2019秋高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2第2课时直线与椭圆的位置关系练习含解析新人教A版选修1_1

1、第2课时直线与椭圆的位置关系高效演练知能提升;A级基础巩固一、选择题221 .已知直线l过点（3, 1）,且椭圆C:二十上=1,则直线l与椭圆C的公共点的个25 36数为（）A. 1B. 1 或 2C. 2D. 0解析：因为直线过定点（3, 1）且3H + （二）<1，2536所以点（3, 1）在椭圆的内部，故直线l与椭圆有2个公共点.答案：C222.若直线y=kx + 1与椭圆 9m= 1总有公共点，则 m的取值范围是（）A. m>1B. m>0C. 0<m<5 且 mrt 1D. im> 1 且5解析：法一 由于直线y= kx+ 1恒过点（0,1）,所以

2、点（0 , 1）必在椭圆内或椭圆上，一 1 一贝U 0<-< 1 且 m 5,m故 m> 1 且 im5 5.y= kx+ 1,法一由 mX+5y2 5mp 0,消去 y 整理得(5 k2+ m x2+ 10kx+ 5(1 m) = 0.由题意知 = 100k220(1m)(5 k2+m) >。对一切 kCR 恒成立，即 5mk+m2m 0 对 一切ke R恒成立,由于m>0且m 5,所以m> 1且m 5.答案：D2 2x yA.啦< a<啦C. - 2<a<2解析：由A（a, 1）在椭圆内部，则3 .点A（a, 1）在椭圆+；=1的

3、内部，则a的取值范围是（）B. a< /或 a>，2D. - 1<a<122+ < 1,即 a2<2,则一22vav2.答案：A224.过椭圆X6+5=i内的一点摩，一i)的弦，恰好被点p平分，则这条弦所在的直线 方程是()A. 5x-3y-13=0C. 5x-3y+ 13=0B. 5x+3y13=0D. 5x+3y+13=0-6 -解析：设弦的端点为 A(xi, yi), B(x2, y2),则22xiyi1，65yi y222x2yi-+ =1, 65,1 xi + x2故 6*E +5Xxi-x2=°,又 xi + x2= 4,yi+y2=2

4、,故斜率 k= .35一故直线万程为 y+1=-(x-2) , IP 5x- 3y- 13=0.3答案：A225.已知椭圆E： W=1(a>b>0)的右焦点为F(3, 0),过点F的直线交椭圆于 A B两点.若AB的中点坐标为(1 , 1),则椭圆E的方程为(22A. 77+ yZ- = 145 3622x yB. 36+27= 122C.27+ 布=122r x y D.W+9 = 1解析：设A(xi, yi), B(x2, y2),代入椭圆方程,22»xi . yi ,有二十 2= 1 ,a b22x2y2.Z2+k2=1, a b两式相减得法2b xi + x21

5、=二, a yi + y2 2因为线段AB的中点坐标为(1 , - 1),广b21所以a2=2.因为右焦点为 F(3, 0), c=3,所以a2=18, b2=9,所以椭圆E的方程为 孑+E=1.18 9答案：D二、填空题6.椭圆x2+4y2=16被直线y = 1 x+1截得的弦长为 x2+ 4y2= 16,解析：由 1y=2 x+ 1,消去y并化简得x2+2x-6 = 0.设直线与椭圆的交点为 M(xi, yi), N(x2, y2),则 xi + x2= -2, xix2=-6.所以弦长 | MN = 1 + k2| xi x2| =4(x+x2)2 4x1x2 = *"4 (4

6、 + 24) =、135.答案：357 .若A为椭圆x2+4y2=4的右顶点，以 A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三 角形，则该三角形的面积为 .解析：由题意得，该三角形的两直角边关于x轴对称，且其中一边在过点A(2 , 0),斜率为1的直线上，此直线的方程为y = x-2,将y= x2代入x2+4y2=4,得5x2- 16x+ 12=0,解得x1 = 2, x2= |.把x=|代入椭圆方程得 y=±,所以三角形的面积 S=1x：x 2、= 5552 5516 25.16答案：OC 258 .椭圆mx+ny2= 1与直线y=1 x交于M N两点，原点O与线段MN勺中点P连线的

7、斜率为坐，则曲值是 2 n 一 ,y= 1-x,、，一解析：由mx+ny2消去丫， 2得(m n)x 2nx+ n- 1 = 0.则MN的中点P的坐标为焉，mmn .所以 k0P= m= -22.答案：22三、解答题 229.判断直线kx-y+ 3=0与椭圆三+ y=1的位置关系.16 4y= kx+ 3,解：由 x2 y2可得(4 k2+1) x2+24kx + 20= 0,16+ T= 1所以 A= 16(16 k2 5).(1)当 A = 16(16 k2 5) >0,即 k>字或 kv 22直线kx y+3=0与椭圆1x6+y4=1相交.(2)当 A = 16(16 k2

8、5) =0,即 k = Y或 k=乎 时，22直线kx y+3=0与椭圆1x6+y4=1相切.(3)当 A = 16(16 k2-5) <0,即一片vkv22直线kx y+3=0与椭圆1x6+y4=1相离.x?2310.设椭圆C： x2+y2=1(a>b>0)过点(0, 4),离心率为Iab5(1)求C的方程;，一一一，4,(2)求过点(3 , 0)且斜率为£的直线被C所截线段的中点坐标.5解：(1)将(0 , 4)代入C的方程得£2=1,所以b=4.一 C 3又e=a=5,信a2-b292CL,a 25'则1 ¥= I所以a=5.22所

9、以C的方程为/1.(2)过点(3, 0)且斜率为4的直线方程为y=4(x3).设直线与 C的交点为A(xb y), 55Rx2, yz),4，、一将直线方程y=4(x 3)代入C的方程,2即 x3x8=0,解得 Xi + X2=3,/日 x2(x-3) 2得 25+1=1，所以AB的中点坐标x = x1 ： x2 = 3, y="卢= |(X1 + X2- 6) = - 6 ,即中点坐标为 222553 62，5 .B级能力提升X221 .若直线y=x + t与椭圆4 + y =1相交于A, B两点，当t变化时，| AB的最大值为()A. 2bYC 4 .'10 C.5X22

10、 .一2 一. .28t4t 24解析：将 y =x+t 代入彳 + y = 1,得 5x +8tx+ 4t 4 = 0,则Xi+X2 = -5, XiX2= -5由 | AB = '1 + 12x (X1 + X2) 24X1X2 = 2 y0 216t，当 t = 0 时 | AB最大，最大 为我害平.答案：C22 .若倾斜角为 :的直线交椭圆X+y2=1于A B两点，则线段 AB的中点的轨迹方程是 44解析：设中点坐标为(x, y),直线方程为y= X+b,代入椭圆方程得 5x2+ 8bX+ 4(b2- 1)=0,由根与系数的关系及中点的定义，可得x+4y=0,由 A>0,

11、得一5<b<5,故一 5''5<x<55.答案：x + 4y=0 3 .已知椭圆 G±1(a>b>0)的离心率为 学,右焦点为(272, 0).斜率为1的直 线l与椭圆G交于A, B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(-3, 2).4 1)求椭圆G的方程；5 2)求 PAB勺面积.6 ：(1)由已知得c= 2-J2, c=乎.a 3解得a = 2.22又b2=a2c2 = 4,所以椭圆G的方程为12 +、= 1.(2)设直线l的方程为y = x+my=x + m由 x2 y2 得 4x2+6mx+ 3m212 = 0.12 + 7= 1设A, B的坐标分别为xdx2(xi, yi) , (x2,y2)( xi<x2), AB中点为日x(b y(0 ,则 x()=23mm3mm一了, y-xo+F4.于正信 E7，4 .因为AB是等腰 PAB勺底边,E为中点，所以PE!AB_ m2 4所以P