等腰三角形解答题专题试题精选附答案

1、等腰三角形解答题专题试题精选附答案一解答题（共30小题）1（2015深圳一模）已知：如图，在ABC中，ADBC，垂足为点D，BEAC，垂足为点E，M为AB边的中点，连接ME、MD、ED（1）求证：MED为等腰三角形；（2）求证：EMD=2DAC2（2014温州）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DEAB，过点E作EFDE，交BC的延长线于点F（1）求F的度数； （2）若CD=2，求DF的长3（2012遵义）如图，ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与

2、B重合），过P作PEAB于E，连接PQ交AB于D（1）当BQD=30°时，求AP的长；（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由4（2014郑州二模）如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）何时PBQ是直角三角形？（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则CMQ变化吗？若变化，则说

3、明理由，若不变，则求出它的度数5（2015北京）如图，在ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BEAC于点E求证：CBE=BAD6（2013青羊区一模）如图，ABC中AB=AC，BC=6，点P从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D（1）如图，当点P为AB的中点时，求CD的长；（2）如图，过点P作直线BC的垂线垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由7（2010临沂）如图1，已知矩形ABED，点C是边DE的中点，且AB=2AD（1）判断ABC的形状，并

4、说明理由；（2）保持图1中ABC固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中（当垂线段AD、BE在直线MN的同侧），试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明；（3）保持图2中ABC固定不变，继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3中的位置（当垂线段AD、BE在直线MN的异侧）试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明8（2015宿迁）如图，已知AB=AC=AD，且ADBC，求证：C=2D9（2013渝中区校级模拟）如图（1），RtAOB中，AOB的平分线OC交AB于C，过O点做与OB垂直的直线ON动点P从点B出发沿折线BCCO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，

5、运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线COON以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动（1）求OC、BC的长；（2）设CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）当P在OC上Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值10（2013镇赉县校级一模）数学课上，李老师出示了如下的题目：“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的

6、大小关系，请你直接写出结论：AEDB（填“”，“”或“=”） （2）特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AEDB（填“”，“”或“=”）理由如下：如图2，过点E作EFBC，交AC于点F（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC若ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）11（2008宁德）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE（1）求证：CE=CF；（2）在图1中，若G在AD上，且GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？（3）

7、运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD中，ADBC（BCAD），B=90°，AB=BC=12，E是AB上一点，且DCE=45°，BE=4，求DE的长12（2015株洲模拟）在ABC中，AD平分BAC，BDAD，垂足为D，过D作DEAC，交AB于E，若AB=5，求线段DE的长13（2011房山区一模）已知：等边三角形ABC（1）如图1，P为等边ABC外一点，且BPC=120°试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）如图2，P为等边ABC内一点，且APD=120°求证：PA+PD+PCBD14（

8、2014菏泽）（1）在ABC中，AD平分BAC，BDAD，垂足为D，过D作DEAC，交AB于E，若AB=5，求线段DE的长（2）已知x24x+1=0，求的值15（2015春张家港市期末）如图，ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形AMN？（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间16（2014秋清远期末）

9、已知如图1：ABC中，AB=AC，B、C的平分线相交于点O，过点O作EFBC交AB、AC于E、F图中有几个等腰三角形？请说明EF与BE、CF间有怎样的关系若ABAC，其他条件不变，如图2，图中还有等腰三角形吗？如果有，请分别指出它们另第问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？若ABC中，B的平分线与三角形外角ACD的平分线CO交于O，过O点作OEBC交AB于E，交AC于F如图3，这时图中还有哪几个等腰三角形？EF与BE、CF间的关系如何？为什么？17（2013杭州）（1）先求解下列两题：如图，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE，已知EDM=84°，求A

10、的度数；如图，在直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，ACx轴，点B，C的横坐标都是3，且BC=2，点D在AC上，且横坐标为1，若反比例函数的图象经过点B，D，求k的值（2）解题后，你发现以上两小题有什么共同点？请简单地写出18（2012珠海）如图，在ABC中，AB=AC，AD是高，AM是ABC外角CAE的平分线（1）用尺规作图方法，作ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设DN与AM交于点F，判断ADF的形状（只写结果）19（2006苏州）如图，直角坐标系中，已知点A（2，4），B（5，0），动点P从B点出发沿BO向终点O运动，动点Q从A点出发沿AB向终点B运动两点同时出发，

11、速度均为每秒1个单位，设从出发起运动了xs（1）Q点的坐标为（用含x的代数式表示）；（2）当x为何值时，APQ是一个以AP为腰的等腰三角形？（3）记PQ的中点为G请你探求点G随点P，Q运动所形成的图形，并说明理由20（2010雅安）如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边ACD和等边BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN（1）求证：AE=BD；（2）求证：MNAB21（2006郴州）如图，在ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高（1）DE，DF，CG的长之间存在

12、着怎样的等量关系？并加以证明；（2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由22（2009河北）在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点四边形BCGF和CDHN都是正方形AE的中点是M（1）如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FM=MH，FMMH；（2）将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：FMH是等腰直角三角形；（3）将图2中的CE缩短到图3的情况，FMH还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）23（2009京山县三模）如图，已知ABC中，AB=AC，点P是BC上的一点，PNAC于

13、点N，PMAB于点M，CGAB于点G，则CG=PM+PN（1）如图，若点P在BC的延长线上，则PM、PN、CG三者是否还有上述关系，若有，请说明理由，若没有，猜想三者之间又有怎样的关系，并证明你的猜想；（2）如图，AC是正方形ABCD的对角线，AE=AB，点P是BE上任一点，PNAB于点N，PMAC于点M，猜想PM、PN、AC有什么关系；（直接写出结论）（3）观察图、的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有PM、PN、CG这样的线段，并满足图或图的结论，写出相关题设的条件和结论24（2013汕尾模拟）如图，ABC中，AB=AC，D、E分别是BC、AC上的点，BAD与CDE满足什么条件

14、时AD=AE？写出你的推理过程25（2012饶平县校级模拟）已知：在AOB和COD中，OA=OB，OC=OD（1）如图，若AOB=COD=60°，求证：AC=BD APB=60°（2）如图，若AOB=COD=，则AC与BD间的等量关系式为，APB的大小为（直接写出结果，不证明）26（2013秋济宁期末）（1）如图1，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE，已知EDM=84°，求A的度数；（2）如图2，点B、F、D在射线AM上，点G、C、E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE=EF=FG=GA，求A的度数27（2007佛山）在RtAB

15、C中，BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC所在的直线上运动，作ADE=45°（A，D，E按逆时针方向）（1）如图1，若点D在线段BC上运动，DE交AC于E求证：ABDDCE；当ADE是等腰三角形时，求AE的长（2）如图2，若点D在BC的延长线上运动，DE的反向延长线与AC的延长线相交于点E，是否存在点D，使ADE是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由；如图3，若点D在BC的反向延长线上运动，是否存在点D，使ADE是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由28（2014鞍山二模）我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的四

16、边形叫做等邻角四边形请解答下列问题：（1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称；（2）如图1，在ABC中，AB=AC，点D在BC上，且CD=CA，点E、F分别为BC、AD的中点，连接EF并延长交AB于点G求证：四边形AGEC是等邻角四边形；（3）如图2，若点D在ABC的内部，（2）中的其他条件不变，EF与CD交于点H，图中是否存在等邻角四边形，若存在，指出是哪个四边形，不必证明；若不存在，请说明理由29（2013秋孝感校级期末）图1、图2中，点C为线段AB上一点，ACM与CBN都是等边三角形（1）如图1，线段AN与线段BM是否相等？证明你的结论；（2）如图2，AN与MC交于

17、点E，BM与CN交于点F，探究CEF的形状，并证明你的结论30（2010丹东）如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，DMN为等边三角形（点M的位置改变时，DMN也随之整体移动）（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是

18、否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由等腰三角形解答题专题试题精选附答案参考答案与试题解析一解答题（共30小题）1（2015深圳一模）已知：如图，在ABC中，ADBC，垂足为点D，BEAC，垂足为点E，M为AB边的中点，连接ME、MD、ED（1）求证：MED为等腰三角形；（2）求证：EMD=2DAC【考点】等腰三角形的判定；三角形中位线定理菁优网版权所有【专题】证明题【分析】（1）由于ADBC，BEAC，所以ADB和ABE是直角三角形，又因为M为AB边的中点，所以ME=MD=AB，所以MED为等腰三角形；（2）利用三角形的外角等于和它不相邻两个内角的和这样推论，可知BME=2M

19、AE，BMD=2MAD，作差即可证得结论【解答】证明：（1）M为AB边的中点，ADBC，BEAC，ME=AB，MD=AB，ME=MD，MED为等腰三角形；（2）ME=AB=MA，MAE=MEA，BME=2MAE，同理，MD=AB=MA，MAD=MDA，BMD=2MAD，EMD=BMEBMD=2MAE2MAD=2DAC【点评】本题反复运用了“等边对等角”这一判定定理，将已知的等边转化为有关角的关系，并联系三角形的内角和及三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质来证得结论2（2014温州）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DEAB，过点E作EFDE，交BC的延长线

20、于点F（1）求F的度数； （2）若CD=2，求DF的长【考点】等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形菁优网版权所有【专题】几何图形问题【分析】（1）根据平行线的性质可得EDC=B=60°，根据三角形内角和定理即可求解；（2）易证EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解【解答】解：（1）ABC是等边三角形，B=60°，DEAB，EDC=B=60°，EFDE，DEF=90°，F=90°EDC=30°；（2）ACB=60°，EDC=60°，EDC是等边三角形ED=DC=2，DEF=90°，F=

21、30°，DF=2DE=4【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半3（2012遵义）如图，ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PEAB于E，连接PQ交AB于D（1）当BQD=30°时，求AP的长；（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由【考点】等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形菁优网版权所有【专题】压

22、轴题；动点型【分析】（1）由ABC是边长为6的等边三角形，可知ACB=60°，再由BQD=30°可知QPC=90°，设AP=x，则PC=6x，QB=x，在RtQCP中，BQD=30°，PC=QC，即6x=（6+x），求出x的值即可；（2）作QFAB，交直线AB于点F，连接QE，PF，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP=BQ，再根据全等三角形的判定定理得出APEBQF，再由AE=BF，PE=QF且PEQF，可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=AB，由等边ABC的边长为6可得出DE=3，故当点P、Q运动时，线段

23、DE的长度不会改变【解答】解：（1）ABC是边长为6的等边三角形，ACB=60°，BQD=30°，QPC=90°，设AP=x，则PC=6x，QB=x，QC=QB+BC=6+x，在RtQCP中，BQD=30°，PC=QC，即6x=（6+x），解得x=2，AP=2；（2）当点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变理由如下：作QFAB，交直线AB于点F，连接QE，PF，又PEAB于E，DFQ=AEP=90°，点P、Q速度相同，AP=BQ，ABC是等边三角形，A=ABC=FBQ=60°，在APE和BQF中，AEP=BFQ=90&#

24、176;，APE=BQF，APEBQF（AAS），AE=BF，PE=QF且PEQF，四边形PEQF是平行四边形，DE=EF，EB+AE=BE+BF=AB，DE=AB，又等边ABC的边长为6，DE=3，点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变【点评】本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线构造出全等三角形是解答此题的关键4（2014郑州二模）如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，CMQ

25、变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）何时PBQ是直角三角形？（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数【考点】等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质菁优网版权所有【专题】动点型【分析】（1）因为点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，所以AP=BQAB=AC，B=CAP=60°，因而运用边角边定理可知ABQCAP再用全等三角形的性质定理及三角形的角间关系、三角形的外角定理，可求得CQM的度数（2）设时间为t，则AP

26、=BQ=t，PB=4t分别就当PQB=90°时；当BPQ=90°时利用直角三角形的性质定理求得t的值（3）首先利用边角边定理证得PBCQCA，再利用全等三角形的性质定理得到BPC=MQC再运用三角形角间的关系求得CMQ的度数【解答】解：（1）CMQ=60°不变等边三角形中，AB=AC，B=CAP=60°又由条件得AP=BQ，ABQCAP（SAS），BAQ=ACP，CMQ=ACP+CAM=BAQ+CAM=BAC=60°（2）设时间为t，则AP=BQ=t，PB=4t当PQB=90°时，B=60°，PB=2BQ，得4t=2t，t=

27、；当BPQ=90°时，B=60°，BQ=2BP，得t=2（4t），t=；当第秒或第秒时，PBQ为直角三角形（3）CMQ=120°不变在等边三角形中，BC=AC，B=CAP=60°PBC=ACQ=120°，又由条件得BP=CQ，PBCQCA（SAS）BPC=MQC又PCB=MCQ，CMQ=PBC=180°60°=120°【点评】此题是一个综合性很强的题目本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质难度很大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神5（2015北京）如图，在ABC中，AB=AC，AD是

28、BC边上的中线，BEAC于点E求证：CBE=BAD【考点】等腰三角形的性质菁优网版权所有【专题】证明题【分析】根据三角形三线合一的性质可得CAD=BAD，根据同角的余角相等可得：CBE=CAD，再根据等量关系得到CBE=BAD【解答】证明：AB=AC，AD是BC边上的中线，BEAC，CBE+C=CAD+C=90°，CAD=BAD，CBE=BAD【点评】考查了余角的性质，等腰三角形的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合6（2013青羊区一模）如图，ABC中AB=AC，BC=6，点P从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、

29、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D（1）如图，当点P为AB的中点时，求CD的长；（2）如图，过点P作直线BC的垂线垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由【考点】等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】几何综合题；压轴题；分类讨论【分析】（1）过点P做PF平行与AQ，由平行我们得出一对同位角和一对内错角的相等，再由AB=AC，根据等边对等角得角B和角ACB的相等，根据等量代换的角B和角PFB的相等，根据等角对等边得BP=PF，又因点P和点Q同时出发，且速度相同即BP=CQ，等量代换得PF=CQ，在加上对等角的

30、相等，证得三角形PFD和三角形QCD的全等，根据全等三角形的对应边边相等得出DF=CD=CF，而又因P是AB的中点，PFAQ得出F是BC的中点，进而根据已知的BC的长，求出CF，即可得出CD的长（2）分两种情况讨论，第一种情况点P在线段AB上，根据等腰三角形的三线合一得BE=EF，再又第一问的全等可知DF=CD，所以ED=，得出线段DE的长为定值；第二种情况，P在BA的延长线上，作PM平行于AC交BC的延长线于M，根据两直线平行，同位角相等推出角PMB等于角ACB，而角ACB等于角ABC，根据等量代换得到角ABC等于角PMB，根据等角对等边得到PM等于PB，根据三线合一，得到BE等于EM，同理

31、可得PMD全等于QCD，得到CD等于DM，根据DE等于EM减DM，把EM换为BC加CM的一半，化简后得到值为定值【解答】解：（1）如图，过P点作PFAC交BC于F，点P和点Q同时出发，且速度相同，BP=CQ，PFAQ，PFB=ACB，DPF=CQD，又AB=AC，B=ACB，B=PFB，BP=PF，PF=CQ，又PDF=QDC，证得PFDQCD，DF=CD=CF，又因P是AB的中点，PFAQ，F是BC的中点，即FC=BC=3，CD=CF=；（2）分两种情况讨论，得ED为定值，是不变的线段如图，如果点P在线段AB上，过点P作PFAC交BC于F，PBF为等腰三角形，PB=PF，BE=EF，PF=C

32、Q，FD=DC，ED=，ED为定值，同理，如图，若P在BA的延长线上，作PMAC的延长线于M，PMC=ACB，又AB=AC，B=ACB，B=PMC，PM=PB，根据三线合一得BE=EM，同理可得PMDQCD，所以CD=DM，综上所述，线段ED的长度保持不变【点评】此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判断与性质，考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题7（2010临沂）如图1，已知矩形ABED，点C是边DE的中点，且AB=2AD（1）判断ABC的形状，并说明理由；（2）保持图1中ABC固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中（当垂线段AD、BE在直线MN的同侧），试探究线段AD、BE、D

33、E长度之间有什么关系？并给予证明；（3）保持图2中ABC固定不变，继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3中的位置（当垂线段AD、BE在直线MN的异侧）试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明【考点】等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质；矩形的性质菁优网版权所有【专题】证明题；几何综合题；压轴题；探究型【分析】（1）根据矩形的性质及勾股定理，即可判断ABC的形状；（2）（3）通过证明ACDCBE，根据全等三角形的性质得出即可得线段AD、BE、DE长度之间的关系【解答】解：（1）ABC是等腰直角三角形理由如下：在ADC与BEC中，AD=BE，D=E=90°，DC=EC

34、，ADCBEC（SAS），AC=BC，DCA=ECBAB=2AD=DE，DC=CE，AD=DC，DCA=45°，ECB=45°，ACB=180°DCAECB=90°ABC是等腰直角三角形（2）DE=AD+BE理由如下：在ACD与CBE中，ACD=CBE=90°BCE，ADC=BEC=90°，AC=BC，ACDCBE（AAS），AD=CE，DC=EBDC+CE=BE+AD，即DE=AD+BE（3）DE=BEAD理由如下：在ACD与CBE中，ACD=CBE=90°BCE，ADC=BEC=90°，AC=BC，ACDCBE

35、（AAS），AD=CE，DC=EBDCCE=BEAD，即DE=BEAD【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，综合性强，难度较大8（2015宿迁）如图，已知AB=AC=AD，且ADBC，求证：C=2D【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质菁优网版权所有【专题】证明题【分析】首先根据AB=AC=AD，可得C=ABC，D=ABD，ABC=CBD+D；然后根据ADBC，可得CBD=D，据此判断出ABC=2D，再根据C=ABC，即可判断出C=2D【解答】证明：AB=AC=AD，C=ABC，D=ABD，ABC=CBD+D，ADBC，CBD=D，ABC=D+D=2D，又C=A

36、BC，C=2D【点评】（1）此题主要考查了等腰三角形的性质和应用，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：等腰三角形的两腰相等等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（2）此题还考查了平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等简单说成：两直线平行，同位角相等定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补简单说成：两直线平行，同旁内角互补定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等简单说成：两直线平行，内错角相等9（2013渝中区校级模拟）如图（1），RtAOB中，AOB

37、的平分线OC交AB于C，过O点做与OB垂直的直线ON动点P从点B出发沿折线BCCO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线COON以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动（1）求OC、BC的长；（2）设CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）当P在OC上Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值【考点】含30度角的直角三角形；函数自变量的取值范围；三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】（1）求出B，根据直角三角形性质求出OA，

38、求出AB，在AOC中，根据勾股定理得出关于OC的方程，求出OC即可；（2）有四种情况：当P在BC上，Q在OC上时，t2，过P作PHOC于H，求出PH，根据三角形的面积公式求出即可；当t=2时，P在C点，Q在O点，此时，CPQ不存在；当P在OC上，Q在ON上时，过P作PGON于G，过C作CZON于Z，求出CZ和PG的值，求出OCQ和OPQ的面积，相减即可t=4时，求出即可；（3）有三种情况：OM=PM时，求出OP=2OQ，代入求出即可；PM=OP时，此时不存在等腰三角形；OM=OP时，过P作PGON于G，求出OG和QG的值，代入OG+QG=t2，即可求出答案【解答】（1）解：A=90°

39、，AOB=60°，OB=2，B=30°，OA=OB=，由勾股定理得：AB=3，OC平分AOB，AOC=BOC=30°=B，OC=BC，在AOC中，AO2+AC2=CO2，+（3OC）2=OC2，OC=2=BC，答：OC=2，BC=2（2）解：当P在BC上，Q在OC上时，0t2，则CP=2t，CQ=t，过P作PHOC于H，HCP=60°，HPC=30°，CH=CP=（2t），HP=（2t），SCPQ=CQ×PH=×t×（2t），即S=t2+t；当t=2时，P在C点，Q在O点，此时，CPQ不存在，S=0，当P在OC上，

40、Q在ON上时2t4，过P作PGON于G，过C作CZON于Z，CO=2，NOC=60°，CZ=，CP=t2，OQ=t2，NOC=60°，GPO=30°，OG=OP=（4t），PG=（4t），SCPQ=SCOQSOPQ=×（t2）××（t2）×（4t），即S=t2t+当t=4时，P在O点，Q在ON上，如图（3）过C作CMOB于M，CKON于K，B=30°，由（1）知BC=2，CM=BC=1，有勾股定理得：BM=，OB=2，OM=2=CK，S=PQ×CK=×2×=；综合上述：S与t的函数关系

41、式是：S=；（3）解：如图（2），ONOB，NOB=90°，B=30°，A=90°，AOB=60°，OC平分AOB，AOC=BOC=30°，NOC=90°30°=60°，OM=PM时，MOP=MPO=30°，PQO=180°QOPMPO=90°，OP=2OQ，2（t2）=4t，解得：t=，PM=OP时，此时PMO=MOP=30°，MPO=120°，QOP=60°，此时不存在；OM=OP时，过P作PGON于G，OP=4t，QOP=60°，OPG=3

42、0°，GO=（4t），PG=（4t），AOC=30°，OM=OP，OPM=OMP=75°，PQO=180°QOPQPO=45°，PG=QG=（4t），OG+QG=OQ，（4t）+（4t）=t2，解得：t=综合上述：当t为或时，OPM是等腰三角形【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，函数自变量的取值范围，解一元一次方程，勾股定理，含30度角的直角三角形性质等知识点的运用，本题综合性比较强，难度偏大，主要考查了学生综合运用性质进行推理和计算的能力，并且运用了方程思想和分类讨论思想10（2013镇赉县校级一模）数学课上，李老师出示了如下的

43、题目：“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE=DB（填“”，“”或“=”） （2）特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE=DB（填“”，“”或“=”）理由如下：如图2，过点E作EFBC，交AC于点F（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC若ABC的边长为1，AE=2，求C

44、D的长（请你直接写出结果）【考点】等边三角形的判定与性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】（1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出D=ECB=30°，求出DEB=30°，求出BD=BE即可；（2）过E作EFBC交AC于F，求出等边三角形AEF，证DEB和ECF全等，求出BD=EF即可；（3）当D在CB的延长线上，E在AB的延长线式时，由（2）求出CD=3，当E在BA的延长线上，D在BC的延长线上时，求出CD=1【解答】解：（1）故答案为：=（2）过E作EFBC交AC于F，等边三角形ABC，ABC=A

45、CB=A=60°，AB=AC=BC，AEF=ABC=60°，AFE=ACB=60°，即AEF=AFE=A=60°，AEF是等边三角形，AE=EF=AF，ABC=ACB=AFE=60°，DBE=EFC=120°，D+BED=FCE+ECD=60°，DE=EC，D=ECD，BED=ECF，在DEB和ECF中，DEBECF，BD=EF=AE，即AE=BD，故答案为：=（3）解：CD=1或3，理由是：分为两种情况：如图1过A作AMBC于M，过E作ENBC于N，则AMEN，ABC是等边三角形，AB=BC=AC=1，AMBC，BM=CM

46、=BC=，DE=CE，ENBC，CD=2CN，AMEN，AMBENB，=，=，BN=，CN=1+=，CD=2CN=3；如图2，作AMBC于M，过E作ENBC于N，则AMEN，ABC是等边三角形，AB=BC=AC=1，AMBC，BM=CM=BC=，DE=CE，ENBC，CD=2CN，AMEN，=，=，MN=1，CN=1=，CD=2CN=1，即CD=3或1【点评】本题综合考查了等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点的应用，解（2）小题的关键是构造全等的三角形后求出BD=EF，解（3）小题的关键是确定出有几种情况，求出每种情况的CD值，注意，不要漏

47、解啊11（2008宁德）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE（1）求证：CE=CF；（2）在图1中，若G在AD上，且GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD中，ADBC（BCAD），B=90°，AB=BC=12，E是AB上一点，且DCE=45°，BE=4，求DE的长【考点】等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的判定菁优网版权所有【专题】证明题；压轴题；探究型【分析】（1）利用已知条件，可证出BCEDCF（SA

48、S），即CE=CF（2）借助（1）的全等得出BCE=DCF，GCF=BCE+DCG=90°GCE=45°，即GCF=GCE，又因为CE=CF，CG=CG，ECGFCG，EG=GF，GE=DF+GD=BE+GD（3）过C作CGAD，交AD延长线于G，先证四边形ABCG是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）再设DE=x，利用（1）、（2）的结论，在RtAED中利用勾股定理可求出DE【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，BC=CD，B=CDF，BE=DF，CBECDFCE=CF（2）解：GE=BE+GD成立CBECDF，BCE=DCFECD+ECB=ECD+FCD即ECF=B

49、CD=90°又GCE=45°，GCF=GCE=45°CE=CF，GCF=GCE，GC=GC，ECGFCGEG=GFGE=DF+GD=BE+GD（3）解：过C作CGAD，交AD延长线于G，在直角梯形ABCD中，ADBC，A=B=90°，又CGA=90°，AB=BC，四边形ABCG为正方形AG=BC=12已知DCE=45°，根据（1）（2）可知，ED=BE+DG，设DE=x，则DG=x4，AD=AGDG=16x，AE=ABBE=124=8在RtAED中DE2=AD2+AE2，即x2=（16x）2+82解得：x=10DE=10【点评】本题是

50、一道几何综合题，内容涉及三角形的全等、图形的旋转以及勾股定理的应用，重点考查学生的数学学习能力，是一道好题本题的设计由浅入深，循序渐进，考虑到学生的个体差异从阅卷的情况看，本题的得分在48分的学生居多前两个小题学生做得较好，第三小题，因为学生不懂得用前面积累的知识经验答题，数学学习能力不强，造成本小题得分率较低12（2015株洲模拟）在ABC中，AD平分BAC，BDAD，垂足为D，过D作DEAC，交AB于E，若AB=5，求线段DE的长【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质菁优网版权所有【分析】求出CAD=BAD=EDA，推出AE=DE，求出ABD=EDB，推出BE=DE，求出AE=BE，

51、根据直角三角形斜边上中线性质求出即可【解答】解：AD平分BAC，BAD=CAD，DEAC，CAD=ADE，BAD=ADE，AE=DE，ADDB，ADB=90°，EAD+ABD=90°，ADE+BDE=ADB=90°，ABD=BDE，DE=BE，AB=5，DE=BE=AE=AB=2.5【点评】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，关键是求出DE=BE=AE13（2011房山区一模）已知：等边三角形ABC（1）如图1，P为等边ABC外一点，且BPC=120°试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系，并证明你的猜想；（

52、2）如图2，P为等边ABC内一点，且APD=120°求证：PA+PD+PCBD【考点】等边三角形的性质；等式的性质；三角形三边关系；全等三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】证明题；压轴题【分析】（1）AP=BP+PC，理由是延长BP至E，使PE=PC，连接CE，由BPC=120°，推出等边CPE，得到CP=PE=CE，PCE=60°，根据已知等边ABC，推出AC=BC，ACP=BCE，根据三角形全等的判定推出ACPBCE，得出AP=BE即可求出结论；（2）在AD外侧作等边ABD，由（1）得PB=AP+PD，根据三角形的三边关系定理得到PA+PD+PCCB，再证ABCADB，根据全等三角形的性质推出CB=BD即可【解答】猜想：AP=BP+PC，（1）证明：延长BP至E，使PE=PC，连接CE，BPC=120°，CPE=60°，又PE=PC，CPE为等边三角形，CP=PE=CE，PCE=60°，ABC为等边三角形，AC=BC，BCA=60°，ACB=PCE，ACB+BCP=PCE+BCP，即：ACP=BCE，ACPBCE（SAS），AP=BE，BE=BP+PE，AP=BP+PC（2）证明：在AD外侧作等边ABD，则点P在三角形ADB外，连接PB'，B'C，A