导数中证明不等式技巧——构造、切线放缩、二元变量、凹凸反转专题

1、导数中的不等式证明命题角度1构造函数【典例1】已知函数f x 1 lnx,g(x) aX 1 bx ,若曲线y f x与曲线y g x的一个公共点是 xe xA 1,1 ,且在点 A处的切线互相垂直.(1)求a,b的值；2(2)证明：占 x 1 时)f x g(x).x命题角度2放缩法【典例2】已知函数f(x)(x b)(ex a) (b 0),在(1, f( 1)处的切线方程为(e 1)x ey e 10.(1)求 a,b ;(2)若 m 0,证明：f (x) mx2 x.【典例3】 已知函数f x x In x ax 1,a R.(1)当x 0时，若关于x的不等式f x 0恒成立，求a的取

2、值范围;(2)当 n N* 时，证明：ln2 2 ln23 L ln2 -2n 42n n 1-18 -【典例4】已知函数工 2ln x 2f x xe(1)求函数f x的单调区间;(2)证明：当x0时,都有f x ln命题角度3切线法【典例5】已知函数f x(1)求曲线f x在x1处的切线方程;(2)求证：当x 0时,ln x命题角度4二元或多元不等式的解证思路【典例6】若x,a,b均为任意实数，且2-22 一，31 ,则x a ln x b的取小值为A. 32B. 18C. 3 2 1D.19 6 2【变式训练】2.a 22 ,其中e 2.71828,则D的最小值为A. 2B. 3C. 2

3、 1A. ,3122【能力提升】对于任意b 0,a R,不等式 b a 2 Inb a 1m2 m恒成立，则实数m的最大值为A. eB. 2C. eA. 3命题角度4二元或多元不等式的解证思路【典例7】(2018年安庆市二模)已知函数f x x2 ax bln x ,曲线y f x在点1,f 1处的切线方程为y 2x.(1)求实数a,b的值；(2)设F x f x x2 mx m R ,x1,x2 0 x1 x2分别是函数F x的两个零点，求证：Fx1x20.【典例8已知函数 f xex,g x ax2 bx,a,b R .(1)当b 0时，方程f x g x 0在区间0, 上有两个不同的实数

4、根，求 a的取值范围;(2)当a b 0时，设x1,x2是函数F xf x g x两个不同的极值点,【典例9】已知函数f x exax有两个极值点x1, x2 ( e为自然对数的底数).(1)求实数a的取值范围；(2)求证：f x1 f x22.【典例10】已知函数f xx2 x a 2有零点xi, x2,函数g x x2 a 1 x 2有零点x3, x4，且x3 x1 x4 x2 ,则实数a的取值范围是99A.2 B. 044C.2,0D, 1,命题角度5函数凹凸性的应用【典例11已知函数f x x 1 ln x ,曲线y f (x)在x 1处的切线方程为 y ax b .(1)求证：x 1

5、时，fax b ；(2)求证：叵2回 16In n2 2n2 3n 2,n N【典例12 已知函数f x xlnx ax 1,a R.(1)当x 0时，若关于x的不等式f x 0恒成立，求a的取值范围;(2)当 x 1,时，证明：心，lnx x2 x.e【典例13】 已知函数f x2 a x x xln x , g x-(1)若f x g x在1, 上恒成立，求实数a的取值范围;(2)求证:/1/2, n1 2 1 2 L 1 2 e.n 1 n 1n 1【典例14函数f x ln x 1ax的图像与直线y 2x相切.(1)求a的值；、- - 2n !(2)证明：对于任意正整数 n, nn e

6、n 1 ! nn e2 . n!【典例15】 已知函数f xm(1 2e)x2 x1 1 1 e(x b)(ex a)(b 0)在(1, f ( 1)处的切线方程为(e 1)x ey e 1 0.(1)求 a,b ;(2)若方程f(x) m有两个实数根x1,x2,且x1 x2,证明:导数中的不等式证明导数中不等式的证明是历年的高考中是一个永恒的话题，由于不等式证明的灵活性，多样性，该考点也备 受命题者的青睐。本文通过四个方面系统介绍了一些常规的不等式证明的手段命题角度1构造函数命题角度2放缩法命题角度3切线法命题角度4二元或多元不等式的证明思路命题角度5函数凹凸性的应用【典例1】已知函数f x

7、ln x ,、1,g(x)x命题角度1构造函数ax - bx ,若曲线y f x与曲线y g x的一个公共点是 e xA 1,1 ,且在点 A处的切线互相垂直.(1)求a,b的值;(2)证明：当x 1时,g(x)【解析】(1) a(2) g(x)g(x)ln x0,ln x1 ln x2xg(x)ln x-2x因为xln x-2 x°,所以h x在1.单调递增，h x h 10 ,即1匹三x 0 ,x e x2所以当x 1时，f x g(x)-, x【审题点津】待证不等式的两边都含有同一个变量，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，应用导数研究其单调性，借助于所构造函数的单调性加以证

8、明命题角度2放缩法0.【典例2】已知函数f(x) (x b)(ex a)(b 0),在(1, f ( 1)处的切线方程为(e 1)x ey e 1(1)求 a,b ;(2)若 m 0,证明：f (x) mx2 x.【解析】(1) a 1 , b 1 ；(2)由(1)可知 f (x) (x 1)(ex 1), f (0) 0, f 10 ,由m 0 ,可得x mx2 x ,令 g(x) x 1 ex 1 x ,则 g (x) x 2 ex 2 ,当 x2时，g (x) x 2 ex 2 2 0,当 x2 时，设 h(x) g (x) x 2 ex 2 ,则 h (x) x 3 ex 0 ,故函数

9、g(x)在2, 上单调递增，又 g (0) 0,所以当 x ,0 时，g (x) 0,当 x 0, 时，g(x) 0,所以函数g(x)在区间 ,0上单调递减，在区间 0,上单调递增，故 g(x) g(0) 0 ,即 x 1 ex 1 x mx2 x.故 f (x) mx2 x .【方法归纳】函数解析式中含有已知范围的参数，可以考虑借助于常识或已知的范围减少变量，对参数适当放缩达到证明的目标.【典例3】 已知函数f x xln x ax 1,a R.(1)当x 0时，若关于x的不等式f x0恒成立，求a的取值范围；(2)当 n N* 时，证明：- ln22 ln23 L ln2 -2n 42n

10、n 1【解析】(1)1,;(2)设数列an , bn的前n项的和分别为Sn 一,Tn则2n 4 n 1S1Sn1 n由于an cSn同理，h n所以只需证明an,2 n 1In bn所以所以1 时，有 xlnx x1,即ln xn 1 一 1,则lnn2 n 1In n nn121I 1n 11n 1 n,22 32 n 11ln 2 ln - L ln -2再证明ln2n1 一L-n n n 1,亦即lnn2n 41 ,.n . n 1n 1 n所以只需证因为ln亡 n现证明21nx x - x 1 . x人1令 h x 2ln x x xx所以函数h x在1,上单调递减,所以当x 1 时，

11、2lnn 1 n 2x1 ,一，、x -恒成立,所以对数列an , ln2,bnn分别求前n项的和,n22 32 nln 2 In L In 2n 42n【思路总结】待证数列不等式的一端是n项之和（或积）的结构，另一端含有变量n时，可以将它们分别视为两个数列的前n项的和（或积），从而将不等式的证明转化为两个数列的对应项之间的大小关系的证明.【典例4】已知函数2ln x 2 f x xe（1）求函数f x的单调区间;(2)证明：当x 0时，都有f x ln x 1 2与e e【解析】(1) f x2 1 x xln xxxe当 0 x 1 时，1 x 0, xlnx 0 ,所以 g x 0, f

12、 x当 x 1 时，1 x 0, xln x 0 ,所以 g x 0, f x 0 ,所以函数f x在0,1上单调递增，在1,上单调递减;22(2)要证明 f x ln x 1 ft,即证 1 x xln x ln x 1e e令 g x 1xxlnx,贝Jgx 1 ln x 111当0 x 2"时，g x 0,当x -2时，g x 0 , ee所以函数g x在0,-L上单调递增，在 -2,上单调递减，g x 1 口 W1 口，eee e e所以 1 x xln x 1 -12. e一1要证1 x xlnx ln x 11 x,只需再证ln x 1 x即可.e易证lnx x 1,当且

13、仅当x 1时取等号(证明略)，所以 0 1nxi x,22综上所述，当x 0时，都有f x ln x 1 r F e e【思路点睛】对于含有lnx与ex型的超越函数，具体解决时须根据两类函数的特点，挖掘结构特征, 灵活变形，脑中有"形"，注意重要不等式ln x x 1 ex x 1的合理代换.命题角度3切线法【典例5】已知函数f x ex x2.(1)求曲线f x在x 1处的切线方程;_xe 2 e x 1(2)求证：当 x 0 时，ln x 1 .x【解析】(1) f x ex x2, f x ex 2x,由题设得f 1 e 2, f 1 e 1 ,所以曲线f x在x 1

14、处的切线方程为ye 2 x 1 e1,即 y e 2 x 1 ;(2)令 g x f x ,则 g xex2,当 x ln2 时，g x 0 ,当 x ln2 时，g x 0 ,所以函数g x f x在 ,ln 2上单调递减，在In 2,上单调递增，g x mg g ln2 f ln 22 21n 2 0 ,所以函数f x ex x2在0,上单调递增，由于曲线f x在x 1处的切线方程为y e 2 x 1 , f 1 e 1,可猜测函数f x的图象恒在切线e 2 x 1的上方.先证明当x0时，fx e 2 x 1 .设 hx f x e2x1x0,则 hxex 2x e 2 ,h x ex 2

15、,当 x 1n2 时，h x 0 ,当 x 1n2 时，h x 0 ,所以h x在0,1n2上单调递减，在1n2, 上单调递增，由 h 03 e 0,h 10,0 1n 2 1 ,所以 h 1n 20 ,所以存在x00,1n 2 ,使得h x00 ,所以当 x 0, x0 U 1, 时，hx 0,当 x x0,1 时，hx 0 ,所以h x在0,x0上单调递增，在x0,1上单调递减，在 1,上单调递增.因为h 0 h 10 ,所以h x 0,即fx e 2 x 1 ,当且仅当x 1时取等号,所以当x 0时，ex x2 e 2 x 1 ,x,又由于x 1n x 1 ,当且仅当x1时取等号（证明略

16、），变形可得ex2 e x 1所以e2 e x 1 1nx 1,当且仅当x 1时取等号x【审题点津】切线放缩法值得认真探究，若第一小题是求曲线的切线方程，就要注意是否运用切线放 缩法进行放缩解决问题.命题角度4二元或多元不等式的解证思路【典例6】 若x,a,b均为任意实数，且2222 一，a 2 b 31,则xa lnxb的取小值为A. 3. 2 B. 18 C. 3 2 1D. 19 6 2【解析】由于a,b均为任意实数，且22-.、.a 2 b 31 ,所以动点P a,b到定点C 2,3的距离为定值1,亦即动点P a,b的轨迹是以C 2,3为圆心，半径r 1的圆，【变式训练】设 D x a

17、 2 ex 2 . a ae 2.71828,贝U D的最小值为A. .2 B. 3 C. 2 1 A. 3 1的轨【解析】由于J x a 2 . . ._. . .2故x a lnx b的最小值为312 119 6亚.正确答案为 D.【审题点津】多元代数表达式的最值问题要根据其整体的结构特征，结合多元各自变化的规律，转化为多个动点之间的对应关系，进而化“动”为“静”解决问题 ex 2*与 表示点P x,ex与点Q a,2da之间的距离| PQ ,而点P x,ex 迹是曲线y ex,点Q a,2Va的轨迹是曲线y2 4x y 0 , 如图所示，又点 Q a,2 Ja到直线x 0的距离为a ,

18、自然想到转化为动点 Q到抛物线准线x 1的距离， 结合抛物线的概念可得D - x a 2 ex 2、a 2 a 2PQ |qh| 1 PQ QF 1 ,所以 D |pq| QF 1 1PF 1,当且仅当 P,Q,F 共线，又以F为圆心作半径为r的圆与y ex相切，切点是P x,eX,此时的公切线与半径垂直，工 ex 1 ,x 1即x 0,所以PFmin衣，故Dmin庭 1.正确答案为C【能力提升】对于任意b 0,aR,不等式lnb a 1m恒成立，则实数m的最大值为A. e eB. 2C.A.命题角度4二元或多元不等式的解证思路【典例71（2018年安庆市二模）已知函数2x axbln x ,

19、曲线 y fx在点1,f 1处的切线方程为y 2x.(1)求实数a,b的值;(2)2x x mx mR ,Xi,X20X1X2分别是函数F x的两个零点，求证:F.取20.【解析】（1)1,b1；(2) f x因为x,X2分别是函数F x的两个零点，所以X1两式相减,.ln X1ln X21 ,X2ln x1, ，ln x2FXiX2_1_X1X2X1X2ln x1ln x2X1X2X1X2要证明F-/X1X20 ,只需证 1nxi 1n x2X1X2_1_X1X2思路一：因为0XiX2 , 只需证ln X1ln x2X1X2X1X21 =0.X1X2X1X20,11,即证 21nt t -

20、t令 h t 2ln1 t2所以函数h0,1上单调递减,10 ,即证 21n t1t 0.t由上述分析可知Fx1x20.0 ,所以函数Q x在0,x2上单调递减,Q x Q x20 ,即证 in x in x2x x2x?xx1,x2转化为t的函数，常把x1,x2的关【规律总结】这是极值点偏移问题，此类问题往往利用换元把系变形为齐次式，设t 土,t in 上,txix2,tex1'2等，构造函数来解决，可称之为构造比较函数法x2x2思路二：因为 0x1x2 ,只需证 in x1in x2x20,V xi x2设 Q x inx inx2 x x2 0 x x2 ,则 x?x1x2xx

21、x2,x21丫丫2 TVxxq x 12J x1x设hx 冬x0,贝Uhx x22qx2xxx2xx?xx 2 x2x, x2 x2x x由上述分析可知F . xix；0.【规律总结】极值点偏移问题中，由于两个变量的地位相同，将待证不等式进行变形，可以构造关于x1 （或x2）的一元函数来处理.应用导数研究其单调性，并借助于单调性，达到待证不等式的证明.此乃 主元法.思路三：要证明F g 0,只需证1n x1 inx2xl x2弋J xl x2即证 x1 x2x,由对数平均数易得.in xi in x2【规律总结】极值点偏移问题中，如果等式含有参数，则消参，有指数的则两边取对数，转化为对数【知识

22、拓展】对于a0,b 0,a b ,则 ab 2式，通过恒等变换转化为对数平均问题，利用对数平均不等式求解，此乃对数平均法b a 屈，其中 b a称之为对数平均数.简证in b in ain b in ain x（下略）如下：不妨设b ax x 1 ,只需证明 土土4即可，即2 x 1 2 in xx 1【典例8】已知函数f xx2e ,g x ax bx,a,b R .（1）当b 0时，方程f x g x 0在区间0,上有两个不同的实数根，求 a的取值范围;当a b 0时，设Xi,X2是函数F xf x g x两个不同的极值点,in 2a【解析】（1）因为f x g x0 ,所以ex ax2

23、0 ,即xa旦a 2，x所以h x在0,2上单调递减，在 2,上单调递增,要使方程f x g x0时,0在区间0,时，h x上有两个不同的实数根，则故a的取值范围是【一题多解】 本题也可以变形为axX，转化为过原点的直线yXax与函数y 上图象有两个交x-i19 -(2)由题意，f x因为x,x2是函数F xg x两个不同的极值点,F xi0,FX2xi2axiX20, e2ax2两式相减得2axix2eeXiX2要证_力2Xi X2In2a ,即证明Xi X2 e 2a ,只需证e 2Xi eXiX2Xi X2Xi X2J ,即厂eX2Xi亦即X2XiXi X2-2-XiX2 e eX2i

24、0.令 XiX220,只需证当t 0时，不等式2tet2t e2tet2t e点问题，应用数形结合思想求解，直线与曲线相切对应所求范围的界点x2xe ax ax , F x e 2ax a ，2e2t2et t i易证iet所以,0上单调递减,2tete2ti 0 .综上所述,XiX2 ln 2a 成立. 2【审题点津】函数的拐点偏移问题的证明思路可以根据类似的结构特征,适当变形为两个变量之差(或比值)的关系，整体换元，构造函数，借助于导数的应用解决问题【典例9】已知函数f x exax有两个极值点Xi, x ( e为自然对数的底数).(1)求实数a的取值范围;(2)求证:f XiX2解析：(

25、i)由于fi 2-X2aX，则 f xex x a ,令 g x ex 1 0 ,解得 x 0.所以当x , 0时，g x 0；当x 0, 时，g x 0 .所以 g x min g 0 1a.当a 1时，g x f x 0,所以函数f x单调递增，没有极值点；当a 1时，g x min 1 a 0 ,且当x 时，gx ;当* 时，gx .此时，g x f x ex x a有两个零点x, x2 ,不妨设k x2 ,则x 0 x2,1 ，所以函数f x e - x ax有两个极值点 时，头数a的取值氾围是1,; 2【答案速得】函数 f x有两个极值点实质上就是其导数f x有两个零点，亦即函数 y

26、 ex与直线y x a有两个交点，如图所示，显然实数a的取值范围是1,-21 -,0上单调递减(2)由(1)知，x, x2为g x 0的两个实数根,下面先证x1x2 0 ,只需证g x2 g x1 0 .由于 g x2ex2 x2 a 0 ,得 a ex2 x2 ,所以 g x2 ex2 x2 a ex2 ex2 2x2 .1 x设 hx e e 2xx。，则 hx e 2 0, e所以h x在0,上单调递减，所以 h x h 0 0 , h x2 g x20 ,所以 x1x2 0.由于函数f x在x1, 0上也单调递减，所以 f x1f x2要证 f x1f x2 2,只需证 f x2 f

27、x2 2 ,即证 ex2 e x2 x2 2 0 .设函数 k x ex ex x2 2, x设 x k x ex e x 2x ,则所以 x在0,上单调递增，所以k x在0,上单调递增，故当 x 0, 时，ex ex x2所以f x2 f x2 2,亦即f0, ，贝U k xex e x 2x.xex e x 2 0 ,x 00 ,即 k x0 .k x k 00 .2 0,贝U ex2 e x2 x； 2 0 ,x1f x22.【规律总结】本题是极值点偏移问题的泛化，是拐点的偏移,依然可以使用极值点偏移问题的有关方法来解决.只不过需要挖掘出拐点偏移中隐含的拐点的不等关系，如本题中的x1 x

28、2 0,如果“脑中有形',如图所示，并不难得出命题角度5函数凹凸性的应用【典例10已知函数f x x x a 2有零点x1, x2,函数gx x a 1 x 2有零点x3, x4 ,且X3XX4X2 ,则实数a的取值范围是C.2,0D. 1,解析：思路1:因为g xf x a 1 x ,如图所示,结合函数图象，则g X f X1a 1 x1a 1 x10 ,g X2 f X2 a 1 X2 a 1 X2 0 ,若a 0 ,则xi 1 ,不适合题意，则a 0 ；当a 0时，xi 1 X2 ,所以f 1 a 2 0 ,即a 2 , 所以实数a的取值范围是2, 0 .正确答案为C【评注】同理

29、， gX3 fX3a 1 X30 a 1 X3 , g X4 f X4 a 1 X40 a 1 X4 ,所以 & 1 X4 ,故g1 a20,即a 2,所以实数a的取值范围是 2, 0 .思路2：因为函数f xX2x a 2有零点x, x2 ,所以x2X 2 a的解分别为x,x2 ,因为函数g x x2a1 x 2有零点X3, 乂，所以x2x 2 ax的解分别为X3,X4 ,令h x x2 x 2 ,若a 0 ,如图，总有X1X3,不适合题意;若a 0 ,如图，总有X3 X ,欲使X4 X2 ,亦即1 "a 9 a 1 "a 2a 9所以 J4019 a Ja 2a

30、9 ,即 0 J4a9 a 2a9 , 两边平方，化简可得 740T 1 ,所以a 2.所以实数a的取值范围是2, 0 .正确答案为C思路3:因为函数f x x2 x a 2有零点X, x2 ,所以x2 x 2 a的解分别为xb X2,因为函数g x x2 a 1 x 2有零点x3, x4 ,2所以X 1 a的解分别为X3, X4, X令h x x2 x 2,u x x 2 1,两个函数的交点的坐标分别为1,0 , 1, 2 , 2,0 ,如图所示，X结合函数图象，欲使 X3 X1 X4 X2,则2 a 0,所以实数a的取值范围是2, 0 .正确答案为C思路4:(特例法)令a 2,则函数f x

31、 x2 x有零点x=0, X2 1,函数g x x2 x 2有零点x32, x4 1,此时满足x3 x1 <x4 x2 ,因此排除B;再令a 1,则函数fxx2x1有零点x=,X2-,函数gxx22有零点22X3短,X4夜，此时满足X342X1="5<X4夜X2LJ5 ,因此排除A,D;22所以实数a的取值范围是2, 0 .正确答案为C命题角度5函数凹凸性的应用【考法点拨】不等式恒成立问题中，许多试题的几何背景是曲线与切线静态或动态的上下位置关系，进而应用曲线的凸凹性可获得思路自然、过程简洁的图解【知识拓展】一般地，对于函数f (X)的定义域内某个区间 D上的不同的任意两

32、个自变量的值 x1, x2,总有f(=2) f(X1)2f(X2)(当且仅当X1=X2时，取等号)，则函数f (X)在D上是凸函数，其几何意义：函数f(x)的图象上的任意两点所连的线段都不落在图象的上方.f (X) 0,则f(x)单调递减，f(x)在D上为凸函数；X1 x2、f (x1) f (x2)八总有f(-L2A)' "2 ' 22 (当且仅当X1=X2时，取等号)，则函数f(x)在D上是凹函数，其几何意义：函数 f(x)的图象上的任意两点所连的线段都不落在图象的下方f (X) 0 ,则f(x)单调递增，f (x)在D上为凹函数.【典例11已知函数f XX 1

33、lnx,曲线y f(x)在x 1处的切线方程为(2)求证：叵2叵16ln n2 2n2 3【解析】(1)函数f x的定义域为23*-n 2,n N . n 20, f x ln x(1)求证：x 1 时，f x ax b ；又f 12 , f 10 ,所以该切线方程为 y 2 x 11设 Fx x 1 In x 2x 2 x 1,贝Uf x In x _ 1, x11x1令 g x Fx,则 gx -, x x x当x 1时，g x 0,所以gx F x在1,上单调递增，又g 1 0 ,所以g x F x 0,即Fx在1,上单调递增,所以 F x F 10,故 x1 时，fx axb；(2)由

34、(1)知：当 x 1 时，x 1 Inx 2 x 1令 x n2 2 1 n 2, nN ,贝U n2 1 ln n2 2所以In n2 2n232n2 1所以n In k2 211111111 -3243546化简可得n In k2 2k 2k23得证.【方法归纳】本题f xInx , f x J1 0,说明函数 xxx 1 In x x 1为凹函数，因此有x 1 ln x 2 x 1 .此类问题实质上，第（1）小题的研究正是为第（2）小题的解决而服务的，呈现“层层递进”的特点【典例12已知函数f x xln x ax 1,a R.（1）当x 0时，若关于x的不等式f x 0恒成立，求a的取

35、值范围;（2）当 x 1, 时，证明：e xx 1 lnx x2 x. e1【斛析】（1）由f x 0,得a ln x 一恒成立， x12xx 12x所以u x在0,1上单调递减，在1,上单调递增,所以u x的最小值为u Xmin所以a 1,即a 1,故a的取值范围是1,；（2）有（1）知 a 1 时，有 xln x x 1,所以lnx. x要证eA_! lnx,可证3口 U x 1 ,只需证ex1 x, ee x易证ex x 1 （证明略），所以 ex1 x；要证lnx x2 x ,可证In x x 1 ,易证lnx x 1 （证明略），由于 x 1,x 1 0 ,所以x 1 x x 1 x

36、2 x ,所以 lnx x2 x ,综上所述，当x 1, 时，证明：eJ lnx x2 x. e【方法归纳】若第（1）小题是探求参数的范围问题，第（2）小题的解决往往运用第（1）小题所求范围的界点对于的不等关系进行放缩，此类问题实质就是应用函数凸凹性进行切线放缩法 【典例13】 已知函数f x（1）若f x g x在1, 上恒成立，求实数a的取值范围;(2)求证： 1 -12 1 2丁 L 1 n- Ve.n 1 n 1n 12ax xa x 1【斛析】(1) f x g x等价于xlnx 0,即x ln x 0,22a x 11 a 2 ax记 h x ln x ，贝U h x 一 ，2x

37、2 2x当a 0时，h x 0 , h x在1,上单调递增，由h 1 0, h x h 1 0 ,所以xh x 0 ,即f x g x不恒成立；当0 a 2时，-1,x1,2时，h x 0, h x单调递增，f x g x不恒成立；aa当a 2时，x 1,hx 0,hx在1,上单调递减，h x h 1 0 ,所以xh x 0 ,即f x g x恒成立；-31 -故f x g x在1,上恒成立，实数a的取值范围是 2,(2)当a 2时，f x g x在1,上成立，即ln x x 1 ,1,2,L ,n所以nlnk 1,2In,2所以【方法归纳】当a2时,在函数y Inx的图象的上方，【典例14】

38、 函数f x ln(1)求a的值;y In x ,由于y所以ln x x 1.0,上单调递减,所以y lnx为凸函数，则切线x 1ax的图像与直线2x相切.(2)证明：对于任意正整数en2n !n!n 1e-设直线y2x与曲线y f x相切于点p %,丫0依题意得:y02x0y°ln x0ax。ln x01x0 1x0x0 1*)ln所以，当0时,x单调递增；当x 0时,0, g x单调递减.当x 0 时，g取得最小值0,所以g x故方程(*)的解为x0 0 ,此时a 1 .(2)要证明nn en!即证ne"n 1 nn只需证efn 1In nn 2In nn n In n由(1)知,即In1因此ln 1 一 n上式累加得：ln要证明_2n2 n!In只需证Ul n n即证n 1e-In 1令 h x In x所以当x 0时,0,时，h x取得最大值0,由Inx得:In 1In上式累加得:In综上，nnnen 12n !n!【审题点津】第(切线放缩法的拓展运用【典例15】已知函数(1)求 a,b ;(2)若方程f(x),nIn n,nIn n单调递减；当n n nL In n 21 x 0 时,0, hx单调递增.当x 00, In xIn2)小题待证不等式