基本不等式一轮复习导学案含答案

1、基本不等式一轮复习导学案 2107.12【教学目标】I .了解基本不等式的证明过程.n .会用基本不等式解决简单的最大（小:值问题.a+ b 【知识梳理】一、基本不等式：一尹< ab1 基本不等式成立的条件：.2 等号成立的条件：当且仅当 寸取等号.a + b3其中专称为正数a, b的算术平均数,70L称为正数a, b的.二、基本不等式的变形1. a2 + b2>2ab（a, b R）.当且仅当a= b时取等号.2. ab<（a, b R）,当且仅当a= b时取等号.13. a+ a>2（a>0），当且仅当a= 1时取等号；a1a + -<（a<0），

2、当且仅当a= 1时取等号.ab a4订+ a>2（a, b同号），当且仅当a= b时取等号.三、利用基本不等式求最值已知x>0, y>0,贝U1. 如果积xy（积为定值）是定值p,那么当且仅当 时，x+y有最 是2 .p.（简记：积定和最小）2 .如果和x+ y（和为定值）是定值s,那么当且仅当 时，积xy有最值2 是器（简记：和定积最大）一.基础练习11 .函数y=x+ x（x>0）的值域为（）入A. ( X, 2 U 2 ,+x) B . (0,+x ) C. 2,+x) D . (2,+)a亠b12. 下列不等式：a(2)已知0vXV5,则y= 2x 5x2的最大

3、值为.若x, y (0,+x)且2x+ 8yxy= 0,贝U x+y的最小值为.(4) 若 x>0,y>0 且 x+2y+2xy=8,则 x+2y 最小值为2(5) 设 x>0,y>0,z>0,且 x-2y+3z=0,则的最小值为xz(6) 若x,y满足4x2 y2 xy 1，贝U 2x+y最小值为1 1(7) 已知：a>b>c> 0侧 2a210ac 25c2 最小值为ab a(a b)考向二利用基本不等式证明不等式【例 2 ?已知 a>0, b>0, c>0,求证：bc+ Ca+ ab>a+ b+ c.a b c +

4、1>2a；w 2；X21,寸 abx + 1其中正确的个数是()A. 0 B. 1C. 2 D. 33. 若a>0, b>0,且a + 2b 2 = 0,则ab的最大值为().1A.2 B. 1C. 2D. 414. (2011重庆)若函数f(x) = x+(x>2)在x= a处取最小值，则a=().x 2A. 1+ 2B. 1+ 3t2 4t+ 15. 已知t>0,则函数y= t的最小值为考向一利用基本不等式求最值1 1【例1】(1)已知x>0, y>0,且2x+ y= 1,则-+ -的最小值为x y2x当x>0时，贝U f(x) = x?+

5、1的最大值为1【训练1】(1)已知x> 1,则f(x) = X+七的最小值为x 11 1 1 【训练2】已知a>0, b>0, c>0,且a+ b+ c=【训练3 (1)已知x>0, y>0, xy=x+ 2y,若xy>m 2恒成立，则实数m的 最大值是.a 1.求证:舌+ b + C>9.考向三 利用基本不等式解决恒成立问题X【例3】?(2010 山东)若对任意x>0, x2+ 3x+ 三a恒成立，则a的取值范围是课后巩固练习1. (2016四川资阳诊断)已知a>0, b>0,且2a + b= ab，贝U a + 2b的最小值

6、为()A.5 + 2 2B.8 .2C.5D.92. (2016辽宁师大附中模拟)函数y= loga(x+ 3)- 1(a>0，且a丰1)的图象恒过定点 A,若点A1 2在直线mx+ ny+ 1= 0上，其中m, n均大于0,则+二的最小值为()m nA.2B.4C.8D.163. (2015北京海淀二模)已知f(x) = 32x-(k+ 1)3x+ 2,当x R时，f(x)恒为正值，贝V k的取值范围是()A.(-a, -1)B.(-a, 2 ,2-1)C.(-1 , 2 2-1)D.(-2 ,2-1, 2 ,2-1)4. (2016山东泰安模拟)若直线l: ：+ b = 1(a &g

7、t;0, b> 0)经过点(1, 2)，则直线I在x轴和y轴上的截距之和的最小值是 .参考答案1.D. (2,+x)答案 C1i2解析 不正确，正确，x2 +二(x2+ 1)+ X2+1 1>21二1答案 B13. 解析v a>0, b>0, a + 2b = 2,二 a + 2b= 2>2.2ab，即 ab<2.答案 A4. 解析 当 x>2 时，x 2>0, f(x)= (x 2) + x-2 + 2>2 寸 x 2 X+ 21二4,当且仅当x 2二一(x>2),即x= 3时取等号，即当f(x)取得最小值时，xx 2=3,即a =

8、 3.答案 C5. 解析 v t>0,A y=-：t+ 1 = t+1 4>2 4= 2,当且仅当 t= 1 时取等号.答案 2【例 1】解析(1) v x>0, y>0,且 2x+y= 1,迸时'取等号.112x+ y 2x+ y 小 y 2x+ =+= 3+ + >3+ 2 2.当且仅当-=x y x yx yx即x= 1时取等号.2x2 2 1(2)vx>0,. f(x) = x2+n=w 2= 1 当且仅当 x=xx+x答案(1)3+ 2 .2 (2)1+ 1> 2+ 1 = 3 当且仅当x1【训练 1】.解析(1) v x> 1

9、,二 f(x)= (x 1)+;x 12 1 2=2 时取等号.(2)y = 2x 5x = x(2 5x) = 5 5x (2 5x), v 0<xv5，二 5x<2,2 5x>0,a 5x(2 5x) w 5x+ 2-5x 2=，.存£,当且仅当 5x = 2 5x,1128即 x=5时，ymax= 5.(3)由 2x+ 8y xy= 0,得 2x+ 8y=xy,： + _= 1,8 28y 2x4y x/4y x-x+ y= (x+ y) x+ y= 10+ =+ = 10 + 2丁 + 10+ 2X 2Xxy y=18,当且仅当 4y= x，即 x= 2y

10、时取等号，又 2x+ 8y xy= 0,： x= 12, y= 6,x y:当x= 12, y= 6时，x+ y取最小值18.答案(1)3(3)18a b 2c； ¥+ Ob >2【例2】证明 v a>0, b>0, c>0，二号+齐2 虫ca =bc ab = 2b;(ba+ 辿2a c 'be罕冒=2a.以上三式相加得:bc ca ab2 石 + b +72(a1 1 1-a+1+芦a+ b+ cccbcacab二3+a+a+a+b+a+了3+a- b+b_ ac+a + b+ba c b c+ b+ c)，即 号+ ?+ 散a+ b+ c.【训练

11、2】 证明 I a>0, b>0, c>0,且 a+ b+ c= 1,i> 3+ 2+ 2+ 2= 9,当且仅当a= b= c=3时，取等号.解析 若对任意x> 0, 寸X三a恒成立，只需求得的最大值即x + 3x+ 1x + 3x+ 1可，因为x> 0,所以y=x2+ 3x+ 115,当且仅当x= 1时取1 1等号，所以a的取值范围是5，+答案 5，+【训练 3】解析 由 x>0,y>0,xy= x+ 2y> 2 ,2xy,得 xy> 8,于是由 m 2< xy恒成立，得m 2<8, m< 10,故m的最大值为10

12、.答案 10例 3.解 由题意可得，造价 y= 3(2xX 150 + X400) + 5 800= 900 x + 二 + 5 xx800(0v x< 5),则 y= 900 x+16 + 5 800>900X 2/xX16 + 5 800= 13 000(元),xyl x当且仅当x=呼，即x=4时取等号.故当侧面的长度为4米时，总造价最低.入1 1 1 1【试一试】 尝试解答 a2 + += a2 ab+ ab+ += a(a b) +ab a a bab a a b占 + ab+和2 ,aabaa b + 2 ；abab= 2+ 2= 4.当且仅当 a(a-11b)=且ab=

13、匚，即a = 2b时，等号成立.答案 Da a bab课后巩固练习b1. Da>0, b>0,且 2a+ b = ab,. a =。，解得 b> 2.则汀 2b =在 + 2b= 1 + 芒 + 2(b 2) + 4>5 2 b22 " 2)= 9 当且仅当 b= 3a=3时取等号，其最小值为 9.2. C x= 2 时，y= log al 1 = 1,函数 y = loga(x+ 3) 1(a>0, a 1 的图象恒过定点(2, 1)，即 A( 2, 1), 点 A 在直线 mx+ ny+ 1 = 0 上，一 2m n + 1 = 0，即 2m+ n=

14、 1, m>0,n>0,土空=2+ n + 如 + 2* 2nm n1 , 2 2m + n ,，十=卜m n m 当且仅当m= 4, n=1时取等号故选C.23. B由 f(x)>0 得 32x (k+ 1) 3x+ 2>0，解得 k+ 1<3x + 彳, 而3x +來2 2(当且仅当3x = 3x，即x= log3 2时，等号成立), k+ 1<2 2, 即卩k<2 . 2 1.4.3+ 2 ,2直线l在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b.求直线I在x轴和y轴上的截距 1 2之和的最小值即求 a+ b的最小值.由直线l经过点(1, 2)得丄+ 2= 1.a bA QL. O O于是 a+ b= (a+ b)沁=(a + b) x+= 3+ ,a ba b因为+ ¥ 诂遵=2 2 当且仅当a= 2a时取等号.所以a+ b>32问(2) 若正数x,y满足x+y=