点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用答案

1、平面几何培训专题-点共线，线共点问题1. 点共线的证明点共线的通常证明方法是：通过邻补角关系证明三点共线；证明两点的连线必过第三点；证明三点组成的三角形面积为零等。n (n 4 点共线可转化为三点共线。例1 如图，设线段AB 的中点为C ，以AC 和CB 为对角线作平行四边 形AECD ，BFCG 。又作平行四边形CFHD ，CGKE 。求证：H ，C ，K 三点 共线。例2 如图所示，菱形ABCD 中，A =120 为ABC 外接圆，M为其上一点，连接MC 交AB 于E ，AM 交CB 延长线于F 。求证：GA BD ，E ，F 三点共线。 FD例3 四边形ABCD 内接于圆，其边AB 与D

2、C 的延长线交于点P ，AD与BC 的延长线交于点Q 。由Q 作该圆的两条切线QE 和QF ，切点分别为E ，F 。求证：P ，E ，F 三点共线。(E ' Q 例4 以圆O 外一点P ，引圆的两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点。割线PCD 交圆O 于C ，D 。又由B 作CD 的平行线交圆O 于E 。若F为CD 中点，求证：A ，F ，E 三点共线。2. 线共点的证明证明线共点可用有关定理(如三角形的3条高线交于一点 ，或证明第3条直线通过另外两条直线的交点，也可转化成点共线的问题给予证明。例5 以ABC 的两边AB ，AC 向外作正方形ABDE ，ACFG 。ABC 的高为A

3、H 。求证：AH ，BF ，CD 交于一点。MDK G F例6 设P 为ABC 内一点，APB ACB =APC ABC 。又设D ，E 分别是APB 及APC 的内心。证明：AP ，BD ，CE 交于一点。 C例7 O 1 与O 2外切于P 点，QR 为两圆的公切线，其中Q ，R 分别 1 ，O 2上的切点，过Q 且垂直于QO 2的直线与过R 且垂直于RO 1的直线交于点I ，IN 垂直于O 1O 2，垂足为N ，IN 与QR 交于点M 。证明：PM ，RO 1，QO 2三条直线交于一点。3. 塞瓦定理、梅涅劳斯定理及其应用 定理1 (塞瓦(Ceva定理:设P ，Q ，R 分别是ABC 的B

4、C ，CA ，AB 边上的点。若AP ，BQ ， O 12CR 相交于一点M ，则BP CQ AR=1。 PC QA RBC证 如图，由三角形面积的性质，有AR S AMC BP S AMB CQ S BMC, , . =RB S BMC PC S AMC QA S AMB以上三式相乘，得BP CQ AR=1. PC QA RB定理2 (定理1的逆定理:设P ，Q ，R 分别是ABC 的BC ，CA ，AB 上的点。若则AP ，BQ ，CR 交于一点。证 如图，设AP 与BQ 交于M ，连CM ，交AB 于R 。由定理1有BP CQ AR ' BP CQ AR=1. 而=1，所以 PC

5、 QA R ' B PC QA RBAR ' AR=. R ' B RBBP CQ AR=1，PC QA RB于是R 与R 重合，故AP ，BQ ，CR 交于一点。定理3 (梅涅劳斯(Menelaus定理:一条不经过ABC 任一顶点的直线和三角形三边BC ，CA ，AB (或它们的延长线 分别交于P ，Q ，R ，则BP CQ AR=1 PC QA RB证 如图，由三角形面积的性质，有AR S ARP BP S BRP CQ S CRP, , . =RB S BRP PC S CPR QA S ARPB将以上三式相乘，得BP CQ AR=1. PC QA RB定理4 (

6、定理3的逆定理:设P ，Q ，R 分别是ABC 的三边BC ，CA ，AB 或它们延长线上的3点。若BP CQ AR=1， PC QA RB则P ，Q ，R 三点共线。定理4与定理2的证明方法类似。例8 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分BAD 。在CD 上取一 点E ，BE 与AC 相交于F ，延长DF 交BC 于G 。求证：GAC =EAC 。 证 如图，连接BD 交AC 于H ，过点C 作AB 的平行线交AG 的延长线于I ，过点C 作AD 的平行线交AE 的延长线于J 。对BCD 用塞瓦定理，可得CG BH DE=1 GB HD ECABJIE因为AH 是BAD 的角平分线，

7、BH AB=由角平分线定理知。代入式得 HD ADCG AB DE=1 GB AD ECCG CI DE AD=因为CI AB ，CJ AD ，则，。 GB AB EC CJCI AB AD =1. 从而CI =CJ 。又由于 代入式得AB AD CJACI =180°BAC =180°DAC =ACJ ， 所以ACI ACJ ，故IAC =JAC ，即GAC =EAC . 例9 ABCD 是一个平行四边形，E 是AB 上的一点，F 为CD 上的一点。AF 交ED 于G ，EC 交FB 于H 。连接线段GH 并延长交AD 于L ，交BC 于M 。求证：DL =BM .第 6

8、 页 共 12 页.J LBM F C I例10 在直线l 的一侧画一个半圆T ，C ，D 是T 上的两点，T 上过C和D 的切线分别交l 于B 和A ，半圆的圆心在线段BA 上，E 是线段AC 和BD 的交点，F 是l 上的点，EF 垂直l 。求证：EF 平分CFD 。F(Hl例11 如图，四边形ABCD 内接于圆，AB ，DC 延长线交于E ，AD 、BC延长线交于F ，P 为圆上任意一点，PE ，PF 分别交圆于R ，S . 若对角线AC 与BD 相交于T . 求证：R ，T ，S 三点共线。 先证两个引理。第 7 页 共 12 页F引理1:A 1B 1C 1D 1E 1F 1为圆内接六

9、边形，若A 1D 1，B 1E 1，C 1F 1交于一点，则有A 1B 1C 1D 1E 1F 1=1. B 1C 1D 1E 1F 1A 1如图，设A 1D 1，B 1E 1，C 1F 1交于点O ，根据圆内接多边形的性质易知A 1B 1C 1 OA 1B 1OE 1D 1，OB 1C 1OF 1E 1， OC 1D 1OA 1F 1，从而有A 1B 1B 1O E F F O C D D O， 11=1， 11=1. =D 1E 1D 1O B 1C 1B 1O F 1A 1F 1O11D 1将上面三式相乘即得引理2：A 1B 1C 1D 1E 1F 1=1， B 1C 1D 1E 1F

10、1A 1圆内接六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1，若满足A 1B 1C 1D 1E 1F 1=1 B 1C 1D 1E 1F 1A 1则其三条对角线A 1D 1，B 1E 1，C 1F 1交于一点。 该引理与定理2的证明方法类似，留给读者。 例11之证明如图，连接PD ，AS ，RC ，BR ，AP ，SD . 由EBR EPA ，FDS FPA ，知BR EB PA FP=, . PA EP DS FD两式相乘，得BR EB FP=. DS EP FD第 8 页 共 12 页又由ECR EPD ，FPD FAS ，知式相乘，得CR EC PD FP=，. 两PD EP AS FACR

11、 EC FP= AS EP FA BR AS EB FA=由，得. 故 DS CR EC FDBR CD SA EB AF DC=. RC DS AB BA FD CE对EAD 应用梅涅劳斯定理，有EB BA AF FD DC CE=1 由，得BR RC CD DS SAAB=1. 由引理2知BD ，RS ，AC 交于一点，所以R ，第 9 页 共 12 页 ，S 三点共线。 T练 习A 组1. 由矩形ABCD 的外接圆上任意一点M 向它的两对边引垂线MQ 和MP ，向另两边延长线引垂线MR ，MT 。证明：PR 与QT 垂直，且它们的交点在矩形的一条对角线上。2. 在ABC 的BC 边上任取

12、一点P ，作PD AC ，PE AB ，PD ，PE 和以AB ，AC 为直径而在三角形外侧所作的半圆的交点分别为D ，E 。求证：D ，A ，E 三点共线。3. 一个圆和等腰三角形ABC 的两腰相切，切点是D ，E ，又和ABC 的外接圆相切于F 。求证：ABC 的内心G 和D ，E 在一条直线上。4. 设四边形ABCD 为等腰梯形，把ABC 绕点C 旋转某一角度变成A B C 。证明：线段A D , BC 和B C 的中点在一条直线上。5. 四边形ABCD 内接于圆O ，对角线AC 与BD 相交于P 。设三角形ABP ，BCP ，CDP 和DAP 的外接圆圆心分别是O 1，O 2，O 3，

13、O 4。求证：OP ，O 1O 3，O 2O 4三直线交于一点。第 10 页 共 12 页6. 求证：过圆内接四边形各边的中点向对边所作的 4 条垂线交于一 点。 7. ABC 为锐角三角形，AH 为 BC 边上的高，以 AH 为直径的圆分别 交 AB，AC 于 M，N；M，N 与 A 不同。过 A 作直线 lA 垂直于 MN。类 似地作出直线 lB 与 lC。证明：直线 lA，lB，lC 共点。 8. 以ABC 的边 BC，CA，AB 向外作正方形，A1，B1，C1 是正方形的边 BC，CA，AB 的对边的中点。求证：直线 AA1，BB1，CC1 相交于一点。 9. 过ABC 的三边中点 D，E，F 向内切圆引切线，设所引的切线分 别与 EF，FD，DE 交于 I，L，M。求证：I，L，M 在一条直线上。 B组 10. 设 A1，B1，C1 是直线 l1 上的任意三点，A2，B2，C2 是另一条直线 l2 上的任意三点，A1B2 和 B1A2 交于 L，A1C2 和 A2C1 交