导体和电介质习题

1、第六章 静电场中的导体与电介质6 1 将一个带正电的带电体 A 从远处移到一个不带电的导体 B 附近，则导体 B 的电势 将（ ）（A ） 升高（B） 降低 （C） 不会发生变化（D） 无法确定20分析与解 不带电的导体B相对无穷远处为零电势。由于带正电的带电体A移到不带电的导体B附近时，在导体B的近端感应负电荷；在远端感应正电荷，不带电导体的电势将高 于无穷远处，因而正确答案为（ A ）。6 -2将一带负电的物体M 靠近一不带电的导体N,在N的左端感应出正电荷，右端感应出负电荷。若将导体N 的左端接地（如图所示），则（）（A ） N 上的负电荷入地（B） N 上的正电荷入地（C）N上的所有电

2、荷入地（D） N上所有的感应电荷入地I 6-2 图(A) E 0,vq4 od在哪一点电)分析与解 导体N 接地表明导体N 为零电势，即与无穷远处等电势，这与导体N端接地无关。因而正确答案为( A )。6 3如图所示将一个电量为 q的点电荷放在一个半径为 R的不带电的导体球附近，荷距导体球球心为d,参见附图。设无穷远处为零电势，则在导体球球心0点有(B)E宀比(C) E 0,v0(D) Eod,vq 在导分析与解 达到静电平衡时导体内处处各点电场强度为零。点电荷体球表面感应等量异号的感应电荷土q',导体球表面的感应电荷土 q'在球心0点激发的电势为零， O 点的电势等于点电荷

3、q 在该处激发的电势。因而正确答案为（A）。6 4 根据电介质中的高斯定理，在电介质中电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于 这个曲面所包围自由电荷的代数和。下列推论正确的是 （ ）（A ） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内一定没有自由电荷（B）若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内电荷的代数和一定等于零（C）若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分不等于零，曲面内一定有极化电荷（D）介质中的高斯定律表明电位移矢量仅仅与自由电荷的分布有关（E）介质中的电位移矢量与自由电荷和极化电荷的分布有关分析与解 电位移矢量沿任意一个闭合曲面的通量积分等于零，表明曲面 内自由电荷的

4、代数和等于零；由于电介质会改变自由电荷的空间分布，介质中的电位移矢 量与自由电荷与位移电荷的分布有关。因而正确答案为（E）。6 5 对于各向同性的均匀电介质，下列概念正确的是（）（A）电介质充满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时，电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度的1/ &倍（B）电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的1/ &倍（C）在电介质充满整个电场时，电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强 度的1/ &倍（D）电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的&倍分析与解 电介质中的电场由自由电荷激发的电场与极化电

5、荷激发的电场迭加而成，由于 极化电荷可能会改变电场中导体表面自由电荷的分布，由电介质中的高斯定理，仅当电介 质充满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时，在电介质中任意高斯面S有t 1蜒1 ）E dSsEo dSq即E = E。/ & ,因而正确答案为（A）。，导体qd各受6 6不带电的导体球A含有两个球形空腔，两空腔中心分别有一点电荷qb、qc球外距导体球较远的r处还有一个点电荷qd （如图所示）。试求点电荷 qb、qc、 多大的电场力。A分析与解 根据导体静电平衡时电荷分布的规律，空腔内点电荷的电场线终止于空腔内表 面感应电荷；导体球 A外表面的感应电荷近似均匀分布，因而近似可看作

6、均匀带电球对点 电荷qd的作用力。Fda qE4 or2点电荷qd与导体球A外表面感应电荷在球形空腔内激发的电场为零，点电荷qb、qc处于球形空腔的中心，空腔内表面感应电荷均匀分布，点电荷qb、qc受到的作用力为零 6 8 一导体球半径为Ri ,外罩一半径为R2的同心薄导体球壳， 外球壳所带总电荷为 Q, 而内球的电势为V o .求此系统的电势和电场的分布.分析若V04 0 R2，内球电势等于外球壳的电势，则外球壳内必定为等势体，电场强度处处为零，内球不带电.，内球电势不等于外球壳电势，则外球壳内电场强度不为零，内球带4 0R2电一般情况下，假设内导体球带电q,导体达到静电平衡时电荷的分布如图

7、所示依照电荷的这一分布，利用高斯定理可求得电场分布并由VpE dl或电势叠加求出电势的p p分布.最后将电场强度和电势用已知量V o、Q、R1、R2表示.解 根据静电平衡时电荷的分布，可知电场分布呈球对称.取同心球面为高斯面，由高斯定理:' E dSiqi ，根据不同半径的高斯面内的电荷分布，解得各区域内的电场分0布为r v R1时,Ei（r）0R1 v r v R2时,E2（r）/err > R2 时,E2（r）Q q e2 r4 or由电场强度与电势的积分关系,可得各相应区域内的电势分布.r v R1时,ViE dlrRi rr E1r dlR2 r rRi E2 dlr d

8、l4 0R2Riv rv R2 时,V2E dlrR2E2 dlrR2E3dl4 or4 0 R2r > R2 时,E3 dlq Q4 orq40R1也可以从球面电势的叠加求电势的分布.在导体球内（ r v Ri）在导体球和球壳之间（Ri v rv R2 )V2qQ4 or40 R2在球壳外（r > R2）v3qQ4or由题意qQViV。40Ri4 0R2得40R2q 4 0RV0Qt代入电场、电势的分布得r v R i 时，Ei 0 ； ViV0Ri v rv R2 时，E2警erRQ .V 空(rRi)Q2 er ；4 0R2厂；V2r40 R2rr > R2 时,(R2

9、 rjqv _RVo (R2 Ri)q4 oR22 e ；3 r 40R2r6 9 在一半径为Ri = 6.0 cm的金属球A外面套有一个同心的金属球壳B .已知球壳B_ Q的内、外半径分别为 R2= 8.0 cm , Rs = 10.0 cm .设球A带有总电荷Qa = 3.0 10 C,球 壳B带有总电荷Qb = 2.0 X0 C .(1) 求球壳B内、外表面上所带的电荷以及球 A和球壳B的电势；(2)将球壳B接地然后断开，再把金属球 A接地，求金属球A和球壳B 内、外表面上所带的电荷以及球 A和球壳B的电势.分析 （1） 根据静电感应和静电平衡时导体表面电荷分布的规律，电荷Qa均匀分布在

10、球A表面，球壳B内表面带电荷Qa，外表面带电荷Qb + Qa，电荷在导体表面均匀分布图（a）,由带电球面电势的叠加可求得球A和球壳B的电势.（2）导体接地，表明导体与大地等电势（大地电势通常取为零）球壳 B接地后，外表面的电荷与从大地流 入的负电荷中和，球壳内表面带电一Qa 图（b）.断开球壳B的接地后，再将球A接地，此时球A的电势为零.电势的变化必将引起电荷的重新分布，以保持导体的静电平衡.不失一般性可设此时球 A带电qA ,根据静电平衡时导体上电荷的分布规律， 可知球壳B内表 面感应一qA，外表面带电qA Qa 图（c）.此时球A的电势可表示为qAqAqAQa40 R|40 R240 R3

11、由Va = 0可解出球A所带的电荷qA ,再由带电球面电势的叠加，可求出球A和球壳B的 电势.解 （1）由分析可知，球A的外表面带电3.0 X08 C,球壳B内表面带电一3.0 108C ,外表面带电5.0 10C .由球壳电势分布（半径R,带电Q）q40RQ4 0rVa4QaQaQa4Qb 5.60 R3103V0R140R2VbQaQb4.5103V40 R3（2）将球壳B接地后断开，再把球A接地，设球A带电qA，球A和球壳B的电势为/qAqAQAqAVA4 0Ri4 0R240R30依据电势的叠加原理，球 A和球壳B的电势分别为QaqA40 R3解得qAR1 R2QARR2 R2R3 R

12、1R32.12 10 8C即球A外表面带电2.12 0 & C，由分析可推得球壳 B内表面带电2.12 10C ,外表面带电-0.9 108 C 另外球A和球壳B的电势分别为Va 02VB7.29 10 V导体的接地使各导体的电势分布发生变化，打破了原有的静电平衡，导体表面的电荷将重新分布，以建立新的静电平衡.6 11将带电量为Q的导体板A从远处移至不带电的导体板B附近，如图(a)所示，两导体板几何形状完全相同，面积均为S,移近后两导体板距离为 d( d S ) (1) 忽略边缘效应求两导体板间的电势差;(2)若将B接地，结果又将如何?何6-11 图分析 由习题6 -1 0可知，导体板

13、达到静电平衡时，相对两个面带等量异号电荷；相背 两个面带等量同号电荷再由电荷守恒可以求出导体各表面的电荷分布，进一步求出电场 分布和导体间的电势差.解 （1） 如图（b）导体板B接地后电势为零，B的外侧表面不带电，根据导体板相背两个面带等量同号电荷 可知，A的外侧表面也不再带电，由电荷守恒可以求出导体各表面的电荷分布，进一步求 出电场分布和导体间的电势差.所示，依照题意和导体板达到静电平衡时的电荷分布规律可得2)S解得Q2S两导体板间电场强度为方向为A指向B .两导体板间的电势差为U ABQd2 0S（2）如图（c）所示,导体板B接地后电势为零.两导体板间电场强度为E'Q°S

14、 ；方向为A指向B.两导体板间的电势差为U 'abQd0Sdq'R _q r6 21 一平板电容器，充电后极板上电荷面密度为00 = 4.5 M0-5 C- m-2现将两极板与电源断开，然后再把相对电容率为朮=2.0的电介质插入两极板之间此时电介质中的D、E和P各为多少？题6-2】图分析 平板电容器极板上自由电荷均匀分布，电场强度和电位移矢量都是常矢量.充电后断开电源，在介质插入前后，导体板上自由电荷保持不变取图所示的圆柱面为高斯面，由介质中的高斯定理可求得电位移矢量D，再根据可求得电场强度E和电极化强度矢量P.解 由分析可知，介质中的电位移矢量的大小D 2S介质中的电场强度和

15、极化强度的大小分别为4.510 5C2.5 106 V mP DoE522.3 10 CgmD、P、E方向相同，均由正极板指向负极板（图中垂直向下）.6 - 24 有两块相距为0.50的薄金属板A、B构成的空气平板电容器被屏蔽在一金属盒K内，金属盒上、下两壁与 A、B分别相距0.25 mm，金属板面积为30 mm X 40 mm。求（1） 被屏蔽后电容器的电容变为原来的几倍；（2）若电容器的一个引脚不慎与金属屏蔽盒相碰，问此时的电容又为原来的几倍？O HA世6 -24閤分析 薄金属板A、B与金属盒一起构成三个电容器，其等效电路图如图（b）所示，由于两导体间距离较小， 电容器可视为平板电容器，通

16、过分析等效电路图可以求得 A、B间的电容。解 （1）由等效电路图可知C2 C3C C23 C1C1C2 C3由于电容器可以视作平板电容器，且d1 2d2 2d3，故C2 C3 2C1 ,因此A、B间的总电容C 2C1（2）若电容器的一个引脚不慎与金属屏蔽盒相碰，相当于 C2 （或者C3 ）极板短接，其电容为零，则总电容C 3C16 - 26有一个空气平板电容器， 极板面积为S,间距为d .现将该电容器接在端电压为 U的 电源上充电，当（1）充足电后；（2）然后平行插入一块面积相同、厚度为3（ 3 v d ）、相对电容率为&的电介质板；（3）将上述电介质换为同样大小的导体板.分别求电容器

17、 的电容C,极板上的电荷 Q和极板间的电场强度 E.分析 电源对电容器充电，电容器极板间的电势差等于电源端电压u.插入电介质后，由于介质界面出现极化电荷，极化电荷在介质中激发的电场与原电容器极板上自由电荷激发的 电场方向相反，介质内的电场减弱由于极板间的距离d不变，因而与电源相接的导体极板将会从电源获得电荷，以维持电势差不变，并有U -QS（d） -Q-0S0 r S相类似的原因，在平板电容器极板之间，若平行地插入一块导体板，由于极板上的自由电荷和插入导体板上的感应电荷在导体板内激发的电场相互抵消，与电源相接的导体极板将会从电源获得电荷，使间隙中的电场E增强，以维持两极板间的电势差不变，并有Q

18、U （d ）oS综上所述，接上电源的平板电容器，插入介质或导体后，极板上的自由电荷均会增加，而电势差保持不变.解 （1）空气平板电容器的电容C0子充电后，极板上的电荷和极板间的电场强度为EoU /di8(2)插入电介质后，电容器的电容CiQ/ (doSQ0 rSr(d )故有QiC1U0 QU介质内电场强度EiQi0 r Sr(d)空气中电场强度EiQirUr(d )(3)插入导体达到静电平衡后，导体为等势体，其电容和极板上的电荷分别为C2oSd0SUd导体中电场强度E20空气中电场强度Ud无论是插入介质还是插入导体，由于电容器的导体极板与电源相连，在维持电势差不变的E2同时都从电源获得了电荷，自由电荷分布的变化同样使得介质内的电场强度不再等于Eo/6 - 30半径为0.i0 cm的长直导线，外面套有内半径为 i .0 cm的共轴导体圆筒，导线与 圆筒间为空气.略去边缘效应，求：( i)导线表面最大电荷面密度；(2)沿轴线单位 长度的最大电场能量.分析 如果设长直导线上单位长度所带电荷为入，导线表面附近的电场强度2 oR o查表可以得知空气的击穿电场强度Eb = 3.0 x 106 （V/m），只有当空气中的电场强度 Ew E b空气才不会被击穿，由于在导线表面附近电场强度最大，因而可以求出o的极限值.再求得电场能量密度，并通过同轴圆柱形体元内电场能量的积分求得单位长度的最大