拟合曲线6 (10分)确定常数a , b的值，使积分pgb)=丄2a+ bx- sinx dx取得最小值17、(10分)已知三次 Legendre勒让德)多项式

3、 L3(x) = - (5x3 - 3x) , x? 1,1试确定常数A，xdi二1,2,3),使求积公式3°3f (x)dx? Af (xj Af(X2)+ A3f(X3)有尽可能高的代数精度，并判断它是否为高斯型求积公式。十、= f (X, y)、8、 (12分)对于下面求解常微分方程初值问题dx ,的单步法：y(xg) = y。h=yn + - (ki + 3k2)4f (Xnn)22f (Xn + -h,yn + -hki)33(1) 验证它与微分万程相容；(2) 确定此单步法的绝对稳定域9、( 12分)设初值xo充分接近x*=( a> 0为常数)，证明：迭代格式Xn(

4、x-+ 3a)3x； + an= 0,1 ,L三阶收敛于x*，并求limnXn+1- a(Xn-“a)3参考答案(2014-1-10 )1、含根区间：n , 4;因为g 二3sin x <1，所以迭代收敛;n时牛顿必收敛。在含根区间n , 4 , f的一阶导数恒正，二阶导数恒负，所以取初值为5 12 30 7T2、分解为LU =01-1Ly = b, y = (14,5,7)Ux = y, x = (8,1,1)t3、见教材略2 24、L2(x) = 3x - 7x + 6，令 H3(x) = 3x - 7x + 6 + a(x- 1)(x- 2)(x- 3)32得到 a= 2, H3(

5、x) = 2x - 9x + 15x- 6T124法方程ATA 9 =ATy为:2丿010010034a=58/35=1.657, b=0, c=-3/7=-0.429o j2P8 3P24Xa= 24(P- 1)= 0.1145, b= 9(1- P) = 0.6643P 3P 47、三次Legendre勒让德)的根为0,+ a2 f (0) + a3 f31令换元 x= 3t , 蝌 f(x)dx= 31 f(3t)dt ? 3曰 f (58再分别取f (x) = 1,x, x2代入得到A=A = -，A2 =-33有5次代数精度，是高斯型积分公式。8、见教材9、( 1)令 g(x)二 x(X2+ 3a)，求导得 g t