(完整版)高一数学常考立体几何证明的题目及答案

1、实用标准文案1、如图，已知空间四边形 ABCD中，BC AC, AD BD , E是AB的中点。求证：（1） AB 平囿CDE;2、如图，在止方体 ABCD求证： AC 平面BDE。(2) T® CDE TWABC。ABW>CABQ1D1中，E是AA的中点，DArD Di3、已知 ABC中 ACB求证：AD 面SBC.4、已知正方体ABCD求证：（1 ） Ci。/面 ABf /Z、/ / 七力D / 一 1一丫/90o,SA 面 ABC, AD SC,匕 2KBCSAJCAB1GD1,。是底ABCD对角线白交点.nBiDiiAC 面 ABD.：7C15、正方体ABCD A

2、9;B'C'D'中，求证：（1） AC 平面 B'D'DB .（2）BD '平面 ACB'.6、止方体 ABCDA1B1C1D1 中.求证：平囿 A1BD/平囿B1D1C;（2）若E、F分别是AA1, CC1的中点，求证：平精彩文档/。/ABD；1c1A1B/前 EB1D1 /T® FBD.乂一 AB实用标准文案 AC ,BDC 90°,27、四面体ABCD中，AC BD,E,F分别为AD, BC的中点，且EF精彩文档求证:BD 平面ACD8、如图，在正方体 ABCD AiBiCiDi中，E、F、G分别是AB BDG.

3、9、如图，在正方体 ABCD A1BiCiDi中，E是AA的中点.(1)求证：AC/平面BDE ;(2)求证：平面A AC 平面BDE .AD、C1D1的中点.求证：平面DiEF /平面10、已知ABCD是矩形，PA 平面ABCD, AB 2, PA AD 4, E为BC的中点.(i)求证：DE 平面PAE ;(2)求直线DP与平面PAE所成的角.ii、如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是 DAB 60°且边长为a的菱侧面PAD是等边三角形，且平面 PAD垂直于底面 ABCD .(i)若G为AD的中点，求证：BG 平面PAD;(2)求证：AD PB .i2、如图i,在正方

4、体 ABCD ABiCiDi中，M为CC1的中点，AC交BD于点O,求证：AQ 平面MBD .i3、如图 2 ,在三棱锥 A BCD 中，BC= AC, AD= BD, 作BEX CD, E为垂足，作AH± BE于H .求证：AH±平面BCD实用标准文案14. （12分）求证平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形. 已知：如图，三棱锥 SABC, SC/截面EFGH , AB/截面 EFGH .求证：截面 EFGH是平行四边形.A15. （12分）已知正方体ABCDAiBiCiDi的棱长为a, M、N分别为AiB和AC上的点，AiM = AN = a,

5、如图.3(1)求证：MN/面 BBiCiC;(2)求MN的长.16. (12 分)(2009 浙江高考)如图，DC,平面 ABC, EB/DC, AC= BC= EB=2DC=2, Z ACB = 120°, P, Q 分 别为AE, AB的中点.证明：PQ/平面ACD;（2）求AD与平面ABE所成角的正弦值.17. （12分）如图，在四面体 ABCD中，CB=CD, AD，BD ,点E、F分别是 AB、BD的中点.求证：（1）直线EF/面ACD.精彩文档(2)平面EFC，平面BCD1、如图，已知空间四边形 ABCD中，BC AC, AD BD , E是AB的中点。求证：(1) AB

6、 平面CDE;(2)平面CDE 平面ABC。证明:BC(1)AEACBECE AB同理,ADAEBDBEDE AB又 CE DE EAB 平面 CDE(2)由(1)有AB 平面CDE又 AB 平面ABC,平面CDE 平面ABC2、如图，在正方体 ABCDABQR中,E是AA的中点,ACB求证：AC 平面BDE。证明：连接AC交BD于O,连接EO,E为AA1的中点，。为AC的中点EO为三角形AAC的中位线EO/AC又EO在平面BDE内，AC在平面BDE外 ，AC/平面BDE。3、已知 ABC 中 ACB 90o,SA 面 ABC, AD SC,求证：AD 面SBC.证明：: ACB 90 BC

7、AC又 SA 面 ABC SA BC BC 面 SAC BC AD精彩文档实用标准文案ABCD AB1cl口1是正方体AACC1是平行四边形1又SC AD，SC BC C AD 面 SBC4、已知正方体 ABCD ABC1D1,。是底ABCD对角线的交点求证：(1) CiO/面 AB1D1 ； (2) AC 面 ABiDi.证明：（1）连结 AC1，设 A1C1B1D1O1,连结AO1A1C1/AC 且 A1cl AC又 O1,O 分别是 AC1,AC 的中点，O1C1/AO 且 01cl AOA0C101是平行四边形C1。/ AO1，AO1 面 AB1D-C10 面 AB1D1 . . C1

8、O/面 AB1D1(2) QCC1 面 A1B1C1D1CC1 B1D!又'AC1 B1D1,B1D1 面AC1c 即 AC B1D1同理可证 A1C AD1,又 D1B1 AD1 D1AC 面 AB1D1精彩文档5、正方体 ABCD A'B'C'D'中，求证：（1）AC 平面 B'D'DB；（2）BD6、正方体 ABCDA1B1C1D1 中.（1）求证：平面 A1BD/平面 B1D1C;（2）若E、F分别是 AA1, CC1的中点，求证：平面 EB1D1/平面FBD .证明：（1）由BB/ DD1,得四边形 BB1D1D是平行四边形，

9、B1D1/BD,又 BD 平面 B1D1C, B1D1 平面 B1D1C,BD /平面 B1D1C.同理 A1D /平面 B1D1C.而 A1DABD = D, 平面 A1BD/平面 BCD.(2)由 BD/ B1D1,得 BD /平面 EB1D1.取 BB1 中点 G, AE / BG.从而得 B1E/AG,同理 GF/AD. AG/ DF . B1E/DF . DF /平面 EB1D1, 平面 EB1D1/平面 FBD .2 s7、四面体 ABCD中，AC BD,E, F分别为AD, BC的中点，且EF AC,2BDC 900,求证：BD 平面 ACD证明：取CD的中点G,连 结EG,FG

10、，; E,F分别为AD,BC的中点，EG /-AC21 1.22122FG 一 BD,又 AC BD, FG AC , 在 EFG 中，EG2 FG2 -AC2 EF22 22EG FG , BD AC,又 BDC 900,即 BD CD, AC CD C BD 平面 ACD8、如图，在正方体 ABCD A1B1c1D1中，E、F、G分别是AB、AD、C1D1的中点.求证：平面D1EF /平面BDG.证明： E、 F分别是AB、AD的中点， EF / BD 又EF 平面BDG , BD 平面BDG EF /平面BDG DiG区EB 四边形DiGBE为平行四边形，DE / GB又D1E 平面BD

11、G , GB 平面BDG D1E /平面BDGEF D1E E,平面 DiEF /平面 BDG9、如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，E是AA的中点.(1)求证：AC/平面BDE;(2)求证：平面A1AC 平面BDE .证明：(1)设 AC BD O,4 4 E、O分别是AA、AC的中点，AC / EO又AC 平面BDE , EO 平面BDE , AiC /平面BDE(2) AA 平面 ABCD , BD 平面 ABCD , AA1 BD又 BD AC , AC 根 A, BD 平面 AAC , BD 平面BDE , 平面BDE 平面AAC10、已知 ABCD 是矩形，PA 平面 A

12、BCD, AB 2, PA AD 4 , E 为 BC 点.(1)求证：DE 平面PAE; (2)求直线DP与平面PAE所成的角.证明：在 ADE 中，AD2 AE2 DE2, AE DE. PA 平面 ABCD, DE 平面 ABCD, PA DE又 PA AE A, DE 平面 PAE的中(2) DPE为DP与平面PAE所成的角在 Rt PAD, PD 4也，在 Rt DCE 中，DE 272在 Rt DEP 中，PD 2DE , DPE 30011、如图，在四棱锥 P ABCD中，底面ABCD是 DAB 600且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD垂直于底面 ABCD .

13、(1)若G为AD的中点，求证：BG 平面PAD ;(2)求证：AD PB .证明：(1) ABD为等边三角形且 G为AD的中点,实用标准文案又平面PAD 平面ABCD, BG 平面PAD(2) PAD是等边三角形且 G为AD的中点， AD PG且 AD BG, PG BG G , ad 平面 pbg ,PB 平面 PBG , AD PB12、如图1,在正方体 ABCD ABC1D1中，M为CC1的中点，AC交BD于点O,求证：AQ 平面MBD .证明：连结 MO , AM , DB± A1A , DBXAC, A1A AC A , DB，平面 A ACC1 ,而 AO 平面 A1AC

14、C1DB ± A1O .设正方体棱长为a,则A1O2 3a2, MO2 3a2 . 24在 R9A1clM 中，AM2 9a2. A1O2 MO2 A1M 2 , AO OM4. OMnDB=O,A1O，平面 MBD.13、如图 2,在三棱锥 A BCD3, BC= AC AD= BD作BEL CD E为垂足，作 AHL BE于H.求证：AHL平面BCD 证明：取AB的中点F ,连结CF, DFAC BC , CF AB .AD BD , DF AB .又 CF I DF F , AB 平面 CDF. CD 平面 CDF :. CD AB .又 CD BE, BE AB B, CD

15、平面 ABE CD AH .AH CD , AH BE, CD BE E , AH 平面 BCD14. (12分)求证平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形. 已知：如图，三棱锥 SABC, SC/截面EFGH , AB/截面 EFGH .求证：截面 EFGH是平行四边形.证明:.SC/截面 EFGH , SC?平面 EFGH , SC?平面 ASC,且平面 ASCP 平面 EFGH = GH,SC/ GH.同理可证 SC/EF,GH / EF. 同理可证 HE / GF.四边形EFGH是平行四边形.精彩文档实用标准文案15. （i2分）已知正方体 ABCDAiBiCiD

16、i的棱长为a, M、N分别为AiB和AC上的点，AiM = AN = a,如图.3精彩文档(1)求证：MN/面 BBiCiC;（2）求MN的长.解：（i）证明：作 NPAB 于 P,连接 MP.NP/BC,.AP AN_ AiM AB-AC- AiB '1 MP / AAi / BBi, 面 MPN / 面 BBiCiC.MN?面 MPN, . MN /面 BBiCiC.系NP AN 3 i i(2)B3= AC =声3，NP=3a，同理MP = |a.3又 MP / BBi, MP，面 ABCD ,MPXPN.在RtAMPN中MN =%+91=品16. (i2 分)(2009 浙江高

17、考)如图，DC,平面 ABC, EB/DC, AC= BC= EB=2DC=2, Z ACB = i20°, P, Q 分 别为AE, AB的中点.证明：PQ/平面ACD;（2）求AD与平面ABE所成角的正弦值.解：（i）证明：因为P, Q分别为AE, AB的中点，所以 PQ/ EB.又DC/EB,因此PQ/DC,又PQ?平面ACD,从而PQ /平面ACD.（2）如图，连接 CQ, DP,因为Q为AB的中点，且 AC=BC,所以CQXAB.因为DC,平面ABC, EB/ DC,所以EBL平面 ABC,因此 CQXEB.故CQL平面ABE.i .由（i）有PQ/DC,又PQ = 2EB=DC,所以四边形 CQPD为平行四边形，故 DP/CQ ,因此DPL平面ABE,/ DAP 为 AD 和平面 ABE 所成的角，在 RtDPA 中，AD =，5, DP=i, sinZDAP = 5