矩阵论的应用-线性系统稳定性的分析 - 济南大学

1、矩阵论的应用线性系统稳定性的分析刘晓璞（学院：控制学院 专业：控制工程与控制理论 学号：2009010203）摘要：稳定性是系统的一个基本结构特性。稳定性问题是系统控制理论研究的一个重要课题。对于大多数情况，稳定是控制系统能够正常运转的前提。本文主要讨论应用矩阵论的理论知识来分析内部稳定性，重点论述稳定性理论中最具重要性和普遍性的李亚普诺夫第二方法。一 稳定性的基本定义稳定（李亚普诺夫意义下的稳定）定义：对于系统，如果给定任何一实数，都相应地存在另一实数，使由满足不等式二 李亚普诺夫第二方法的主要定理 李亚普诺夫第二方法是建立在这样一个直观的物理事实上的，任何一个系统或物体之所以有运动，无非是

2、因为它具有能量的缘故。如果系统在运动过程中，其内部贮存的能量随着时间的增加而逐渐减小，一直到运动平衡状态处，系统的能量耗尽或变得最小，那么系统自然将在此平衡状态处渐近稳定。即有由于实际系统很难找到一个统一的、简便的用于完全描述上述过程的所谓能量函数，李氏认为在判断一个系统的稳定时，不一定非要找到系统的真正能量函数，可以根据不同的系统虚构一个广义的能量函数，称为李亚普诺夫函数（李氏函数）。李氏函数能满足一定的条件，也就可根据它来判断系统的稳定性了。李氏函数一般是状态分量和时间t的标量函数，用表示。若与 t 无关，可用表示。在多数情况下，常取二次型函数作为李氏函数其中P为实对称阵。定理1：设系统状

3、态方程为 如果它在原点的某邻域内，存在一个标量函数，对具有连续的一阶倒数存在，对具有连续的一阶偏导数存在，且满足如下条件：而且在某处恒为零。则系统方程（1）的平衡状态是稳定的。定理2：系统如（1）所示，如果它在原点的某邻域内，存在一个标量函数对t具有连续的一阶导数存在，对具有连续的一阶偏导数存在，且满足如下条件:定理3：系统如（1）所示，如果它在原点的某邻域内，存在一个标量函数对t具有连续的一阶导数存在，对具有连续的一阶偏导数存在，且满足如下条件:定理4：系统如（1）所示，如果它在原点的某邻域内，存在一个标量函数对t具有连续的一阶导数存在，对具有连续的一阶偏导数存在，且满足如下条件:三 李亚普

4、诺夫判据线性定常系统零平衡状态为渐近稳定的充分必要条件，是对任意给定的一个正定对称矩阵Q，如下形式的李亚普诺夫矩阵方程 (2)有唯一正定对称矩阵解P。证明：充分性：考虑系统其中，令 如果则大范围渐近稳定。充分性得证。再证必要性：已知渐近稳定，欲证解阵P正定。为此，考虑矩阵方程： （3） 易知，解阵X为 对式(3)由t=0至t=进行积分，可得 且由系统为渐近稳定知，当有,从而由导出.基此，并考虑到,再表，可将式(3)进而表为这就表明， 为李亚谱诺夫方程解阵。且由存在惟一和可知， 存在惟一。而由可知为对称。再对任意非零，有 (4)其中，可表正定,N为非奇异。基此，由式(4)可进而导出： 从而，证得

5、解阵P为惟一正定。证明完毕对李亚普诺夫判据作几点说明：（1）对（2)式中的Q只要是正定对称矩阵就行，其形式可任意给定。且最终的判断与 Q 的不同选取无关。（2）为方便起见，通常选取 Q=I（单位阵），这样可将判据改述为：线性定常系统的平衡状态 X=0 为渐近稳定的充分必要条件为存在一个正定矩阵P ，使满足矩阵方程。（3）当系统矩阵A 给定后，可用（2）式确定 P 。P 正定，平衡状态为渐近稳定。例：分析下列系统稳定性解： 令则由，得： 解上述矩阵方程，有即得 因为 可知P是正定的。因此系统在原点处是大范围渐近稳定的。 四 应用小结 本文主要采用了矩阵论中的矩阵初等计算，矩阵的转置，正定实对称矩阵，求解矩阵方程中的推论二（设，且的所有特征值具有负实部，则矩阵方程的惟一解为。如果是Hermite正定矩阵，