切比雪夫多项式-详细-Chebyshev polynomials

1、切比雪夫多项式是与棣美弗定理有关，以递归方式定义的一系列正交多项式序列。 通常，第一类切比雪夫多项式以符号Tn表示， 第二类切比雪夫多项式用Un表示。切比雪夫多项式 Tn 或 Un 代表 n 阶多项式。切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。在微分方程的研究中，数学家提出切比雪夫微分方程和相应地，第一类和第二类切比雪夫多项式分别为这两个方程的解。 这些方程是斯图姆-刘维尔微分方程的特殊情形.定义：第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定 也可

2、以用母函数表示第二类切比雪夫多项式 由以下递推关系给出 此时母函数为从三角函数定义：第一类切比雪夫多项式由以下三角恒等式确定其中 n = 0, 1, 2, 3, . . 是关于 的 n次多项式，这个事实可以这么看： 是:的实部（参见棣美弗公式），而从左边二项展开式可以看出实部中出现含的项中，都是偶数次的，从而可以表示成 的幂 。用显式来表示尽管能经常碰到上面的表达式但如果借助于复函数cos(z), cosh(z)以及他们的反函数，则有类似，第二类切比雪夫多项式满足以佩尔方程定义：切比雪夫多项式可被定义为佩尔方程在多项式环Rx 上的解(e.g., 见 Demeyer (2007), p.70).

3、 因此它们的表达式可通过解佩尔方程而得出:归递公式两类切比雪夫多项式可由以下双重递归关系式中直接得出:T0(x) = 1 U 1(x) = 1 Tn + 1(x) = xTn(x) (1 x2)Un 1(x) Un(x) = xUn 1(x) + Tn(x) 证明的方式是在下列三角关系式中用x 代替 xTn(x) (1 x2)Un(x) 正交性Tn 和Un 都是区间1,1 上的正交多项式系.第一类切比雪夫多项式带权即:可先令x= cos() 利用 Tn (cos()=cos(n)便可证明.类似地，第二类切比雪夫多项式带权即:其正交化后形成的随机变量是 Wigner 半圆分布).基本性质对每个非

4、负整数n， Tn(x) 和 Un(x) 都为 n次多项式。 并且当n为偶（奇）数时，它们是关于x 的偶（奇）函数， 在写成关于x的多项式时只有偶（奇）次项。时，Tn 的最高次项系数为 2n 1 ，n = 0时系数为1 。最小零偏差对，在所有最高次项系数为1的n次多项式中 ， 对零的偏差最小，即它是使得f(x)在 1,1 上绝对值的最大值最小的多项式。 其绝对值的最大值为 ， 分别在 - 1 、 1 及 f 的其他 n 1 个极值点上达到 。两类切比雪夫多项式间的关系两类切比雪夫多项式间还有如下关系：切比雪夫多项式是超球多项式或盖根堡多项式的特例, 后者是雅可比多项式的特例.切比雪夫多项式导数形

5、式的递推关系可以由下面的关系式推出：例子前六个第一类切比雪夫多项式的图像，其中-1¼<x<1¼, -1¼<y<1¼ 按颜色依次是T0, T1, T2, T3, T4 T5.前几个第一类切比雪夫多项式是前六个第一类切比雪夫多项式的图像，其中-1¼<x<1¼, -1¼<y<1¼ 按颜色依次是U0, U1, U2, U3, U4 U5. 虽然图像中无法显示,我们实际有 Un(1)=n+1 以及 Un(-1)=(n+1)(-1)n.前几个第二类切比雪夫多项式是 按切比雪夫多项式的展开式一个N 次多项式按切比雪夫多项式的展开式为如下：多项式按切比雪夫多项式的展开可以用 Clenshaw 递推公式计算。切比雪夫根两类的n次切比雪夫多项式在区间1,1上都有n