矩阵概念及运算

1、矩阵概念及运算 一、矩阵概念 矩阵是本课程的一个重要概念，在生产活动和日常生活中，我们常常用数表表示一些量或关系，如工厂中的产量统计表，市场上的价目表等等. 例1 某户居民第二季度每个月水（单位：吨）、电（单位：千瓦时）、天然气（单位：立方米）的使用情况，可以用一个三行三列的数表表示为4月5月6月 水 电 气 由例1以及教材中的例子可以看到，对于不同的问题可以用不同的数表来表示，我们将这些数表统称为矩阵. 定义2.1 有mn个数排列成一个m行n 列，并括以方括弧（或圆括弧）的数表称为m行n 列矩阵，简称mn矩阵.矩阵通常用大写字母A, B, C表示. 记作其中aij (= 1, 2, , m；

2、j = 1, 2, , n )称为矩阵A的第行第j 列元素.注：矩阵的行数m与列数n可能相等，也可能不等. 特别地，当m = 1时，即A = 称为行矩阵.当n = 1时，即A = 称为列矩阵.当m = n时，即A = 称为n阶矩阵，或n阶方阵.(再介绍几个特殊矩阵) 所有元素全为零的mn矩阵，称为零矩阵，记作或O.例如= 主对角线上的元素是1，其余元素全部是零的n阶矩阵，称为n阶单位矩阵，记作In或I.如E2 =， E3 = （零矩阵和单位矩阵在下面的矩阵运算中，将起着类似于数0和数1在数的加法和乘法中的作用.） 二、矩阵运算 （对从实际问题中抽象出来的矩阵，我们经常将几个矩阵联系起来，讨论它

3、们是否相等，它们在什么条件下可以进行何种运算，这些运算具有什么性质等问题，这是下面所要讨论的主要内容.） 1相等 定义2.2 如果两个矩阵，满足： (1) 行、列数相同，即 ； (2) 对应元素相等，即aij = bij (= 1, 2, , m；j = 1, 2, , n )，则称矩阵A与矩阵B相等，记作 A = B （由定义2.2可知，用等式表示两个mn矩阵相等，等价于元素之间的mn个等式.）例如，矩阵A =， B = 那么A = B，当且仅当a11 = 3，a12 = 0，a13 = -5，a21 = -2，a22 = 1，a23 = 4 而C = 因为B, C这两个矩阵的列数不同，所以

4、无论矩阵C中的元素c11, c12, c21, c22取什么数都不会与矩阵B相等. 2加法 定义2.3 设，是两个mn矩阵，则称矩阵C = 为A与B的和，记作C = A + B = （由定义2.3可知，只有行数、列数分别相同的两个矩阵，才能作加法运算.） 同样，我们可以定义矩阵的减法：D = A - B = A + (-B ) =称D为A与B的差. 例2 设矩阵A =， B =求A + B，A - B. 解 A + B = + = = A - B = - = 矩阵加法满足的运算规则是什么？ 设A, B, C, O都是mn矩阵，不难验证矩阵的加法满足以下运算规则 1. 加法交换律： A + B

5、= B + A； 2. 加法结合律： (A + B ) + C = A + (B + C ) ； 3. 零矩阵满足： A + O = A； 4. 存在矩阵-A，满足：A -A = A + (-A ) = O . 3数乘 定义2.4 设矩阵，为任意实数，则称矩阵为数与矩阵A的数乘，其中，记为C =A （由定义2.4可知，数乘一个矩阵A，需要用数去乘矩阵A的每一个元素.特别地，当 = -1时，A = -A，得到A的负矩阵.） 例3 设矩阵A =那么，用2去乘矩阵A，可以得到2A = 数乘矩阵满足的运算规则是什么？ 对数k , l和矩阵A = ，B =满足以下运算规则： 1. 数对矩阵的分配律：k

6、(A + B ) = kA + kB； 2. 矩阵对数的分配律：( k + l ) A = kA + lA； 3. 数与矩阵的结合律：( k l ) A = k (lA ) = l (kA ) ； 4. 数1与矩阵满足： 1A = A. 例4 设矩阵 A =，B =，求3A - 2B. 解 先做矩阵的数乘运算3A和2B，然后求矩阵3A与2B的差. 3A = 2B = 3A - 2B = -= 4乘法 某地区甲、乙、丙三家商场同时销售两种品牌的家用电器，如果用矩阵A表示各商场销售这两种家用电器的日平均销售量（单位：台），用B表示两种家用电器的单位售价（单位：千元）和单位利润（单位：千元）： I

7、II 单价 利润III甲乙丙 A = B = 用矩阵C = 表示这三家商场销售两种家用电器的每日总收入和总利润，那么C中的元素分别为总利润总收 入 ， 即C = =其中，矩阵C中的第行第j列的元素是矩阵A 第行元素与矩阵B 第j列对应元素的乘积之和. 定义2.5 设A=是一个ms矩阵，B=是一个sn矩阵，则称mn矩阵C =为矩阵A与B的乘积，记作 C = AB.其中cij = ai1b1 j + ai2b2 j + + ai s bs j = (= 1, 2, , m；j = 1, 2, , n ). （由定义2.5可知：） (1) 只有当左矩阵A的列数等于右矩阵B的行数时，A, B才能作乘法

8、运算AB； (2) 两个矩阵的乘积AB亦是矩阵，它的行数等于左矩阵A的行数，它的列数等于右矩阵B的列数； (3) 乘积矩阵AB中的第行第j列的元素等于A的第行元素与B的第j列对应元素的乘积之和，故简称行乘列的法则. 例5 设矩阵 A = ， B = ，计算AB. 解 AB = = = 在例5中，能否计算BA？ 由于矩阵B有2列，矩阵A有3行，B的列数A的行数，所以BA是无意义的. 例6 设矩阵 A = ，B =， 求AB和BA. 解 AB = = = BA = = = 由例5、例6可知，当乘积矩阵AB有意义时，BA不一定有意义；即使乘积矩阵AB和BA有意义时，AB和BA也不一定相等.因此，矩阵

9、乘法不满足交换律，在以后进行矩阵乘法时，一定要注意乘法的次序，不能随意改变. 在例6中矩阵A和B都是非零矩阵（AO, B O ）,但是矩阵A和B的乘积矩阵AB是一个零矩阵（AB = O），即两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.因此，当AB = O，不能得出A和B中至少有一个是零矩阵的结论. 一般地，当乘积矩阵AB = AC，且AO时，不能消去矩阵A，而得到B = C.这说明矩阵乘法也不满足消去律. 那么矩阵乘法满足哪些运算规则呢？ 矩阵乘法满足下列运算规则： 1. 乘法结合律：（AB）C = A（BC）； 2. 左乘分配律：A（B + C） = AB + AC； 右乘分配律：（B + C）A =

10、BA + CA； 3. 数乘结合律：k（AB）= （k A）B = A（k B），其中k是一个常数. 5转置 定义2.6 把将一个mn矩阵A =的行和列按顺序互换得到的nm矩阵，称为A的转置矩阵，记作，即 = 由定义2.6可知，转置矩阵的第行第j列的元素等于矩阵A的第j行第列的元素，简记为的（，j）元 = A的（j，）元 矩阵的转置满足下列运算规则： 1. = A； 2. = +； 3. = k , ( k为实数)； 4. =.运算规则13都容易验证.若要了解运算规则4的证明 4. =. 证 设矩阵A =是ms矩阵，B =是sn矩阵，那么AB是mn矩阵， 是nm矩阵；同样是ns矩阵，是sm矩阵

11、，那么是nm矩阵. 的元 = AB的元 = BTAT的元 = = = (AB )T 的元 = BTAT 的元，（=1, 2, , n；j =1, 2, , m）. 故矩阵转置满足 ( AB )T =BT AT . 例7 设矩阵 A =，B = ，验证矩阵=. 解 AB = =， = 且 = ， = = = 例8 证明：= 证 = （由例8可知，）矩阵转置的运算规则4可以推广到多个矩阵相乘的情况，即= 矩阵行列式与可逆矩阵 一、n阶矩阵行列式 定义2.9 对任一n阶矩阵 A =用式表示一个与A相联系的数，称为A的行列式，记作. （关于矩阵行列式，有一个重要结论请大家记住.）定理2.1 对于任意两

12、个方阵A，B，总有即方阵乘积的行列式等于行列式的乘积. （在上一讲中，我们介绍了矩阵的加法、减法和乘法运算，那么矩阵是否有除法运算呢？这就是这下面要介绍内容.） 二、逆矩阵定义 定义2.11 对于n阶矩阵A，如果有n阶矩阵B，满足 AB = BA = I （2-5-1）则称矩阵A可逆，称B为A的逆矩阵，记作. （由定义可知：） 满足公式（2-5-1）的矩阵A , B一定是同阶矩阵. 例3 设矩阵 A =，B = 验证A是否可逆？ 解 因为 AB =BA =即A , B满足 AB = BA = I.所以矩阵A可逆，其逆矩阵=B. 可以验证：单位矩阵I是可逆矩阵；零矩阵是不可逆的. (1) 单位矩

13、阵I是可逆矩阵. 证 因为单位矩阵I满足： II = I 所以I是可逆矩阵，且. (2)零矩阵是不可逆的. 证 设O为n阶零矩阵，因为对任意n阶矩阵B，都有 OB = BO = O 所以零矩阵不是可逆矩阵. 可逆矩阵具有以下性质： (1) 若A可逆，则是唯一的. 证 设矩阵B1 , B2都是A的逆矩阵，则B1 A = I，AB2 = I，且B1 =B1 I = B1 (AB2 )= (B1 A )B2 = I B2 = B2故是唯一的. (2) 若A可逆，则也可逆，并且 = A 若A可逆，则也可逆，并且 = A. 证 由公式（2-5-1）可知，A= A = I，故是A的逆矩阵，同时A是的逆矩阵

14、，即= A. (3) 若A可逆，数k0，则kA也可逆，且 = 若A可逆，数k0，则kA也可逆，且 = 证 因为 kA () = ()() = I () kA = ()() = I 所以，kA可逆，且 = (4) 若n阶方阵A和B都可逆，则AB也可逆，且 证 因为 A和B都可逆，即和存在，且(AB )() = A( B )= AI = A= I()(AB ) = B ( A)= B I = B= I根据定义2.11，可知AB可逆，且.性质(4)可以推广到多个n阶可逆矩阵相乘的情形，即当n阶矩阵A1 , A2 , , Am都可逆时，乘积矩阵A1A2Am也可逆，且( A1A2Am= 特别地，当m =

15、 3时，有( A1A2A3= 问题：若n阶方阵A和B都可逆，那么A+B是否可逆？ 答：尽管n阶矩阵A和B都可逆，但是A + B也不一定可逆，即使当A + B可逆 ，例如 A =， B = 都是可逆矩阵，但是 A + B = 是不可逆的.而A + A = 2A可逆，但是 = 2 (5) 若A可逆，则也可逆，且 = . 若A可逆，则也可逆，且 = . 证 因为矩阵A可逆，故存在，且 = = 根据定义2.11，可知也是可逆的，且= . 三、可逆矩阵的判定 若方阵A可逆，则存在，使.于是1= （定理2.1）得 . 把满足的方阵A称为非奇异的（或非退化的），否则就称为奇异的（或退化的）. （由此可以得到

16、定理2.2：） 定理2.2 方阵A可逆的必要条件为A是非奇异的，即. （定理2.2结论是很重要的，但要注意，它是方阵A可逆的必要条件，不是充分条件.因此，大家就会想到若，方阵A是否可逆呢？要回答这个问题，需要引进伴随矩阵的概念） 定义2.12 对于n阶方阵 A =，称n阶方阵 为A 的伴随矩阵，记作，其中为行列式中元素的代数余子式. （注意：伴随矩阵中各元素的位置秩序与常规的不一样，是由常规秩序经过转置后获得的.） （利用伴随矩阵可以证明：） 定理2.3 若方阵A是非奇异的，即，则A是可逆矩阵，并且有 （定理2.3的证明请看教材.该定理不仅给出了可逆矩阵的一种判别方法，即当方阵A 的行列式时，

17、A是可逆矩阵；若，则A不是可逆矩阵.而且还给出了求逆矩阵的一种方法伴随矩阵法，即若A可逆，那么只要求出它的伴随矩阵，再除以它对应的行列式的值，就能获得逆矩阵.） 例4 设矩阵 判别A是否可逆？ 解 因为 = 1即 ，所以A是可逆矩阵. 例5 设，问：当a, b, c, d满足什么条件时，矩阵A可逆？当A可逆时，求. 解 因为 当 时，由，（由定理2.3知道）得A可逆.又 ， （问题：2阶矩阵的伴随矩阵与原矩阵中的元素之间有什么联系？）所以， = （把定理2.2和定理2.3合在一起，得到判别矩阵A是否可逆的充分必要条件.） 定理2.4 矩阵A为可逆矩阵的充分必要条件是，且有 .求逆矩阵的方法与矩

18、阵的秩 一、矩阵的初等行变换 （由定理2.4给出的求逆矩阵的伴随矩阵法，要求计算矩阵A的行列式值和它的伴随矩阵.当A 定义2.13 矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换： (1) 将矩阵中某两行对换位置； (2) 将某一行遍乘一个非零常数k； (3) 将矩阵的某一行遍乘一个常数k加至另一行.并称(1)为对换变换，称(2)为倍乘变换，称(3)为倍加变换. 矩阵A经过初等行变换后变为B，用ABij表示，并称矩阵B与A是等价的.iji （下面我们把）第行和第j行的对换变换，简记为“ ， ”；把第行遍乘k倍的倍乘变换，简记为“ k”；第j行的k倍加至第行上的倍加变换，简记为“ + k”. ， 例

19、如，矩阵 A = k +k （关于初等矩阵内容请大家自己阅读教材） 二、运用初等行变换求逆矩阵 由定理2.7的推论“任何非奇异矩阵均能经过初等行变换化为单位阵”可知，对于任意一个n阶可逆矩阵A，经过一系列的初等行变换可以化为单位阵I，那么用一系列同样的初等行变换作用到单位阵I上，就可以把I化成.因此，我们得到用初等行变换求逆矩阵的方法：在矩阵A的右边写上一个同阶的单位矩阵I，构成一个n2n矩阵 ( A , I )，用初等行变换将左半部分的A化成单位矩阵I，与此同时，右半部分的I就被化成了.即( A , I )( I , ) 例1 设矩阵 A = 求逆矩阵 . 解 因为+(-1)+(-2)A ,

20、 I = +(-1)+(-1) + (1/2)+ 所以 = 所求逆矩阵是否正确，可以通过计算乘积矩阵A进行验证.如果A=I成立，则正确，否则不正确. 对给定的n阶矩阵A，用上述方法也可以判断A是否可逆.即在对矩阵 A , I 进行初等行变换的过程中，如果 A , I 中的左边的方阵出现零行，说明矩阵A是奇异的，即，可以判定A不可逆；如果 A , I 中的左边的方阵被化成了单位阵I，说明A是非奇异的，可以判定A是可逆的，而且这个单位矩阵I右边的方阵就是A的逆矩阵，它是由单位矩阵I经过同样的初等行变换得到的. 例2 设矩阵 A = ，问A是否可逆？ 解 因为 A , I = A , I 中的左边的

21、矩阵A经过初等行变换后出现零行，所以矩阵A是奇异的，A不可逆. （下面利用矩阵求逆运算求解矩阵方程.） 例3 解矩阵方程AX = B，其中 A =，B = 解 思路 如果矩阵A可逆，则在矩阵方程AX = B等号的两边同时左乘，可得AX = B， X = B 因此，先用初等行变换法判别A是否可逆，若可逆，则求出，然后计算B，求出X . 因为 A , I = 所以 A可逆，且 = X = B = = 三、矩阵的秩 前面给出了利用矩阵行列式判别方阵A是否可逆的方法，除了这种方法外，还可以利用矩阵A的特征之一矩阵的秩来判别方阵A的可逆性. 矩阵的秩是线性代数中非常有用的一个概念，它不仅与讨论可逆矩阵的问题有密切关系，而且在讨论线性方程组的解的情况中也有重要应用. 在给出矩阵的秩的概念之前，先要定义矩阵的子式. 定义2.15 在矩阵A中，位于任意选定的k行、k列交叉点上的个元素，按原来次序组成的k阶子阵的行列式，称为A的一个k 例4 设矩阵 A=取其第一、二行与第二、四列交叉点上的4个元素按原次序组成行列式 称为A的一个二阶子式，而且是它的非零子式. 定义2.16 矩阵A的非零子式的最高阶数称为矩阵A的秩，记作或秩(A ) . 规