一类双曲型守恒律方程组的初边值问题

1、上海大学硕士学位论文一类双曲型守恒律方程组的初边值问题姓名：姚爱娣申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：盛万成20070401摘要双曲型守恒律方程（组）的初值和初边值问题一直是数学家和物理学家关注的热点问题边界熵条件的提出解决了一般初边值问题的不适定同题初边值问题在理想悬浮物的沉积理论及控制论等中有广泛的应用本文主要考虑构造一个含有乒波解的一类双曲型守恒律方程组的初边值问题的解利用和在（，）中所得到的结果，选取一对合适的熵流对，使得在边界上得到了一个边界熵条件通过求解相应的问题，并利用这个边界熵条件及基本波的相互作用构造性的得到了方程组初边值问题的解类似于一个边界的情况，又给出了边界上的熵

2、条件，进而得到了具有两个边界的初边值问题的解的构造这里的初边值都是分段常数关键词初边值问题，相互作用，乒激波，熵流对，边界熵条件，问题，￥（，），善，：，原创性声明本人声明；所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文不包含其他人已发表或撰写过的研究成果参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意本论文使用授权说明本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容（保密的论文在解密后应遵守此规定）繇娥姊臌。爹嗍乜沙年上海大学硕士

3、学位论文第一章引言§背景介绍非线性双曲型守恒律是现代数学研究领域中重要的挑战之一，它有重要的物理背景，如空气动力学，燃烧理论，等离子物理等对于一般的双曲型守恒律方程（组），主要研究其初值问题，得到激波解、简单波解以及接触间断解它们主要来源于气体动力学中的许多实际饲子，很多相当重要的工作是在世纪就通过流体力学的形式出现了气体状态方程这方面的研究是随早期的声学理论发展起来的，和首先把声学理论推广到向一个方向传播的有限幅度的扰动问题，（年）提出一个理论，这个理论适于用来计算向两个方向传播的有限波幅平面波他看到了压缩波的变陡过程，变到后来终于在完全流体中形成突跃把这类突跃变化用质量、动量及能

4、量守恒处理，以及这些突跃和爆炸所产生的激波之下的关系即激渡条件是地（年）和（年）提出来的（年）又指出越过激波熵增加，用这样一些结果就可以建立起气体动力学的激波理论在第二次世界大战期间，对气体动力学的研究得到了相当的大推动力，这主要有两个原因首先，人们对爆炸以及由此而产生的压力波有相当大的兴趣战时由与领导之下的一大批人在这方面所进行的研究工作已经总结在年他们共同完成的（【】）中对于守恒律的严格的数学理论是由（）在年研究形成的随后有（】【）。（一删）和（】）等相继完善了这些理论其次，由于超音速飞机的出现，使得对激波现象和气体动力学方程的研究开创了更完整的理论许多。纯”数学家也对这一领域产生了极大的

5、兴趣气体动力学中的激波现象为双曲型守恒律方程组的间断解的研究提供了一个很好的模型在世纪年代，非线性波现象又吸引了许多物理学家的注意激四！笙土瀣太堂亟±堂僮迨塞！波是一个非常重要的自然现象，当它在任何地方出现，比如气体动力学，流体力学，弹性力学等，都会引起人们的关注地球上的自然力造成的激波现象比比皆是，如炸弹在空中、地下和水中爆炸，超音速飞行体在大气中飞行，两物体的高速碰撞，雷电激波，地震，火山喷发，化学爆炸还有核爆炸等等都将产生激波激波在宏观上表现为一个高速运动的高温，高压高密度曲面，穿过该曲面时介质的压力、密度、温度等物理量都发生急剧的变化，即所谓的。突变或。跃变”除了激波，还有一

6、类具有高奇异性的波（）在他年的博士论文中考虑了具有初值“，”）：（士，士），（士），（）髅抛，（脚，【】，【】）对于两维的守恒律方程组的，问题计“训户（）仉（），们发现对于特定的初始值心，仇）冬，经典的弱解是不存在的；在分布的意义；！生土星太堂亟±堂僮迨塞（）考虑了在区域，中具有初始值（）的简化一维模型§毗）。，【仇（，（）的问题他们发现，作为方程组（）的粘性消失的解的极限，乒波是存在的并且，除了解的存在性和唯性，他们也证明了对某些粘性扰动。解是稳定的还有，当粘性消失时，乒波解是白相似粘性方程组的解的弱收敛的极限年，和（】）研究了气体动力学零压流方程组伽）；，咖）（舢），（

7、）【（）（），得到了一维二维问题解的存在唯性及稳定性年，和（）对一维问题做了推广和利用所引进的积分的广义解对一维的零压流方程进行了研究（）两维的零压流方程组在附着粒子动力学中一般被称为。粘合粒子模型。（【】）这个模型常被用来描述相互碰撞后粘合在一起的自由粒子的运动，也被用来解释在宇宙中大尺度结构的形成如果我们考虑个在无重力情形下的冷的齐次传播，在初始时刻时，这个传播具有已给定的光滑的速度分布特殊粒子的实际位置（欧拉坐标）是由其初始（拉格朗日）坐标及时间的一个函数给出（，（）粒子以常速度移动除非它们产生碰撞，这是很自然的，因为物质如此的冷，以至于压力和粘性都可以忽略，并且也没有外力的作用自由粒子

8、的运动产生了轨道的相交以及无限密度区域的形成，也就是说在碰撞中，相互碰撞的粒子相粘合并行成了新的大质量的粒子密度成了奇异的测度，它的质量及动量得到保留且满足质量和动量守恒此外，（）考虑了具有初值（）的方程组【仇（“目，（萼，（。，）！盟生上整太堂亟±堂僮迨塞！的问题他得到的解为（，），并且他证明了当一时，矿）的极限包含了测度与乒波有关的解，还在和（【】）的基本线性方程组，与（【】）的半线性方程组。以及与（）的广义非线性严格双曲型方程组（舻一，（）【砘（一。，还有【】中也都曾出现过而早在上世纪年代末。数学家们对于守恒律方程（组）初边值问题的兴趣也有很明显的发展众所周知，在经典意义下守恒

9、律方程（组）的初边值问题是不适定的，一般来说既得不到解的存在性也没有唯一性，这就需要有一个边界条件的概念的扩张事实上，在边界区域是非特征的情况下，对于特殊的气体动力学方程组的初边值问题已经由不同的作者研究过了（）。和（【】）附于一般的非线性方程组也可参见（】）对于非线性双曲型守恒律方程（组）的初边值问题已经证明经典的初边值问题是不适定的，而需要一个额外的边界条件的概念也就是说相对于初值问题的熵条件，我们希望在边界上定义一个边界熵条件，使得满足这些条件的守恒律方程（组）初边值问题的解是存在且唯一的也就是说对于固定的初值，在边界上我们不能把已给定的边值强加上去，而是有必要找一个与边界条件相关的边界

10、熵条件（【卜【）在年。目等（【】）研究了单个守恒律方程的初边值问题，通过运用（阻】）中的粘性消失法，他们在边界上定义了熵条件，并且得到了多维的单个守恒律方程具有广义初边值问题的解的存在唯一性这一理论可以运用到理想悬浮物的沉积理论和控制论（【】，【】，【】，【】，【】和【】）中去在年初，和利用和的基本波的相互作用理论（【】），得到了单个守恒律方程的基本波在边界区域上的相互作用的一系列结果（【，【叫和【】）在后来的工作中。对于自由边界（），等也得到了很好的结果（【】）在年，和（）考虑了一维的双曲型守恒律方程组垫监生上塞盔堂亟圭堂僮迨塞§的初边值问题，并且对边界，对所有的熵流对得到了边界熵

11、条件他们给出了两个边界条件的公式，其中一个是通过粘性法得到的熵不等式，而另一个是以问题为基础得到的对于第二个公式，他们没有考虑双曲型方程的零特征线域是线性退化的情况而我们要考虑的方程组（）是非严格双曲的，并且有一个线性退化的特征线域，在这个特征线域上特征值可能取零值此外，对于守恒律方程组的初边值问题，（，【】），和（【】，）也在这方面做了很多研究工作§研究方法考虑非线性双曲型守恒律方程组（）的初边值问题刮¨仕”彩中（）【“）。（一，口一）（），其中（，）（）和（一，）（）均是有界变差函数，流函数（舻，）定义在状态集合我们看到方程组（）是非严格双曲的，并且有一个线性退化的特征

12、，可以出现，波，以激波为支集的一函数，又记为乒波本文考虑（，蜘）（），（一，”一）（）为分片常状态时（）的初边值问题首先要做的就是找到合适的边界熵条件使得初边值问题的解是存在且唯一的方程组（）是一个非严格的双曲型方程组，它的两个特征值分别是和，并且对于特征值它的特征线域是线性退化的当或时，特征值不都为零，这时我们可以用【】中的理论来找到相应的边界条件而当“。方程组的两个特征值都为零，而且此时有一个特征线域是线性退化的因此。以后的主要工作首先就集中在对于这个退化的特征，找到它所对应的边界熵条件，以使我们构造的初边值问题的解存在且唯一在得到需要的边界熵条件之后，接下来我们主要的工作就集中在通过基本

13、波的相互作用来构造相应的初边值问题的解基本波的相互作用展示出了以非线性波为形式的激波的重要特征，它的重要性不仅在于对解建立了存在性定理，而且借助几何构造和有趣的数值计算方法给出了解的详细的图象此外。它在实际应！螋！生土整太堂亟±堂僮迨塞§用中自身的重要意义也吸引了如，和其他许多应用数学和物理学家的注意（）和（）对基本波的相互作用已经做了详细的研究和（【）运用粘性方程，对矗波的相互作用也进行过讨论§内容安排本文在了解了已有的相关研究成果之后，针对已给的具体方程组的初边值问题的解的构造展开研究全文主要分为以下几个部分第二章在预备知识中给出品波和边界熵条件的相关理论和概

14、念对相应初边值问题，我们找到了合适的熵流对进而得到了所需的初边值问题的特定的边界熵条件第三章考虑含有乒波的非线性双曲型守恒律方程组的一点初边值问题第四章研究非线性双越型守恒律方程组基本波在边界上的相互作用，进一步利用边界熵条件完成相应的初边值同题的解的构造第五章，运用第四章的有关思想，进一步讨论具有两个边界的两点初边值问题的解的构造年上海大学硕士学位论文第二章预备知识作为对以后几章的准备，我们将在本章中叙述两大问题，相关的一些基本概念和基本研究方法§守恒律方程的问题及品波以激波管中理想气体的运动为基础，在他的年的开创性工作中，提出并研究了气体动力学中具有间断初值的最简单的初值问题，现

15、在我们称其为。问题大约在世纪年代，对拟线性双曲型方程的研究工作表明问题有着非常重要意义，它们主要表现在以下几个方面，（）除了问题的解本身非常完美之外，求解问题的过程也阐明了整个理论中的一些基本概念。（）在对一般初值问题的解的存在性、唯一性和渐近状态的研究中，问题发挥了非常重要的作用例如，将它运用于年由，（）给出的众所周知的随机选择方法可以说对一般的初值问题的解的构造，问题的解是一个基石（）由于问题的解是具有不同构造类型的解析解，对于任何的数值计算方法，它都可以被用来做检验解在一个空间变量中，我们所考虑的问题的最基本的表示方式是。对于非线性双曲型守恒律方程组（）具有初值”删瑚忙爱（）！生土整太堂

16、亟±堂焦迨塞§问题的解包括激波，中心疏散波和接触间断。他们被统称为基本波本文章中。问题主要由以下方程组表现巩（，（）【（。），（酬旷卜肛“（）（，），它是由等在（）中研究的，其中（一，一）和，）均是常状态下面我们简要的给出一些结果方程组（）的特征根及相应的右特征向量分别是，（，）沁，（，），和；，；，因此方程组（）是非严格双曲的，是线性退化的，是真正非线性的除了常状态解（，）之外，很容易检验第一族自相似解（”，）（）嬉）是接触间断：伽，第二族是疏散波：，以脚，或激波：砒，（盯），铆句，砷，或，其中和分别表示左右状态，和是（），（）的渡，称它们为经典波事实上，这里还存在一种非

17、经典波，即乒波（后面将会做详细讨论）运用基本波，我们可以将问题的解的构造分成如下几种情况，（）一分析如图所示嫂！生上鲞盔堂亟±堂僮途塞（）珈一，解为；（）一，解为，；（）一，解为；（）“一，分析如图所示（）一解为，；（）解为，对于情况一，当一，一，固定，一并且时，我们考虑解（），。（）的极限当“一，解如图所示状态（）是在（，）平面上，与的交点当时。矿（“一并且与，相并并且形成了一类新的非线性双曲型波对于“一蛳和的情况可由类似的讨论得到（见，）定义在上，解，。（）中的间断解称为偿剀的一波，记为岛，如果下面两个条件成立，（）岛条件脚（）岛熵条件一印甜显然，上面的经典解在分布的意义下满足（

18、）同样乒波解在分布的意义下也满足（），只要沿着间断线选择某些“并且选择合适的密度，这里的为加权的函数为此，我们定义一个以光滑参数曲线管：（），（）（。）为支集的两维加权函数（。）如：对所有的妒（；）（）如，妒）（）妒（。（），（）、，一这里我们可以选择解中的”为口“。）们！鲤！玺土瀣太堂亟±堂僮坌塞！其中，竺加，南¨，够：，印，“兰定义如果函数（）与（）使偿和口印的任意经典解都同时满足（“）（“，（）则称，为偿的一对熵与熵流量，（阢）称为熵流对其中（，圯）彩，且扛，）×，！四生土鲞太堂亟圭堂垡迨塞！肫一矩阵象（喾鼍）是正定的，且，“）（”），“彩脾劬运用粘性消失法

19、（【】），通过选择方程组（）的物理解，我们得到一个熵条件，这是运用】中的结果得到的由定义，方程组（）的熵流对可以定义为函数（，）：彩一使得，口）叩（甜）“，口），（，剞）彩，在彩上（：）是正定的这里地”，（：）在分布的意义下，工，的解”，在区域。，圳，中，对任意的熵流对均满足熵不等式（，）（，口我们仅在区域（，）。，中结合解（“，”）（，）的值，来考虑熵不等式（）沿着边界，下面给出了一个充分条件边界熵不等式引理对任意的及熵流对（口，帕，初边值问题口砂口圳的解（）在边界上的取值）（，）与边界值（一，）（）可以通过下面的边界熵不等式相联系起来咖，），）：（，）怒：高叫。，）力注注意到边界不等式俾）

20、的导数并不需要考虑对特征线域是真正非线性还是线性退化的假设定义对彩中的每一个状态（一，“），在边界上的可容许解的集合芎（一，“）可以定义成，对每一个熵流对（，口），在彩中所有满足如，旷咖一枇掣寸（。竺一）的状态（，）所构成的集合（“，口）（，）矽（¨一，口一），仁固而且，对于初边值问题（）我们可以把边界熵条件用公式表示成（）！鲤！至上瀣友堂亟±堂僮迨塞！对任意的边值（一，一）彩对于我们所要研究的方程组（），其中一个特征线域是线性退化的通过观察我们找到一个熵流对（，），）（一胪）（一七），则对任意的状态（），边界熵不等式（）等价于（“一萨）（一七）一（芒一）一一七）一（

21、68;一芒）（一一奄），七，因此我们得到（一胪）（一）一（“一一），女如果不在和“一之间，上个不等式显然是成立的，进而我们得到如下性质性质在边界上的可容许解（，口），要么在集合扣一，一）（，）女，一）（）中，其中，（口，）【，“，要么是（“，口）。（一，一）文章中我们只考虑，一的情况，其他的情况可以类似的进行讨论年上海大学硕士学位论文第三章含有乒波的非线性双曲型守恒律方程组的一点初边值问题在本章中我们考虑以“一）蛳，珊。（，口）。（一，“），记；，），），扛，），（）为值的初边值问题（），其中（一，“）和汹，船）均是常状态（“，）首先，我们求解初值同题（）（），然后通过验证解，）在边界（，）上

22、是否满足边界熵条件（），这样我们能够得到初边值问题（，）（）的解如果解满足（），我们取初边值问题的解为（，”）（”，圳。；否则我们通过构造满足性质的解进而得到初边值同愿的解通过“一取值不同，我们将问题分成以下三种情况展开讨论、“一，伽，一，一；§缸一在这种情况下，通过取值的不同我们又可以将其分为三种子情况进行讨论“一此情况下，初值问题（）（）的解可以简单的表示成（见）一，儿）“。，）（，），其中，仉妻。意味着。随后。，：（一上），：善很显然性质，成立，因此，我们通过切除初值问题（，）（）在一左上半平面上的解得到初边值问题（）（）的解，即（“，”）似，圳，】）（见）！鲤！生土瀣太堂亟&

23、#177;堂僮迨塞！：。：皇“一？、表示（一，一）表示（，），荨，一旬与情况类似，初值问题（）（）的解为（一，一）（。，仉）（，砸），其中：，（一删“工），：由性质初边值问题（）（）的解为“，”）（，），）（见）：¨一幻“。巡一在这种情况下，初值问题（）（）的解为（一，”一），）其中：，（一叫幻）不难发现性质成立，我们得到初边值问题（）（）的解为（见）“，）（埘，句。爿（，）！螋！生土攫太堂亟±堂僮迨塞其中：，（）！§八。§巡级蔫“让一，同样，由“一和的位置关系。我们将这一情况分成两种讨论“一在此情况下，初值问题（）（）的解为（“一，口一），（“。，仉）

24、（，协）由性质，我们通过切除初值问题（）（）在左上半平面上的解得到初边值同题（）（）的解（见），可见初边值问题的解仍为（一，），（，仉）（，）。一甏一纥：此情况中。初值问题（）（）的解为（“一，），（仉）（上，啦）！至土整太堂亟±堂僮迨塞！§与上面的分析类似，我们得到初边值问题（）（）的解为（，”）（，列。（见），即（一，一），（。，“）（，伽）：。一罗七§一一在这一情形中我们看到了乒波岛而初值同题（）（）的解是（一，一）岛（蛳，伽）因此由性质，知道初边值问题（，）（）的解是（，口）（，）。（，）（见）：一由图，初值问题（）（）的解仍然是（“）（，）通过中的分析，

25、很容易得到初边值问题（）（）的解为（，”）（”，）。，也就是（一，一）岛（，）（见）嵋一一这种情况下，同样出现矗波，且其传播速度为印“一十。我们分两种情形进行讨论，即“一和显然两种情况下初值问题（）（）的解均为（一，口一）（，伽）与前面的情况类似，显然（）成立，我们通过把初值问题（）（）的解限制在的右上半平面上得到初边值问题（）（）的解，当一时，一（见左）。初边值问题的解为（，伽），当一时，印一（见右）。初边值问题的解为一，“）（，）：“一十柚毋：即一年上海大学硕士学位论文第四章非线性双曲型守恒律方程组基本波在边界上的相互作用在这一章中，我们考虑以（“，）删（），卜叫嚣一，“一咐）为值的初边值

26、问题（）（），其中扣一，“），（，）和（，）均是常状态（一，）记，），。啦扛，），）首先，我们解具有三段初值仉心础砒茁的初值问题（）（）接着，通过检验基本波相互作用后得到的解（，）在边界（，）上是否满足边界熵条件（）即可以得到初边值问题（）（）的解如果满足，我们就按上一章的讨论取解为，”）（劬圳。，；否则，我们就通过性质来构造满足（）的初边值问题（）（）的解根据“一和的值，我们把问题分成以下六种情况一一，一，”一上。“一，一，“一§牡一在这种情况下，初值问题（）（）的解的大时间状态是这里我们只考虑以下两种子情况，其他的子情况可以做类似的讨论蛳一：一！鲤！生土显太堂亟±堂僮迨

27、塞！这里，当很小时，初值问题（）（）的勰可以简单的表示成（见）（一，一）“，“）（正，）飓（，以）也（，）其中，仉，如，：塾蛳和暂一：，（一叫。每），：，岛：一，（，以脚），：一接触间断在时刻一，追赶上疏散波飓，接着它们发生了相互作用我们记接触间断为：（）则得到，警钏雄）一一她（）。一，通过简单的计算，我们有型，警一争，”蜘髓“，最终，在时刻幻穿透，一个新的接触间断无形成了，它的传播速度是因此，当时，解可以表示成（一，）（。，“）（麓，厶）以（“：，）（，加）简单地说相互作用的结果是，在左上半平面，每一个特征速度都是负的，由性质，我们得到了初边值问题（）（）的勰，就是在右上半！塑！生土崖太堂亟

28、±兰僮迨塞垫乎面上截取初值问题（）（）的解，即在有限的时刻（“，口）（奶）（）圭，我们看到如与边界碰撞，又因为性质，我们说被边界吸收了（见）则在时，初边值同题的解是，）一：上，一在这种情况下，当很小时，初值同题（）（）的解可以简单的表示成（见）（一，）毋（。，仉）（，）（越，）也（啪，如）其中研：“），（二一）一一尼：一，（）。与砀的相互作用，很容易计算出晚与勉在作用点（如，）：（尝，）宅字”一，日幽下，所以以永远不能穿透见接着，我们看相遇当时，激波与疏散波开始了相互作用，这时激波记为。（），掣怕竿一一【他）：，我们有警等塑出出（）“一百我们得犁），就是说在上有”（，一）和笔铲竺尹，

29、则规掣“一（见）因此，我们通过在右上半平面截取初值！盟！笙土整太堂亟±堂焦迨塞！骶缸卜训两镀处、威“一埘§以氏爷按。、¨弋协恤，、：、。“一飞遗八总之，在一中，所有的波在时都被边界吸收掉了并且在一时，可以把相互作用的结果形象的看成，§一在这种情况下，初值问题（）（）的解的大时间状态是由仇的取值，我们仅讨论下面两种子情况，其他的两种子情形可以通过类似的分析进行讨论“一当很小时，初值问题（）（）的解可以简单的表示如下（见）（一，一）岛（，“）（，）岛（，）（，珊）在时刻时，以与岛相遇进而发生相互作用通过简单的计算知昆的速度没有发生变化，而接触间断变成了西接着

30、，在时刻垃，与岛开始了螋！生上篷太堂亟±堂僮丝塞相互作用，并生成了新的激波岛所以当时，初值问题（）（）的解是（见培）（一，一）岛（厶，厶）矗（越，以）也（，）对于接触间断如的分析见因此初边值问题（）（）的解等价于初值问题（）（）在右上半￥一平面的解，即（）当很小时，初值问题（）（）的解可以简单的表示成（见远）当与在点。，）瓦忑，瓦瓦）相遇以后，相互作用开始了我们对间断：（）的方程进行求导，得到，慧饥邢）姚一似矿石仇万（警等对于，跏熵条件满足埘，（，）但是，当”（一，）时，岛一熵条件是不满足的，因此岛变成了初值问题（）（）的解如图所示由边界熵条件（），不难得到初边值阃题（）（）的解，它

31、是在右上半平面截取解（，）综合一的所有情况可知，所有的波在一定大的时候都被边界！鲤！生土整太堂亟±堂垡迨塞望曩萝守一：、，蕊§一：一由于。的取值，我们把这种情况分成以下两种子情况一一当很小时，初值问题初值问题（）（）的解可以简单的表示成（见）（一，）毋（。，珥。）（，咖）弗一步，戴芍祭曲与地盯稠且作用看所团瑷曲：烈掣一托）卅，”蜘，【（）：其中（钆）（五磊，五磊）与前面分析类似，我们知道，警丽矿），”），疵”日，樯篓伴县潜旱的轻们辑到。），一一一，因此当”，）时，问断是岛第二步，我们看【，）时的间断曲线的变化类似于，此时岛便成了，的速度为一，而与飓继续相互作用类似于前面，对

32、间断！螋！生上整太堂亟±堂僮迨塞丝：（）有警删）卅，。（）【（）钆从瓦面。，（）一一”我们有一一则”一一（）这就是说，在上”（，一），并且笔铲丁，熹三，则熙号字一（见）在一。时，间断：（）的传播速度趋向于疏散波的一个特征速度一（这时可以将形象的看成是一个接触间断），所以间断：。（）不能够完全穿透疏散波当一定大的时候，初值问题（）（）的解如下（一，口一）（厶，吒）（，伽）当一时，可以将相互作用的结果形象的看成是，丑我们通过在右上半平面截取（，。），得到问题初边值问题（）（）的解（见）：角，彩（，），一“一一第一步和第二步与类似在这个子情况下，我们只考虑初边值问题（）（）的解的构造问题（

33、），其中特征线一一与边界在时刻赤相交因讹讧誊哦蚤，¨将（”，：）扩展到（一，）×，）令（”，”）（”，），因此，由性质，得到象一机，一一，（），直线：善坚二！丢是接触间断的表达式一一！嫂生土塑太堂亟±堂僮迨塞踅。除咚“一埘由（，”）的表达式我们得出结论疏散波恐一部分与边界相碰并被边界吸收，接着在时刻从边界上反射处一个新的岛又由于岛熵条件，在时，间断岛变成了个接触间断和一个激波当时，激波的速度趋向于一（见）可见也不能穿透综合“一中的所有情况，可将相互作用后的结果形象的看成，§一：一牡一一在这种情况下的结论与类似，但是不同之处在于在有限时刻幻（其中在时刻间断

34、曲线与特征线相碰）。间断穿透疏散波飓（见）！生土竖太堂亟±堂僮迨塞类似于一，在此情况下可将相互作用后的结果形象的看成七§一我们将这种情况分成三种子情况“一，在这种子情况下，分析类似于”一我们得到解是疏散波尼，并且部分被边界吸收一，通过特征分析，我们得到解为疏散播岛，并且它部分被边界吸收“一这种子情况是平凡的初边值问题（）（）在边界。上的解是（，）在此情况下，可将相互作用后的结果形象的看成§缸一：一对一，我们只考虑一对其他的情形。我们有当很大的时候，（”，口）（如，如）仁），或者（“，”）（”，：），这里就不做详细讨论了同一类似，对于问题（）（）的解我们构造如下，疏散波的一部分与边界相碰并被边界吸收、在时刻屯之后，边界反射出一个新的岛、当时，岛穿透，且岛一熵条件始终成立、在（弛，“）处，岛与，相碰此后以速度一传播（见）塑生土显太堂亟±堂僮迨塞垫。隧，在。一中，综合爿猎粱茬本文中出现的情况，相互作用后的结果因此，