2017全国卷1理科数学试题解析纯word版(完美版)(共9页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国I卷)理科数学一、选择题：(本题共12小题，每小题5分，共60分)1、已知集合A=x|x<1，B=x|3x<1，则( )AAB=x|x<0BAB=R CAB=x|x>1 DAB=解析：A=x|x<1，B=x|3x<1=x|x<0，AB=x|x<0，AB=x|x<1，选A2、如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( ) A B C D解析：设正方形边长为2

2、，则圆半径为1，则正方形的面积为2×2=4，圆的面积为×12=，图中黑色部分的概率为则此点取自黑色部分的概率为=故选B3、设有下面四个命题，其中正确的是( )p1：若复数z满足R，则zR；p2：若复数z满足z2R，则zR；p3：若复数z1，z2满足z1z2R，则z1=；p4：若复数zR，则R Ap1，p3 Bp1，p4 Cp2，p3 Dp2，p4解析：p1:设z=a+bi，则=R，得到b=0，所以zR故p1正确；p2:若z2=1，满足z2R，而z=i，不满足z2R，故p2不正确；p3:若z1=1，z2=2，则z1z2=2，满足z1z2=R，而它们实部不相等，不是共轭复数，故

3、p3不正确；p4:实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故p4正确；故选B4、记Sn为等差数列an的前n项和，若a4+a5=24，S6=48，则an的公差为( )A1 B2 C4 D8解析：a4+a5=a1+3d+a1+4d=24，S6=6a1+d=48，联立求得×3得(2115)d=24，6d=24，d=4，选C当然，我们在算的时候引用中间项更快更简单：a4+a5=24a4.5=12，S6=48a3.5=8，d=45、函数f(x)在(,+)单调递减，且为奇函数若f(1)=1，则满足1f(x2)1的x的取值范围是( )A2,2 B1,1 C0,4 D1,3 解析：因为f

4、(x)为奇函数，所以f(1)=f(1)=1，于是1f(x2)1等价于f(1)f(x2)f(1)又f(x)在(,+)单调递减，1x21，1x3故选D6、(1+)(1+x)6展开式中x2的系数为( )A15 B20 C30 D35解析：(1+)(1+x)6=1·(1+x)6+·(1+x)6对(1+x)6的x2项系数为C=15，对·(1+x)6的x2项系数为C=15，x2的系数为15+15=30故选C7、某多面体的三视图如图，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形，这些梯形的面积之和为(

5、 ) A10 B12 C14 D16解析：由三视图可画出立体图该立体图平面内只有两个相同的梯形的面，S梯=(2+4)×2÷2=6，S全=6×2=12故选B8、右面程序框图是为了求出满足3n2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入( ) AA>1000和n=n+1BA>1000和n=n+2 CA1000和n=n+1DA1000和n=n+2解析：因为要求A大于1000时输出，且框图中在“否”时输出，“”中不能输入A>1000，排除A、B又要求n为偶数，且n初始值为0，“”中n依次加2可保证其为偶，故选D9、已知曲线C1：y

6、=cosx，C2：y=sin(2x+)，则下面结论正确的是( )A把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2 C把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2 D把C1上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2解析：C1：y=cosx，C2：y=sin(2x+)，首先曲线C1、C2统一为一三角函数名，可将C1：y=cosx用诱导公式处理y=cosx=

7、cos(x+)=sin(x+)横坐标变换需将=1变成=2，即y=sin(x+)y=sin(2x+)=sin2(x+)y=sin(2x+)=sin2(x+)注意的系数，在右平移需将=2提到括号外面，这时x+平移至x+，根据“左加右减”原则，“x+”到“x+”需加上，即再向左平移10、已知F为抛物线C：y2=4x的交点，过F作两条互相垂直l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D，E两点，|AB|+|DE|的最小值为( ) A16B14 C12 D10解析：设AB倾斜角为作AK1垂直准线，AK2垂直x轴，易知|AF|·cos+P=|AF|同理|AF|=，|BF|=，|AB

8、|=又DE与AB垂直，即DE的倾斜角为+，|DE|=，而y2=4x，即P=2x|AB|+|DE|=2P(+)=4=16，当=取等号，即|AB|+|DE|最小值为16，故选A11、设x，y，z为正数，且2x=3y=5z，则( )A2x<3y<5z B5z<2x<3y C3y<5z<2x D3y<2x<5z解析：取对数：xln2=yln3=zln5，=>，2x>3y又xln2=zln5，则=<2x<5z，3y<2x<5z，故选D12、几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推

9、出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，8，1，2，4，8，16，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，在接下来的三项式26，21，22，依次类推，求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂那么该款软件的激活码是( ) A440B330C220 D110解析：设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，以此类推设第n组的项数为n，则n组的项数和为，由题，N>100，令>100n14且nN+，即N出现在第13组之后第n组的和为=2n1n组总共的和为n=2n2

10、n若要使前N项和为2的整数幂，则N项的和2k1应与2n互为相反数，即2k1=2+n(kN+，n14) k=log2(n+3)n=29，k=5N=+5=440，故选A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分1、已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则|a+2b|=_解析：|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+2·|a|2b|·cos60°+(2|b|)2=22+2×2×2×+22=4+4+4=12，|a+2b|=22、设x，y满足约束条件，则z=3x2y的最小值为_解析：不等式组表示的平面区域如图由z

11、=3x2y得y=x，求z的最小值，即求直线y=x的纵截距的最大值当直线y=x过图中点A时，纵截距最大由解得A点坐标为(1,1)，此时z=3×(1)2×1=5 3、已知双曲线C：=1，(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若MAN=60°，则C的离心率为_解析：如图，|OA|=a，|AN|=|AM|=bMAN=60°，|AP|=b，|OP|=， tan=，又tan=，=，解得a2=3b2，e= 4、如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O，D、E

12、、F为元O上的点，DBC，ECA，FAB分别是一BC，CA，AB为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为_解析：由题，连接OD，交BC与点G，由题，ODBC，OG=BC，即OG的长度与BC的长度或成正比设OG=x，则BC=2x，DG=5x三棱锥的高h=又SABC=2·3x·=3x2，V=SABC·h=x2·=·，令f(x)=25x410x3，x(0,)，f'(x)=100x350x4令f'

13、(x)>0，即x42x3<0，x<2f(x)f(2)=80，V×=4，体积最大值为4cm3三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题：共60分1、ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC=1，a=3，求ABC的周长解析：本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用.(1)ABC面积S=且S=bcsinA，=bcsinAa2=bcsinA由正弦定理得sin2A

14、=sinBsinCsin2A，由sinA0得sinBsinC=(2)由(1)得sinBsinC=，cosBcosC=A+B+C=，cosA=cos(BC)=cos(B+C)=sinBsinCcosBcosC=又A(0,)，A=60°，sinA=，cosA= 由余弦定理得a2=b2+c2bc=9 由正弦定理得b=·sinB，c=·sinC，bc=·sinBsinC=8由得b+c=a+b+c=3+，即ABC的周长为3+2、(12分)如图，在四棱锥PABCD中，ABCD中，且BAP=CDP=90°(1)证明：平面PAB平面PAD；(2)若PA=PD=

15、AB=DC，APD=90°，求二面角APBC的余弦值解析：(1)证明：BAP=CDP=90°，PAAB，PDCD又ABCD，PDAB又PDPA=P，PD、PA平面PADAB平面PAD，又AB平面PAB平面PAB平面PAD(2)取AD中点O，BC中点E，连接PO，OE，ABCD四边形ABCD为平行四边形，OEAB由(1)知，AB平面PAD，OE平面PAD，又PO、AD平面PADOEPO，OEAD又PA=PD，POADPO、OE、AD两两垂直以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz设PA=2，D(,0,0)、B(,2,0)、P(0,0,)、C(,2,0)，PD=(,

16、0,)、PB=(,2, )、BC=(2,0,0) 设n=(x,y,z)为平面PBC的法向量由，得令y=1，则z=，x=0，可得平面PBC的一个法向量n=(0,1,) APD=90°，PDPA又知AB平面PAD，PD平面PADPDAB，又PAAB=A，PD平面PAB即PD是平面PAB的一个法向量，PD=(,0,) cos<PD,n>=由图知二面角APBC为钝角，所以它的余弦值为3、(12分)为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程，实验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(

17、,2)(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,+3)之外的零件数，求P(X1)及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,+3)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查试说明上述监控生产过程方法的合理性：下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2，.，16用样本平均数为的

18、估计值，用样本标准差s作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查，剔除(3,+3)之外的数据，用剩下的数据估计和(精确到0.01)附：若随机变量Z服从正态分布N(,2)，则P(3<Z<+3)0.0.9592，0.09解析：(1)由题可知尺寸落在(3,+3)之内的概率为0.9974，落在(3,+3)之外的概率为0.0026P(X=0)=C(10.9974)0·0.0.9592，P(X1)=1P(X=0)10.9592=0.0408，由题可知XB(16,0.0026)，E(X)=16×0.0026=0.0416(2)尺寸落在(3,+3)之外的概率为0

19、.0026，由正态分布知尺寸落在(3,+3)之外为小概率事件，因此上述监控生产过程的方法合理(3=9.973×0.212=9.334，+3=9.97+3×0.212=10.606，(3,+3)=(9.334,10.606) 9.22(9.334,10606)，需对当天的生产过程检查，因此剔除9.22剔除数据之后：=10.022=(9.9510.02)2+(10.1210.02)2+(9.9610.02)2+(9.9610.02)2+(10.0110.02)2+(9.9210.02)2+(9.9810.02)2+(10.0410.02)2+(10.2610.02)2+(9.9

20、110.02)2+(10.1310.02)2+(10.0210.02)2+(10.0410.02)2+(10.0510.02)2+(9.9510.02)2×，=0.094、(12分)已知椭圆C：+=1(a>b>0)，四点P1(1,1)，P2(0,1)，P3(1,)，P4(1,)中恰有三点在椭圆C上(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A、B两点，若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点解析：(1)根据椭圆对称性，必过P3、P4又P4横坐标为1，椭圆必不过P1，所以过P2、P3、P4三点将P2(0,1)、P3(1,)代入椭圆方程得，解得a2=

21、4，b2=1椭圆C的方程为：+y2=1(2)当斜率不存在时，设l：x=m，A(m,yA)，B(m,yA)，kP2A+kP2B=+=1得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足当斜率存在时，设l：y=kx+b(b1)，A(x1,y1)，B(x2,y2)， 联立，整理得(1+4k2)x2+8kbx+4b24=0x1+x2=，x1x2=则kP2A+kP2B=+=1又b1，b=2k1，此时=64k，存在k使得>0成立直线l的方程为y=kx2k1当x=2时，y=1所以l过定点(2,1)5、(12分)已知函数f(x)=ae2x+(a2)exx(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有

22、两个零点，求a的取值范围解析：(1)由于f(x)=ae2x+(a2)exx，故f'(x)=2ae2x+(a2)ex1=(aex1)(2ex+1)当a0时，aex1<0，2ex+1>0从而f'(x)<0恒成立f(x)在R上单调递减当a>0时，令f'(x)=0，从而aex1=0，得x=lnax(,lna)lna(lna,+)f'(x) 0+f(x)单调减极小值单调增综上，当a0时，f(x)在R上单调递减；当a>0时，f(x)在(,lna)上单调递减，在(lna,+)上单调递增(2)由(1)知，当a0时，f(x)在R上单调减，故f(x)在

23、R上至多一个零点，不满足条件当a>0时，fmin=f(lna)=1+lna令g(a)= fmin=1+lna(a>0)，则g'(a)=+>0从而g(a)在(0,+)上单调增，而g(1)=0故当0<a<1时，g(a)<0当a=1时g(a)=0当a>1时g(a)>0若a>1，则fmin=1+lna=g(a)>0，故f(x)>0恒成立，从而f(x)无零点，不满足条件若a=1，则fmin=1+lna=0，故f(x)=0仅有一个实根x=lna=0，不满足条件若0<a<1，则fmin=1+lna<0，注意到lna>0f(1)=+1>0故f(x)在(1,lna)上有一个实根，而又ln(1)>ln=lna且f(ln(1)=e的ln(1)次方·(a·e的ln(1)次方+a2)ln(1)=(1)·(3a+a2)ln(1)=(1)ln(1)>