高等数学：13_2数项级数及审敛法

1、二、交错级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛 第二节第二节一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十三章 一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法若,0nu1nnu定理定理 1. 正项级数1nnu收敛部分和序列nS),2, 1(n有界 .若1nnu收敛 , ,收敛则nS,0nu部分和数列nSnS有界, 故nS1nnu从而又已知故有界.则称为正项级数 .单调递增, 收敛 , 也收敛.证证: “ ”“ ”机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,Zn,nnvku 都有定理定

2、理2 (比较审敛法比较审敛法)设,1nnu1nnv且存在,ZN对一切,Nn 有(1) 若级数1nnv则级数1nnu(2) 若级数1nnu则级数1nnv证证:设对一切则有收敛 ,也收敛 ;发散 ,也发散 .nnvku 是两个正项级数, (常数 k 0 ),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 若级数1nnv由定理1，则因此也有界nS由定理 1 可知,1nnu(2) 是(1) 的逆否命题。nSnk也收敛 .收敛,级数机动 目录 上页 下页 返回 结束 n有界，和令nSn分别表示1nnu和1nnv的部分和, 则有比较审敛法的基本形式：设正项级数,1

3、nnu1nnv满足：,1,2,nnuvn则 (1) 若级数收敛 ,1nnv则级数1nnu也收敛 ;(2) 若级数1nnu发散 ,则级数1nnv也发散 .口诀：大的收敛，小的收敛；小的发散，大的发散。例例1. 讨论 p 级数11111123ppppnnn (常数 p 0)的敛散性. 解解: 1) 若, 1p因为对一切,Zn而调和级数11nn由比较审敛法可知 p 级数11npnn1发散 .发散 ,pn1机动 目录 上页 下页 返回 结束 2) 若, 1p1112nppSn 211111dd2nppnxxn 211111ddnppnxxxx nxn1因为当时,11ppxn故11dnpxx 1111p

4、nxp 1111pnp 11,1p 故 p 级数收敛 .调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.若存在,ZN,Nn ,1) 1(nun, ) 1(1)2(pnupn.1收敛则nnu;1发散则nnu机动 目录 上页 下页 返回 结束 结论：p 级数11npn11pp发散收敛对一切证明级数1) 1(1nnn发散 .证证: 因为2) 1(1) 1(1nnn),2, 1(11nn而级数111nn21kk发散根据比较审敛法可知, 所给级数发散 .例例2.机动 目录 上页 下页 返回 结束 推论：11nnnnuv设与为二个正项级数，1nnv且当nN（N为某一正整数）时，存在 C1 0, C2 0, 使1

5、2,nnnCvuC v1nnu则与具有相同的敛散性.注：注：证明二个正项级数同敛散，即证：证明二个正项级数同敛散，即证：12nnnCvuC v（C1 0, C2 0）例例3. 判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性 2211lnnnn收敛 11221 2nnn收敛 21131nnn发散 21141nn n收敛例例4. 设设a 0，判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性 ln111nna解：解：lnlnln11nnaae ln1an 当即时，ln1,aae收敛，ln11ann 故原级数收敛故原级数收敛;当即时，ln1,aae发散，ln11ann 故原级数发散故原级数发散. 21201nnna

6、aa析：分子分母都有a，通常分子分母同除以a，把a化成只在分子或分母上。2111nnnnaaaa 1na 当当 a 1时，时，11,a 则收敛，11nna 故原级数收敛故原级数收敛;当当 a 1时，时，2,1nnnaaa 由于收敛，1nna 则原级数收敛则原级数收敛;当当 a = 1时，时，=2112nnaa 0,n 故原级数发散。故原级数发散。例例5.设设正项级数正项级数收敛，1nna 证明：证明： 收敛11nnan 收敛212nna 收敛2113nnnaa 收敛11nnan 证：证：因为211,2nnaann且与皆收敛，2111nnnan+则收敛，21112nnan 所以原级数收敛。所以原

7、级数收敛。 收敛212nna 证：证：由于收敛，1nna lim0,nna从而对充分大的从而对充分大的 n，有，有1,na 从而2,nnaa 故收敛21nna 收敛2113nnnaa 证：证：原式原式= 221112nnnnnaaa a 由收敛，1nna 则对充分大的则对充分大的 n，有，有1,na 则122,nnna aa 收敛，112nnna a 再由（再由（2）知）知+和都收敛,22111nnnnaa从而原级数收敛。从而原级数收敛。定理定理3. (比较审敛法的极限形式),1nnu1nnv,limlvunnn则有两个级数同时收敛或发散 ;(2) 当 l = 0 ,1收敛时且nnv;1也收敛

8、nnu(3) 当 l = ,1发散时且nnv.1也发散nnu证证: 据极限定义, 0对,ZN存在lnnvu)(l设两正项级数满足(1) 当 0 l 时,时当Nn 机动 目录 上页 下页 返回 结束 nnnvluvl)()(, l取由定理 2 可知与1nnu1nnv同时收敛或同时发散 ;)(Nn 1,nnuv有(3) 当l = 时,ZN存在,时当Nn ,1nnvu即nnvu 由定理2可知, 若1nnv发散 , ;1也收敛则nnu(1) 当0 l 时,(2) 当l = 0时, 则对充分大的n，1nnv收敛时 , 当.1也发散则nnu机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,nnuv即,nunv,lim

9、lvunnn是两个正项级数正项级数, (1) 当 时, l0两个级数同时收敛或发散 ;特别取,1pnnv 可得如下结论 :对正项级数,nu,1p l0limnnulpn,1p l0发散nu(2) 当 且 收敛时,0lnv(3) 当 且 发散时, lnv也收敛 ;nu也发散 .nu收敛nu机动 目录 上页 下页 返回 结束 的敛散性. nnn1lim例例6. 判别级数11sinnn的敛散性 .解解: nlim sin1nn11根据比较审敛法的极限形式知.1sin1发散nn例例7. 判别级数1211lnnn解解:nlim221limnnn1根据比较审敛法的极限形式知.11ln12收敛nnnn1si

10、n)1ln(21n21n2n211lnn机动 目录 上页 下页 返回 结束 注：注：正项级数可用等价无穷小代换；正项级数可用等价无穷小代换；非正项级数则无此方法。非正项级数则无此方法。例例8. 判别级数的敛散性. 111ln 1nn 12sin2nnn 2113ln 1nnnnnuu1lim由定理定理4 . 比值审敛法 ( Dalembert 判别法)设 nu为正项级数, 且,lim1nnnuu则(1) 当1(2) 当1证证: (1),1时当11nnuunnuu)(112)(nu1)(NNnu, 1使取收敛 ,.收敛nu时, 级数收敛 ;或时, 级数发散 .,ZN知存在,时当Nn k)(由比较

11、审敛法可知机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,1时或, 0,NuZN必存在, 11nnuu,0limNnnuu因此所以级数发散.Nn 当时(2) 当nnuu11nuNu1lim1nnnuu说明说明: 当时,级数可能收敛也可能发散.例如例如, , p 级数:11npnnnnuu1limppnnn1) 1(1lim1但, 1p级数收敛 ;, 1p级数发散 .从而机动 目录 上页 下页 返回 结束 limn例例5. 讨论级数)0(11xxnnn的敛散性 .解解: nnnuu1limnxn) 1( 1nxnx根据定理4可知:,10时当 x级数收敛 ;,1时当 x级数发散 ;.1发散级数nn,1时当

12、x机动 目录 上页 下页 返回 结束 对任意给定的正数 ,limnnnu定理定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法) 设 1nnu为正项级,limnnnu则;,1) 1(级数收敛时当 .,1)2(级数发散时当 证明提示证明提示: ,ZN存在nnu有时当,Nn 即nnnu)()(分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确., )1(1111数, 且机动 目录 上页 下页 返回 结束 时 , 级数可能收敛也可能发散 .1例如 , p 级数 :11pnnpnnnnu1)(1n说明说明 :,1pnnu 但, 1p级数收敛 ;, 1p级数发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.

13、证明级数11nnn收敛于S ,似代替和 S 时所产生的误差 . 解解: : nnnnnu1n1)(0n由定理5可知该级数收敛 .令,nnSSr则所求误差为21)2(1) 1(10nnnnnr21) 1(1) 1(1nnnn1) 1(1nnnnn) 1(11111n并估计以部分和 Sn 近 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二二 、交错级数及其审敛法、交错级数及其审敛法 则各项符号正负相间的级数nnuuuu1321) 1(称为交错级数交错级数 .定理定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:则级数; ),2, 1() 11nuunn,0lim)2nnunnnu11) 1

14、(收敛 , 且其和 ,1uS 其余项满足.1nnur,2, 1,0nun设机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证: )()()(21243212nnnuuuuuuS)()()(1222543212nnnuuuuuuuS1u是单调递增有界数列,nS212limuSSnn又)(limlim12212nnnnnuSSnnS2lim故级数收敛于S, 且,1uS :的余项nS0nu2nnSSr)(21nnuu21nnnuur1nu故S机动 目录 上页 下页 返回 结束 收敛收敛nn1) 1(4131211) 11!1) 1(!41!31!211)21nn用Leibnitz 判别法判别法判别下列级数的敛

15、散性:nnn10) 1(104103102101)31432收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?;1) 11nn;!1)21nn.10)31nnn发散收敛收敛 ! ) 1(1 n!1n11 nnnuu1 101 1nnnn10 nn1101 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛 定义定义: 对任意项级数,1nnu若若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级111) 1(nnn,! ) 1(1) 1(11nnn1110) 1(nnnn1nnu收敛 ,1nnu数1nnu为条件收敛 .均为绝对收敛.例如例如 ：绝对收敛 ；则称原级数条

16、件收敛 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 .证证: 设1nnunv),2,1(n根据比较审敛法显然,0nv1nnv收敛,收敛12nnvnnnuvu 2,1nnu1nnu也收敛)(21nnuu 且nv,nu收敛 , 令机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 证明下列级数绝对收敛 :.) 1()2(;sin) 1 (1214nnnnennn证证: (1),1sin44nnn而141nn收敛 ,14sinnnn收敛因此14sinnnn绝对收敛 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 令,2nnenu nnnuu1lim limn12) 1(nen

17、nen2211limnnen11e因此12) 1(nnnen12) 1(nnnen收敛,绝对收敛.机动 目录 上页 下页 返回 结束 其和分别为 绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.*定理定理8. 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和. ( P203 定理9 )说明说明: 证明参考 P203P206, 这里从略.*定理定理9. ( 绝对收敛级数的乘法 ).S则对所有乘积 jivu1nnw按任意顺序排列得到的级数也绝对收敛,设级数1nnv1nnu与都绝对收敛,S其和为但需注意条件收敛级数不具有这两条性质. (P205 定理10) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1

18、. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2. 利用正项级数审敛法必要条件0limnnu不满足发 散满足比值审敛法 limn1nunu根值审敛法nnnulim1收 敛发 散1不定 比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限1机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 任意项级数审敛法为收敛级数1nnu设Leibniz判别法:01nnuu0limnnu则交错级数nnnu1) 1(收敛概念:,1收敛若nnu1nnu称绝对收敛,1发散若nnu条件收敛1nnu称机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习设正项级数1nnu收敛, 能否推出12nnu收敛 ?提示提示:nnnuu2limnnu lim0由比较判敛法可知12nnu收敛 .注意注意: 反之不成立. 例如,121nn收敛 ,11nn发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P206 1 (1), (3), (5) ; 2 (2), (3), (4) ; 3 (1), (2) ; 4 (1), (3), (5), (6) ; 5 (2), (3), (5)第三节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题;) 1ln(1) 1 (1nn1. 判别级数的敛散性:.1)2(1nnnn解解: (1),) 1ln(nnnn1) 1l