控制工程 第5章 系统频率特性

1、频域性能分析频域性能分析引言本章是通过系统的本章是通过系统的频率响应频率响应在在频率域频率域上分析系统的动上分析系统的动态性能，确定系统动态性能与输入信号频率的关系；态性能，确定系统动态性能与输入信号频率的关系；通过频率特性分析，可以获得系统在频率域上的性能通过频率特性分析，可以获得系统在频率域上的性能指标，频域性能指标与时域性能指标有着直接或间接指标，频域性能指标与时域性能指标有着直接或间接的联系，因为两者都是系统动态性能的评价指标。的联系，因为两者都是系统动态性能的评价指标。通过频率特性分析，可以清晰地揭示系统的某些缺陷通过频率特性分析，可以清晰地揭示系统的某些缺陷，进而找出原因和改进措施

2、，并适当加以改进。如机，进而找出原因和改进措施，并适当加以改进。如机床的自激振动（共振）问题会导致工件加工误差的增床的自激振动（共振）问题会导致工件加工误差的增大；车体、飞机机体的振动原因定位；机械振动的主大；车体、飞机机体的振动原因定位；机械振动的主动控制问题等。解决这些问题都需要对系统进行频率动控制问题等。解决这些问题都需要对系统进行频率特性分析。特性分析。本章的另一主要内容是学习各种频率特性图的规律及本章的另一主要内容是学习各种频率特性图的规律及绘制方法。一方面用于系统频响特性分析，另一方面绘制方法。一方面用于系统频响特性分析，另一方面为系统的稳定性分析和设计及校正打下基础。为系统的稳定

3、性分析和设计及校正打下基础。*2本章主要内容频率特性的概念、含义及表示方法；频率特性的概念、含义及表示方法；频率特性的图形描述；频率特性的图形描述；对数坐标图（对数坐标图（Bode图）图）极坐标图（极坐标图（Nyquist图）图）对数幅对数幅-相图（相图（Nichols图）图）最小相位系统和非最小相位系统；最小相位系统和非最小相位系统；闭环频率特性与频域性能指标；闭环频率特性与频域性能指标；系统辨识（实验法确定系统频率特性的过程）。系统辨识（实验法确定系统频率特性的过程）。*3本章学习要求、重点、难点学习要求学习要求掌握掌握频率响应频率响应和和频率特性频率特性的概念和含义，会根据传的概念和含义

4、，会根据传递函数求频率特性。递函数求频率特性。掌握频响特性的图形描述方法：掌握频响特性的图形描述方法：Bode图图、Nyquist图图及其绘制方法。掌握典型环节的及其绘制方法。掌握典型环节的Bode图和图和Nyquist图的特点和绘制方法。图的特点和绘制方法。掌握掌握最小相位系统最小相位系统和和非最小相位系统非最小相位系统的概念及本质。的概念及本质。掌握频域性能指标的含义及求法。掌握频域性能指标的含义及求法。了解用开环频率特性求闭环频率特性的方法；了解了解用开环频率特性求闭环频率特性的方法；了解开环增益的求法。开环增益的求法。了解实验法确定系统频率特性的方法和过程（系统了解实验法确定系统频率特

5、性的方法和过程（系统辨识）。辨识）。*4本章学习要求、重点、难点本章重点本章重点频率响应频率响应和和频率特性频率特性的概念和含义，会根据传递函的概念和含义，会根据传递函数求频率特性；数求频率特性；典型环节的典型环节的Bode图图和和Nyquist图图及其特点；及其特点；最小相位系统最小相位系统和和非最小相位系统非最小相位系统的概念及本质；的概念及本质；频域性能指标的含义及求法。频域性能指标的含义及求法。本章难点本章难点Bode图、图、Nyquist图及其绘制方法。图及其绘制方法。*5本章作业P146P148 习题习题5-15-2 （要用到半对数坐标纸）（要用到半对数坐标纸）5-3 5-6本章作

6、业本章作业17周星期三交（机设）周星期三交（机设）本章作业本章作业17周星期二交（车辆）周星期二交（车辆）*6频率特性的概念频率特性的概念频率特性的含义及特点频率特性的含义及特点机械系统动刚度的概念（略）机械系统动刚度的概念（略）频率特性的表示方法频率特性的表示方法*75-1 频率特性频率特性频率特性的概念的概念频率频率响应响应：在在输入为输入为正弦（或余弦）信号正弦（或余弦）信号时时，系统系统的的稳态响应稳态响应称之为系统的称之为系统的频率频率响应响应。频率特性频率特性：系统的：系统的频率响应频率响应随输入信号频率变化的随输入信号频率变化的特性，或者说，系统对特性，或者说，系统对正弦信号正弦

7、信号的的稳态响应稳态响应特性叫特性叫频率响应特性频率响应特性，简称，简称频响特性频响特性或或频率特性频率特性。采用频率响应对系统的动态特性进行分析称为采用频率响应对系统的动态特性进行分析称为频率频率响应法响应法。频率响应法频率响应法是经典控制理论中最有力的方是经典控制理论中最有力的方法。法。频率响应法频率响应法的用途：研究系统的频率特性；分析系的用途：研究系统的频率特性；分析系统的稳定性；用于系统的设计与校正等。统的稳定性；用于系统的设计与校正等。【注注】频率响应法频率响应法是建立在线性系统的是建立在线性系统的频率保持性频率保持性的基的基础上础上，因此，因此，频率响应法频率响应法主要用于线性系

8、统的分主要用于线性系统的分析，对非线性系统只能有条件地使用。析，对非线性系统只能有条件地使用。*85-1 频率特性线性系统的频率保持性线性系统的频率保持性当给线性系统输入一当给线性系统输入一正弦信号正弦信号，则系统的，则系统的稳态响应稳态响应仍然仍然是与输入同频率的正弦信号，即是与输入同频率的正弦信号，即*9LTISLTIS=Linear Time-Invariant System( )sin()r tAt n()si (Btc t 稳稳态态响响应应瞬瞬态态响响应应f(t) = Asin(t)mf(t)力x(t)位移kB单自由度有阻尼振动系统力学模型t-A0Af (t)/x (t)x(t) =

9、 Bsin(t+)+瞬态响应瞬态响应AB教材教材101页图页图5-2中的标注中的标注“”不对，应改成不对，应改成“/”，或将横坐标标尺改成或将横坐标标尺改成“t”。5-1 频率特性线性系统的频率保持性线性系统的频率保持性设线性定常系统的传递函数为设线性定常系统的传递函数为G(s)，当输入为正弦信号，当输入为正弦信号r(t)=Asint时，时，可以推导出（参见教材可以推导出（参见教材P100）系统的系统的稳态响应为稳态响应为Css(t)=Bsin(t+)，其中：，其中：*10()BA G j( )()( )()js jG jG sG je 称为称为正弦传递函数正弦传递函数Im()()arctan

10、Re()G jG jG j 从上面结果可以看出，稳态响应的从上面结果可以看出，稳态响应的幅值幅值B、输出与输入的输出与输入的相相位差位差 一般要随着正弦输入信号的频率一般要随着正弦输入信号的频率 的变化而变化，正的变化而变化，正是这一变化导致了线性时不变系统不能准确、快速地响应输是这一变化导致了线性时不变系统不能准确、快速地响应输入信号（时域响应上表现为输出信号波形与输入信号波形不入信号（时域响应上表现为输出信号波形与输入信号波形不同或滞后），产生误差。为了减小误差，我们需要知道同或滞后），产生误差。为了减小误差，我们需要知道B和和 随随 是如何变化的，是如何变化的，变化的原因是什么，怎样才能

11、快速准变化的原因是什么，怎样才能快速准确地响应。确地响应。 为了表示为了表示B和和 随随 变化，我们写成变化，我们写成B( )和和 ( )。 5-1 频率特性系统的频率特性可以从两方面来衡量：系统的频率特性可以从两方面来衡量：幅频特性幅频特性相频特性相频特性幅频特性幅频特性：正弦输入信号的正弦输入信号的稳态响应稳态响应幅值与输入幅值与输入信号幅值信号幅值之比之比随输入信号频率随输入信号频率 变化的特性叫作幅变化的特性叫作幅值频率响应特性，简称值频率响应特性，简称幅频特性幅频特性，记作，记作M( ) 。也。也称为称为动态增益动态增益（或称或称动态动态灵敏度灵敏度）。）。即即*11=正正弦弦信信号

12、号稳稳态态响响应应幅幅值值幅幅频频特特性性正正弦弦输输入入信信号号幅幅值值( )( )()BMG jA5-1 频率特性相频特性相频特性：正弦输入信号的正弦输入信号的稳态响应稳态响应与输入信号与输入信号之间的之间的相位差相位差（或称相移）（或称相移） ( )随输入信号频率随输入信号频率 变化的特性叫相位频率响应特性，简称变化的特性叫相位频率响应特性，简称相频特性相频特性，记作记作 ( )。（时域上表现为输出相对于输入的时。（时域上表现为输出相对于输入的时移。）移。）幅频特性幅频特性和和相频特性相频特性合起来描述了系统的合起来描述了系统的频响特频响特性性或或频率特性频率特性。=-相相频频特特性性正

13、正弦弦信信号号稳稳态态响响应应相相角角 正正弦弦输输入入信信号号相相角角*12Im()( )()arctanRe()G jG jG j 5-1 频率特性系统频率特性的获得系统频率特性的获得解析法解析法令输入令输入x(t)=x0sin( t)，求解微分方程的特解（稳，求解微分方程的特解（稳态解）。可以利用拉氏变换求解；态解）。可以利用拉氏变换求解；利用利用频率响应函数频率响应函数；实验法实验法输入正弦信号，测量稳态输出。输入正弦信号，测量稳态输出。*135-1 频率特性利用利用频率响应函数频率响应函数求频率特性求频率特性频率响应函数频率响应函数的定义：对连续线性定常系统，输出的定义：对连续线性定

14、常系统，输出的付立叶变换的付立叶变换C(j )与输入的付立叶变换与输入的付立叶变换R(j )之比之比，叫，叫频率响应函数频率响应函数，简称，简称频响函数频响函数，也称为，也称为正弦传正弦传递函数递函数，记作，记作G(j ) 。即。即 *14【注注】：G(j )是频率是频率 的函数，因为虚数单位的函数，因为虚数单位j是常是常数，写成数，写成G(j )只是为了说明频响函数与传递函数只是为了说明频响函数与传递函数的关系，与的关系，与G( )的意思一样。的意思一样。()()()C jG jR j 5-1 频率特性频响函数的求法频响函数的求法按定义由微分方程求得。即对描述线性定常系统按定义由微分方程求得

15、。即对描述线性定常系统的微分方程两边同时做傅里叶变换得到。的微分方程两边同时做傅里叶变换得到。如果传递函数如果传递函数G(s)已知，以已知，以j 代替传递函数代替传递函数G(s)中中的的s得到。得到。本课程主要采用第二种方法。本课程主要采用第二种方法。*15()()Re ()Im ()( )=( )cos ( )( )sin ( )jG jG jjG jMeMjM 5-1 频率特性G(j )一般为复变函数，可以写成：一般为复变函数，可以写成：*16实部实部实频特性实频特性虚部虚部虚频特性虚频特性模模相角相角我就是我就是幅频幅频特性特性表达式表达式我就是我就是相频相频特性特性表达式表达式22()

16、( )()Re ()Im ()()C jMG jG jG jR j ()Im ()( )()arctan()Re ()C jG jG jR jG j 5-1 频率特性线性定常系统的线性定常系统的微分方程微分方程、传递函数传递函数和和频响函数频响函数之间的转换关系。之间的转换关系。*17系统系统微分方程微分方程频响函数频响函数传递函数传递函数系统的微分方程、传递函数和系统的微分方程、传递函数和频响函数之间的相互转换关系频响函数之间的相互转换关系jsddtjddts5-1 频率特性频率特性频率特性的的含义及特点含义及特点频率特性频率特性是系统对正弦输入信号的是系统对正弦输入信号的稳态响应特性稳态响

17、应特性。通过分析通过分析在在输入不同输入不同频率频率谐波时系统的稳态响应谐波时系统的稳态响应可可以揭示以揭示系统的动态特性。系统的动态特性。不能定量反映系统的瞬态不能定量反映系统的瞬态响应特性（间接定性反映）。响应特性（间接定性反映）。系统的频率特性是系统脉冲响应函数系统的频率特性是系统脉冲响应函数g(t)的的Fourier变换，变换，即即在经典控制理论范畴，频域分析法较时域分析法简在经典控制理论范畴，频域分析法较时域分析法简单单，特别是对于，特别是对于高阶系统高阶系统的分析。的分析。可以方便地利用试验方法获得系统的频率特性，进可以方便地利用试验方法获得系统的频率特性，进而获得系统的数学模型。

18、而获得系统的数学模型。() ( )( )dj tG jF g tg t et*185-1 频率特性例例1：求周期信号求周期信号x(t)=0.5cos10t+0.2cos(100t/4)通过传递函数为通过传递函数为G(s)=1/(0.005s+1)的装置后得到的的装置后得到的稳态响应。稳态响应。解解：系统的频响函数（频响特性）、幅频特性和相频系统的频响函数（频响特性）、幅频特性和相频特性分别为特性分别为频响函数频响函数幅频特性幅频特性相频特性相频特性1()10.005G jj 21|()|1(0.005 )G j 00.005( )arctanarctan11arctan(0.005 ) *19

19、例例1 15-1 频率特性该装置是一线性定常系统，设稳态响应为该装置是一线性定常系统，设稳态响应为yss(t)，根据，根据线性定常系统的线性定常系统的频率保持性频率保持性和和叠加性叠加性得到得到yss(t)=y01cos(10t+ 1)+y02cos(100t/4+ 2)*20所以稳态响应为所以稳态响应为 01011021|()|0.50.4991(0.005 10)yG jx 1(10)arctan(0.005 10)2.860.05(rad) 020210021|()|0.20.1791(0.005 100)yG jx 2(100)arctan(0.005 100)26.570.464 (

20、rad) ss( )0.499cos(100.05)0.179cos(1001.249)yttt 可见：输入信号频率越高，稳态输出幅值衰减越大，相移越大（这正是惯性环节可见：输入信号频率越高，稳态输出幅值衰减越大，相移越大（这正是惯性环节的频响特性）。的频响特性）。 5-1 频率特性本例题也可以采用第本例题也可以采用第4章介绍的求时间响应的方法获章介绍的求时间响应的方法获得稳态响应，即利用传递函数求出零状态响应，然后分得稳态响应，即利用传递函数求出零状态响应，然后分解出其中的稳态响应。解出其中的稳态响应。 而利用频响函数可直接求出稳而利用频响函数可直接求出稳态响应。态响应。*21教材教材103

21、页最后一行：页最后一行：“稳态输出稳态输出响应响应”应为应为“时间时间响应响应”。1200( ) ( )0.499cos(100.05)0.179cos(1001.249)0.555ty tLY stte 稳态响应稳态响应瞬态响应瞬态响应5-1 频率特性频率特性的表示方法频率特性的表示方法函数表示法：即利用前述各种方法求出频率特性函数表示法：即利用前述各种方法求出频率特性表达式，并以此表示频率特性。表达式，并以此表示频率特性。频率特性（频响函数）：频率特性（频响函数）：幅频特性：幅频特性：相频特性：相频特性：()()( )Re ()Im () |()|jsjG jG sG jjG jG je

22、22( ) |()|Re ()Im ()MG jG jG j 正正弦弦信信号号稳稳态态响响应应幅幅值值正正弦弦输输入入信信号号幅幅值值Im ()( )()arctanRe ()G jG jG j 正正弦弦信信号号稳稳态态响响应应相相角角- -正正弦弦输输入入信信号号相相角角*225-1 频率特性频率特性的表示方法频率特性的表示方法图形表示法图形表示法普通坐普通坐标图：两幅图，一幅为幅频特性图，另一幅标图：两幅图，一幅为幅频特性图，另一幅为相频特性图。为相频特性图。对数坐标图对数坐标图(Bode plot)：两幅图，一幅表示幅频特：两幅图，一幅表示幅频特性，另一幅表示相频特性。性，另一幅表示相频

23、特性。极坐标图极坐标图(Nyquist plot)：用一幅图表示频率特性。：用一幅图表示频率特性。对数幅对数幅-相图相图(Nichols plot)：用一幅图表示频率特性。：用一幅图表示频率特性。上述各种图形表示方法，各有各的特点，可根据需要选上述各种图形表示方法，各有各的特点，可根据需要选用。用。我们可以使用这些频率特性图研究系统的频率特性、稳我们可以使用这些频率特性图研究系统的频率特性、稳定性以及系统的设计和定性以及系统的设计和校正等。校正等。*230102030405060708090100-200-150-100-500 (rad/s)()01020304050607080901000

24、0.511.5|G()| (rad/s)频响特性图普通坐标图：普通坐标图：|G(j )| 或或|G(f)|f图叫图叫幅频特性图幅频特性图（或叫幅（或叫幅频特性曲线）；频特性曲线）； ( ) 或或 (f)f）图叫）图叫相频特性图相频特性图（或叫（或叫相频特性曲线）。纵、横坐标皆线性分度。例如相频特性曲线）。纵、横坐标皆线性分度。例如 G(s) = 25/(s2+4s+25)的频响特性图的频响特性图普通坐标图普通坐标图特点：特点：主要优点：主要优点：简单易懂。简单易懂。主要缺点：主要缺点：横坐标频率横坐标频率分辨率受限。分辨率受限。*24-40-20020 -180-135-90-450L() /

25、dB (rads1)() /n10n0.1n对数坐标图对数坐标图各种典型环节的伯德图各种典型环节的伯德图绘制系统伯德图的一般步骤绘制系统伯德图的一般步骤系统类型和对数幅频曲线之间的关系（略）系统类型和对数幅频曲线之间的关系（略）*25伯德（伯德（H.W.Bode)19051982美国美国Bell实验室实验室著名科学家著名科学家对数坐标图对数坐标图对数坐标图对数坐标图又称又称伯德伯德(Bode)图图。它包括两幅图，一。它包括两幅图，一幅是幅是20lg|G(j )| 图，叫图，叫对数幅频特性图对数幅频特性图；另一幅；另一幅是是 ( ) 图，图，叫叫对数相频特性图对数相频特性图。 横坐标横坐标 采用

26、常用对数采用常用对数lg分度分度(但仍以但仍以标注标注)；纵坐；纵坐标标20lg|G(j )|和和 ( )采用线性分度。采用线性分度。20lg|G(j )|单位：单位：dB（Decibel）；）； ( )单位：单位： 或或rad； 单位：单位：rads1。对数坐标图对数坐标图画在半对数坐标纸上，横坐标采用常用画在半对数坐标纸上，横坐标采用常用对数分度，纵坐标采用线性分度。对数分度，纵坐标采用线性分度。5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)*26*5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)-40-30-20-10020lg|G(j)| (dB)10-1100101102-90-75-60-45-30

27、-150() ()Bode Diagram (rads1)0.2220|G(j)|=1|G(j)|=0.1|G(j)|=0.01lg -1横轴低频分辨率高，横轴低频分辨率高，高频分辨率低。高频分辨率低。12270.33 4 530400正常均匀分度正常均匀分度按按lg分度分度*28半对数坐标纸半对数坐标纸*5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)29*5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)305-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)一倍频程一倍频程：若：若2=21或或2=1/21，则称从则称从1到到2变化（增加或减小）一倍频程，以变化（增加或减小）一倍频程，以“oct.”（octave）表示。表示

28、。十倍频程十倍频程：若：若2=101或或2=1/101，则称从则称从1到到2变化（增加或减小）十倍频程，以变化（增加或减小）十倍频程，以“dec.”（decade）表示。表示。 (rads1)101102103104202102210340801倍频程倍频程 1倍频程倍频程1倍频程倍频程10倍频程倍频程10倍频程倍频程10倍频程倍频程10倍频程倍频程10倍频程倍频程*315-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)采用采用Bode图的优点图的优点将典型环节幅值（模）的相乘转化为相加，相除转将典型环节幅值（模）的相乘转化为相加，相除转化为相减，简化了复杂系统幅频特性图的绘制；化为相减，简化了复杂系统幅

29、频特性图的绘制；它可以利用渐近线绘制近似的对数幅频曲线，简化它可以利用渐近线绘制近似的对数幅频曲线，简化了绘图。了绘图。可以在较大的频率范围内研究系统的频率特性，并可以在较大的频率范围内研究系统的频率特性，并能保证低频段的频率分辨能力（在实际系统中，低能保证低频段的频率分辨能力（在实际系统中，低频特性最为重要）。频特性最为重要）。通过试验获得通过试验获得Bode图后，可以很容易从图后，可以很容易从Bode图得图得到系统的传递函数到系统的传递函数 。缺点：不能表示缺点：不能表示=0点的幅值和相位，因为点的幅值和相位，因为lg0不存在不存在（或者说等于（或者说等于-）。）。的下限可根据需要选取，如

30、取的下限可根据需要选取，如取1、0.1、0.01等。等。*325-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)各种典型环节的伯德图各种典型环节的伯德图比例环节：比例环节：G(s)=K，G(j)=K积分环节：积分环节：G(s)=1/s，G(j)=1/(j)微分环节：微分环节：G(s)=s，G(j)=j一阶惯性环节一阶惯性环节 ：G(s)=1/(1+Ts)，G(j)=1/(1+jT)一阶一阶微分微分环节环节 ：G(s)=1+Ts，G(j)=1+jT二阶振荡环节：二阶振荡环节：G(s)=n2/(s2+2ns+n2)二阶微分环节：二阶微分环节：G(s)=(s2+2ns+n2)/n2延时环节：延时环节：G(s)=

31、es，G(j)=ej掌握了这些环节的掌握了这些环节的Bode图绘制规律，就可以容易地图绘制规律，就可以容易地画出由这些环节构成的任何复杂系统的画出由这些环节构成的任何复杂系统的Bode图。因图。因为复杂系统的为复杂系统的Bode图就是各环节伯德图简单的叠加。图就是各环节伯德图简单的叠加。*335-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)（1）比例环节）比例环节G(s)=K的伯德图的伯德图01( )20lg|()| 20lg|(dB)0101KLG jKKK ()G jK 00( )()1800KG jK 频率特性频率特性(频响函数频响函数)对数幅频特性对数幅频特性对数相频特性对数相频特性o2i1(

32、)( )UsRKU sR *34反相比例运算放大器反相比例运算放大器R2R1ui(t)uo(t)100101() () (rads1)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)（1）比例环节）比例环节G(s)=K的伯德图的伯德图0L() (dB)20lg|K|0或或180比例环节可以忠实地跟踪输入信号。其它环节的频比例环节可以忠实地跟踪输入信号。其它环节的频率特性可以依此为基准进行比较。率特性可以依此为基准进行比较。*355-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)（2）积分环节）积分环节G(s)=1/s的伯德图的伯德图()1/ ()G jj 11( )20lg|()|20lg20lg20lg(dB)L

33、G jj 111/( )arctan900jj 频率特性频率特性对数幅频特性对数幅频特性对数相频特性对数相频特性当当=1 rads1时时(1)20lg10(dB)L 即积分环节幅频特性线过（即积分环节幅频特性线过（1，0）点。）点。*36教材教材105页页(5-7)式第式第2行第一个行第一个负号不对，删负号不对，删10-1100101102-180-900 () () (rads1)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)（2）积分环节）积分环节G(s)=1/s的伯德图的伯德图-40-20020L() (dB)斜率斜率= 20 dB/dec(1，0)(10 )( )20lg(10 )( 20lg

34、)2020 (dB/dec)lg(10 )lglg(10 )lglg10LL (2 )( )20lg(2 )( 20lg)66 (dB/oct)lg(2 )lglg(2 )lglg2LL *3710-1100101102-900 () () (rads1)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)个积分环节个积分环节G(s)=1/s的伯德图的伯德图*380L() (dB)斜率斜率= 20 dB/dec(1，0)(10 )( )20 lg(10 )( 20 lg)2020(dB/dec)lg(10 )lglg(10 )lglg10LL 1( )20lg20 lg(dB)()Lj 1( )90()j

35、5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)（3）微分环节）微分环节G(s)=s的伯德图的伯德图()G jj ( )20lg|()| 20lg20lg(dB)LG jj ( )arctan900j 频率特性频率特性对数幅频特性对数幅频特性对数相频特性对数相频特性当当=1 rads1时时(1)20lg10(dB)L 即微分环节幅频特性曲线过（即微分环节幅频特性曲线过（1，0）点。）点。*3910-1100101102180900 () () (rads1)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)（3）微分环节）微分环节G(s)=s的伯德图的伯德图-2020040L() (dB)斜率斜率= 20 dB/d

36、ec(1，0)(10 )( )20lg(10 )20lg20(dB/dec)lg(10 )lglg10LL *4010-1100101102900 () () (rads1)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)个个微分环节微分环节G(s)=s的伯德图的伯德图*410L() (dB)斜率斜率= 20 dB/dec(1，0)( )20lg ()20 lg(dB)Lj ( )()90j (10 )( )20 lg(10 )20 lg2020(dB/dec)lg(10 )lglg(10 )lglg10LL 5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)积分环节积分环节Bode图与微分环节图与微分环节Bode

37、比较比较-40-200204010-1100101102-180-90090180Bode Diagram () () (rads1)L() (dB)微分环节微分环节积分环节积分环节微分环节微分环节积分环节积分环节*42互为倒数的环节，其对数幅频特性曲线和相频特性曲线都相差一个符号；在特征参数相同的情况下，曲线都是关于某一水平线对称。这是Bode图的优点之一。5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)（4）一阶惯性环节一阶惯性环节G(s)=1/(Ts+1)的伯德图的伯德图1()1G jjT 221( )20lg|()| 20lg1()20lg 1() (dB)LG jTT ( )0arctanar

38、ctan()1TT 频率特性频率特性对数幅频特性对数幅频特性对数相频特性对数相频特性当当=1/T rads1时时1()20lg23 (dB)LT 即惯性环节幅频特性线过（即惯性环节幅频特性线过（1/T，3dB）点；相）点；相频特性曲线过（频特性曲线过（1/T，45）点。）点。1()arctan145T *4310-210-1102103-90 (rads1)0100101-45() /-60-40-200L() /dB-35-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)一阶惯性环节一阶惯性环节G(s)=1/(Ts+1)的伯德图的伯德图T=0T= 0.1T= 0.5T=1T=20.52（1/T，3dB）（

39、1/T，45）（拐点）（拐点）*44T改变，曲线形状保持不变。5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)当当T1，即，即1，即，即1/T时时( )20lg()20lg20lg(dB)LTT 低频渐近线低频渐近线(0dB线线)因为横坐标采用因为横坐标采用lg分度，分度，所以该式表达的是一条过所以该式表达的是一条过点点 ( 1 / T ， 0 ) ， 斜 率 为， 斜 率 为20dB/dec的直线，称为的直线，称为高频渐近线。高频渐近线。( )0 ( )90 【注注】教材教材P107图图5-10中的横坐标为中的横坐标为T，此时，此时，渐近线是过点（渐近线是过点（1，0）。）。P106倒数第倒数第1行中

40、说法文行中说法文不对图。不对图。（4）一阶惯性环节一阶惯性环节G(s)=1/(Ts+1)的伯德图的伯德图*455-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)（4）一阶惯性环节一阶惯性环节G(s)=1/(Ts+1)的伯德图的伯德图令高频渐近线令高频渐近线( )20lg20lg0LT 得高频渐近线与低频渐近线得高频渐近线与低频渐近线 (即即0dB线线)的交点频率为的交点频率为1TT 因该频率是高频渐近线与低频渐近线的交点频率，因该频率是高频渐近线与低频渐近线的交点频率，所以称其为所以称其为转角频率（转角频率（corner frequency）或或转折频转折频率（率（break frequency）。所以转

41、角频率。所以转角频率T（或时间（或时间常数常数T）是一阶惯性环节的特征参数。它决定了一）是一阶惯性环节的特征参数。它决定了一阶惯性环节的动态特性。阶惯性环节的动态特性。*4610-210-1102103-90 (rads1)0100101-45() /-60-40-200L() /dB5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)（4）一阶惯性环节一阶惯性环节G(s)=1/(Ts+1)的伯德图的伯德图T= 0.52转角频率转角频率T=1/T(1/T，-45) （拐点）（拐点）高频渐近线高频渐近线斜率斜率= 20 dB/dec低频渐近线低频渐近线*47渐近线渐近线斜率斜率= 45/dec5-2 频率特性

42、的对数坐标图(伯德图)（4）一阶惯性环节一阶惯性环节G(s)=1/(Ts+1)的伯德图的伯德图在采用手工近似绘制惯性环节的对数幅频特性曲线在采用手工近似绘制惯性环节的对数幅频特性曲线时，可以采用上述两条渐近线近似代替精确的曲时，可以采用上述两条渐近线近似代替精确的曲线。这种方法省时省力，在设计初期经常采用。线。这种方法省时省力，在设计初期经常采用。如果需要精确的对数幅频特性曲线，则可以利用如果需要精确的对数幅频特性曲线，则可以利用误差曲线对近似曲线进行修正。惯性环节的误差误差曲线对近似曲线进行修正。惯性环节的误差曲线如下页图所示。曲线如下页图所示。在手工绘制惯性环节的对数相频特性曲线时，找出在

43、手工绘制惯性环节的对数相频特性曲线时，找出一些关键点，加上渐近线作为参考，即可近似画一些关键点，加上渐近线作为参考，即可近似画出。必要时，计算其它一些点。可以利用曲线关出。必要时，计算其它一些点。可以利用曲线关于拐点于拐点(1/T， 45)的对称性。惯性环节的关键的对称性。惯性环节的关键点：点：*481()()45TT (0)0 ()90 -4-3-2-101T1100T110T10T100T/rads1 (按按lg 分度分度)L() /dB5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)惯性环节渐近线与实际曲线之间的误差曲线（精确近似）惯性环节渐近线与实际曲线之间的误差曲线（精确近似）最大误差出现最大

44、误差出现在转角频率处在转角频率处转角频率转角频率T=1/Tmin( )20lg 11010lg23.01(dB)L *495-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)（4）一阶惯性环节一阶惯性环节G(s)=1/(Ts+1)的伯德图的伯德图分析：分析：惯性环节具有低通滤波器的特性惯性环节具有低通滤波器的特性。p在低频段，幅频特性约为常数，相移约为在低频段，幅频特性约为常数，相移约为0（即时移为（即时移为0），），所以对低频正弦输入信号，能较忠实地跟踪。所以对低频正弦输入信号，能较忠实地跟踪。p在高频段，在高频段，对数幅值迅速对数幅值迅速向向-衰减衰减，相移趋于，相移趋于-90，所以，所以对于频率高于对

45、于频率高于T1/T的的正弦信号正弦信号，输出幅值趋于输出幅值趋于0，相移，相移趋于趋于-90。其原因就是由于时间常数。其原因就是由于时间常数T的存在，使得输出的存在，使得输出幅值需要一定的时间才能达到。幅值需要一定的时间才能达到。p如果输入信号含有多种谐波，则对低频成分，输出能较忠如果输入信号含有多种谐波，则对低频成分，输出能较忠实地跟踪，而对高频成分，输出幅值衰减很大，且有相移。实地跟踪，而对高频成分，输出幅值衰减很大，且有相移。p所以惯性环节只能较准确地跟踪恒定的或变化较慢的输入所以惯性环节只能较准确地跟踪恒定的或变化较慢的输入信号。信号。时间常数时间常数T越小，越小，转角频率转角频率T越

46、大，跟踪频段越宽，越大，跟踪频段越宽，越能准确地跟踪输入信号，且响应越快。越能准确地跟踪输入信号，且响应越快。p低频时相当于比例环节，高频时相当于积分环节。低频时相当于比例环节，高频时相当于积分环节。*505-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)*5100.20.40.60.811.21.41.61.82-101r1(t)=sin(2t)r1(t)/c1(t)00.20.40.60.811.21.41.61.8200.20.40.60.811.21.41.61.8200.20.40.60.811.21.41.61.82-404t (s)r2(t)=sin(20t)r3(t)=sin(50t)r(

47、t)=r3(t)+r2(t)+r3(t)-101r2(t)/c2(t)-101r3(t)/c3(t)r(t)/c(t)1( )0.051G ss惯性环节的频响特性图解（含瞬态响应）输入信号输入信号r(t)输出信号输出信号c(t)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)如果如果3个正弦信号的稳态输出幅值一样，且相对于个正弦信号的稳态输出幅值一样，且相对于输入的时移都为输入的时移都为0（即相移为（即相移为0），则），则3个信号相加个信号相加后的稳态响应的波形就与输入波形一样，只是在后的稳态响应的波形就与输入波形一样，只是在幅值上放大或缩小常数倍，即完全跟踪输入，如幅值上放大或缩小常数倍，即完全跟踪输

48、入，如下图所示。下图所示。*52c(t) =Kr1(t) +Kr2(t) +Kr3(t)=Kr1(t) +r2(t) +r3(t)=Kr(t)00.20.40.60.811.21.41.61.82-404t (s)r(t)=r3(t)+r2(t)+r3(t)r(t)/c(t)理想系统的频响特性理想系统输出理想系统输出c(t)与输入与输入r(t)的关系的关系：c(t)=Kr(t)，即，即C(s)=KR(s)，C(j)=KR(j)，K为增益常数。为增益常数。理想系统传递函数和频响函数理想系统传递函数和频响函数：tr(t)0理想系统理想系统K(比例环节比例环节)tc(t)0理想系统幅频特性理想系统幅

49、频特性理想系统相频特性理想系统相频特性( )( )( )C sG sKR s ()()()C jG jKR j |()| |G jK 常常数数00( )()1800KG jK *53理想系统的频响特性Bode图见前面的比例环节图见前面的比例环节*5401020304050607080901000 (rad/s)()01020304050607080901000|K|G()| (rad/s)理想系统的频响特性图理想系统的频响特性图理想系统的频响特性理想系统是我们追求的，但在实际应用中，理想环理想系统是我们追求的，但在实际应用中，理想环节未必就是最好用的，这时因为被控对象往往不是节未必就是最好用的

50、，这时因为被控对象往往不是理想系统，而且还有各种干扰存在。为了适应被控理想系统，而且还有各种干扰存在。为了适应被控对象的要求，往往要人为地加入某些非理想环节。对象的要求，往往要人为地加入某些非理想环节。例如液压驱动的升降机及类似负载中，由于负载不例如液压驱动的升降机及类似负载中，由于负载不是理想系统，需要对动力油缸油流量和压力等仔细是理想系统，需要对动力油缸油流量和压力等仔细控制。若采用电磁比例阀控制动力油缸的流量（速控制。若采用电磁比例阀控制动力油缸的流量（速度），为了控制负载起动和停止的加速度，需要调度），为了控制负载起动和停止的加速度，需要调节阀芯开通和关闭的速度，就需要在电磁比例阀控节

51、阀芯开通和关闭的速度，就需要在电磁比例阀控制电路中增加积分电路；为了抑制负载波动等带来制电路中增加积分电路；为了抑制负载波动等带来的干扰，往往需要在控制电路中增加的干扰，往往需要在控制电路中增加PID调节电路，调节电路，而其中的而其中的I、D电路都不是所谓的理想系统。电路都不是所谓的理想系统。*555-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)（5）一阶微分环节一阶微分环节G(s)=1+Ts的伯德图的伯德图2( )20lg|()| 20lg 1() (dB)LG jT ()1G jj T ( )()arctanG jT 频率特性频率特性对数幅频特性对数幅频特性对数相频特性对数相频特性当当=1/T ra

52、ds1时时1()20lg23(dB)LT 即一阶微分环节幅频特性曲线过（即一阶微分环节幅频特性曲线过（1/T，3dB）点；相频特性曲线过（点；相频特性曲线过（1/T，45）点。）点。1()arctan145T *565-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)一阶微分环节一阶微分环节G(s)=1+Ts的伯德图的伯德图0204060L() /dB (rads1)10-210-110010110210304590() /T=0T= 0.1T= 0.3T= 0.5T= 1T= 2（1/T，3dB）（1/T，45）*575-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)当当T1，即，即1，即，即1/T时时2( )20l

53、g ()20lg20lg(dB)LTT低频渐近线低频渐近线(0dB线线)高 频 渐 近 线 。高 频 渐 近 线 。 斜 率 为斜 率 为20dB/dec，过点，过点(1/T，0)令令得高频渐近线与低频渐得高频渐近线与低频渐近线近线 (即即0dB线线)的交点的交点频率为频率为1TT ( )20lg20lg0LT 转角频率转角频率( )0 ( )90 【注注】教材教材P108图图5-12中的横坐标为中的横坐标为T，此时，此时，渐近线是过点（渐近线是过点（1，0）。）。P108正数第正数第3行中说法文行中说法文不对图。不对图。*585-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)一阶微分环节一阶微分环节G(

54、s)=1+Ts的伯德图的伯德图0204060L() /dB (rads1)10-210-110010110210304590() /T= 1T=1/T高频渐近线高频渐近线斜率斜率= 20 dB/dec低频渐近线低频渐近线*59渐近线渐近线斜率斜率= 45/dec(1/T，45)（拐点）（拐点）5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)（5）一阶一阶微分微分环节环节G(s)=Ts+1的伯德图的伯德图在采用手工近似绘制一阶微分环节的对数幅频特在采用手工近似绘制一阶微分环节的对数幅频特性曲线时，可以采用上述两条渐近线近似代替精确性曲线时，可以采用上述两条渐近线近似代替精确的曲线。需要时利用误差曲线进行修

55、正。的曲线。需要时利用误差曲线进行修正。在手工绘制对数相频特性曲线时，找出一些关键在手工绘制对数相频特性曲线时，找出一些关键点，必要时，计算出其它一些点，加上渐近线作为点，必要时，计算出其它一些点，加上渐近线作为参考，即可近似画出。参考，即可近似画出。可以利用曲线关于拐点可以利用曲线关于拐点(1/T，45)的对称性。的对称性。对一阶微分环节的关键点有：对一阶微分环节的关键点有：(0)01()()45( )90TT *60/rads1 (按按lg分度分度)0123( )/ dBL1100T110T1T10T100T5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)一阶微分环节对数幅频渐近线与实际曲线之间的误

56、差曲线（精确近似）一阶微分环节对数幅频渐近线与实际曲线之间的误差曲线（精确近似）最大误差出现最大误差出现在转角频率处在转角频率处转角频率转角频率T=1/Tmax( )20lg 11010lg23.01(dB)L *615-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)与前述惯性环节相比，一阶微分环节的对数幅、相频特与前述惯性环节相比，一阶微分环节的对数幅、相频特性与惯性环节相比都差了一个符号。因此，微分环节的性与惯性环节相比都差了一个符号。因此，微分环节的对数幅、相频特性曲线变化规律与惯性环节相反，对数对数幅、相频特性曲线变化规律与惯性环节相反，对数幅频特性曲线与惯性环节的对称于幅频特性曲线与惯性环节的对

57、称于0dB线（线（T相同时）相同时），对数相频特性曲线与惯性环节的对称于，对数相频特性曲线与惯性环节的对称于0线（线（T相同相同时）。时）。低频时相当于比例环节，高频时相当于微分环节。低频时相当于比例环节，高频时相当于微分环节。*625-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)-5005010-210-1100101102103-90-4504590L() /dB/(rads1)() /一阶微分环节一阶微分环节惯性环节惯性环节一阶微分环节一阶微分环节惯性环节惯性环节*63T=1T= 0.5T= 0.15-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)（6）振荡）振荡环节环节的伯德图的伯德图频率特性频率特性传递函

58、数传递函数222( )2nnnG sss 2222222()()22112nnnnnnnnG jjjjj *645-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)（6）振荡）振荡环节环节的伯德图的伯德图222( )20lg|()|20lg12(dB)nnLG j 22( )()arctan1nnG j 对数幅频特性对数幅频特性对数相频特性对数相频特性当当=n时时()20lg(2 )(dB)nL 2()arctan900n 过（过（n，20lg(2)）点）点过（过（n，90）点）点*655-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)-40-20020 -180-135-90-450L() /dB (rads1)()

59、 /= 0= 0.1= 0.3= 0.5= 0.7= 1= 2n10n0.1n*66(n，90)（拐点）（拐点）5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)当当n时时2( )20lg40lg40lg40lg(dB)nnnL 低频渐近线低频渐近线(0dB线线)高 频 渐 近 线 。高 频 渐 近 线 。 斜 率 为斜 率 为40dB/dec，过点，过点(n，0)( )0 ( )180 令令得高频渐近线与低频渐得高频渐近线与低频渐近线近线 (即即0dB线线)的交点频的交点频率为率为Tn ( )40lg40lg0nL 转角频率转角频率【注注】教材教材P109图图5-13中的横坐标为中的横坐标为/n，此，此

60、时，渐近线是过点（时，渐近线是过点（1，0）。）。P108倒数第倒数第9行中行中说法文不对图。说法文不对图。*675-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)-40-20020 -180-135-90-450L() /dB (rads1)() /nT = n(n，90)高频渐近线高频渐近线斜率斜率= 40 dB/dec低频渐近线低频渐近线10n0.1n= 0.1212rnnmax2120lg21L *685-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)（6）震荡）震荡环节环节的伯德图的伯德图*69在采用手工近似绘制震荡环节的对数幅频特性曲线时，在采用手工近似绘制震荡环节的对数幅频特性曲线时，可以采用上述两条渐