微分动力系统的应用(一)--竞争模型

1、微分动力系统的应用(一)-竞争模型设在一个池塘里饲养两种食用鱼：鳟鱼和鲈鱼.设它们在时刻t的尾数分别是x(t)和y(t).假定鳟鱼的尾数x(t)的增长速度正比于鳟鱼尾数x(t),增长率为k;即dt(1)2由于鲈鱼的存在而争夺食物、减小了鳟鱼的增长率.鲈鱼越多，鳟鱼的增长率越小， 可设鳟鱼的增长率k = a -by,其中a>0, b>0是常数.因此我们可以写出如下的描述鳟鱼尾数的微分方dx=(a-by)x,x>0, y>0.dt.我们可同理由于鳟鱼的存在而争夺食物、减小了鲈鱼的增长率 得到描述鲈鱼尾数的微分方程:dy=(m -nx)y, dt其中m>0,n>0

2、是常数.当鳟鱼的尾数x(t) > m/n,鲈鱼的尾数y(t)va/b时,由方程可见鲈鱼的尾数y将减少，由方程 可见鳟鱼将增加.反之, 当鳟鱼的尾数x(t) v m/n,鲈鱼的尾数y(t)>a/b时,由方程 可 见鲈鱼的尾数y将增加，由方程 可见鳟鱼尾数x(t)将减少.现在的问题是:设在t=0时鳟鱼和鲈鱼的初值分别是Xo和yo尾，要研究这两种鱼的增长情况.是否存在Xo>O和yo>O,使得这 两种鱼能够和平共处，长期共存呢？首先可见方程组(2), (3)有常数解maX =, y =nb因此在t=0时鳟鱼Xo=m/n,和鲈鱼yo=a/b尾时，由方程可见鳟 鱼和鲈鱼的增长速度是

3、零，所以鳟鱼和鲈鱼的尾数保持不变.那 么这种状态是否是稳定的呢？就是说，若鱼的尾数由于某种原 因稍有变化，这两种鱼是否还能和平共处，长期共存呢？由常微分方程的理论，我们知道(m/n, a/b)是方程组的奇点，我们只要分析这个奇点的稳定性就行了方程组(2),(3)的向量场的Jacobi矩阵在奇点(m/n, a/b)的值是by -bx、 (-ny m - nx 丿Cbm、0 -(5)nna 0 b丿J的两个特征值为±vma,因此奇点是鞍点,鞍点是不稳定的.所以若鱼的尾数由于某种原因稍有变化，这两种鱼的尾数将有大的变化.方程组(2), (3)还有一个奇点(0, 0),向量场的Jacobi矩

4、阵在奇点(0, 0)的值是a - by、-ny-bx、m-nxJ的两个特征值为a>0, m>0,因此奇点(0, 0)是不稳定的结点.在奇点(0, 0)附近的轨线当时间t增大时都离开奇点(0,0).另外方程组(2), 有两条半直线轨道:(1): x=0,y>0, 对应的轨线是y = y0em,表示鲈鱼的尾数呈指数增长.(2): y=0,x>0, 对应的轨线是X = x0eat,表示鳟鱼的尾数呈指数增长.由于奇点(m/n, a/b)是鞍点,当t趋向无穷大时,有两条轨道从相反的方向趋向鞍点，另有两条轨道从鞍点出发以相反的方向 离开鞍点.这四条轨道称为鞍点的分界线,研究这些分界

5、线的走 向以及方程组的结点(0,0)的性质，其余轨道的大致走向也就清楚要知道对于一般的初值(xo，yo) H(0,0)鳟鱼和鲈鱼的尾数是怎样变化的，最终是鳟鱼还是鲈鱼生存下来呢 ？就要解出微分方程组(2), (3).将方程组(2), 消去dt,化为如下一阶常微分方(6)(m -nx)ydx = (a -by) xdy ,(6)式是一个变量分离方程，除了零解(x=0, y=0)和半直线轨道外，可分离变量得(X0,y0)H(O,O)的积分(m-nx)dx(a-by)dy从(x0,y0)H (0,0)到(x,y)对式作定积分得到过曲线:xymln一-n(x-x0) =aln -b(y-y0).X0y

6、。(8)7对(8)式取指数化为形式:a -by / m nxy e = Kx e(9)式中的K是常数:(10)K =yax0me4沁冷对于鞍点的分界线，因它们趋向及离开鞍点，所以分界线方程的K应由(10)式中(y。)取为鞍点:mXo =,n而得到.这时(10)式的K值为ay0飞,(12)a m m_aK a n e K = bamm b m(13)r z 、 a _byf(y)=ye ,由微分法可知f(y)是单峰函数,在鞍点的纵坐标y = a/b时取得最大值，在y=0和乜时取得最小值零.在区间0, a/b上f(y)从零严格单调增加到最大值；在无穷区间y > a/b上f(y)严格单调减少趋

7、向零.同理g(x)是单峰函数，在鞍点的横坐标x = m/n时取得最大值，在X = 0时和X二+边时取得最小值零.在区间0, m/n上g(x)从零严格单调增加到最大值，在无穷区间x >m/n上g(x)严格单调减少趋向零.根据以上事实，可以由分界线方程(9), (13)得出鞍点的四条分界线(红色和蓝色的线)并且根据方程组(2),(3)得出分 界线的走向如下示意图:(四条分界线共同的端点是鞍点(m/n,a/b).其中x轴和y轴分别是两条分界线（用蓝色表示）的渐近线, 红色的一条分界线从结点走向鞍点，红色的另一条分界线当t趋 向负无穷大时趋向无穷远.于是其他轨道的走向（用黑色表示）也就知道了 .

8、从图可见,分界线将第一象限分成四个区域，当初始点（Xo,yo）位于这四个区 域之一时,当时间趋向无穷大时,x（t）和y（t）中总有一个趋向零, 而另一个趋向无穷大.具体而言,当初始点落在红线下方时,最 终只有鳟鱼x生存，当初始点落在红线上方时，最终只有鲈鱼y 生存.初始点落在红线上时，轨道趋向鞍点，而鞍点和结点是 不稳定的，所以不管怎样，实际上只有一个能够生存.这说明了对于竞争模型，不同的物种是有排他性的，这称为竞争排他原理.微分动力系统的应用(二)一捕食模型在生物界除了两个物种之间的竞争性以外，还有一种是捕食与被捕食的关系.例如在南极海洋中生活的鬚鲸和南极虾就是这种关系.设南极虾的数量是x(

9、t)，鲸的数量是y(t),鬚鲸以南极虾为主食，没有了南极虾，鬚鲸的数量将指数式地下降 dy = my, m > 0 是常数.dt但有了南极虾x(t)时，鬚鲸的数量的变化关系(1) 理=(nx-m)y,n >0是常数.dt而南极虾被鬚鲸捕食，它的数量的变化服从以下关系要改为:dx=(a -by)x , a >0 . dt我们同样可以通过研究方程组b>o是常数.(2),(3)的轨道来讨论鬚鲸与南极虾数量的变化规律.首先方程组有两个奇点(0,0),(m/n, a/b).方程组(2), (3)的向量场的Jacobi矩阵在奇点(m/n, a/b)的值是bm、令- by-bx &#

10、39;0n.nyn X mna0lb/J =±ijma,因为(2)，J的两个特征值为纯虚数方程，单凭特征值是纯虚数只能判定奇点是焦点型(即焦点或中心)的，不能确定焦点型的奇点是否是中心向量场的Jacobi矩阵在奇点(0, 0)的值是(5)J _ ja - by -bxI ny nx - mJ的两个特征值为a>0, -m<0,因此奇点(0, 0)是鞍点、不稳另外方程组(2), 有两条半直线轨道:：x=0,y>0, 对应的轨线是y = y0et,表示没有了南极(11)8虾，鬚鲸数呈指数减少.(2): y=0, x>0, 对应的轨线是x = x0eat,表示没有了鬚

11、鲸，南极虾数呈指数增长.将方程组(2),消去dt,化为如下一阶常微分方程:(nx -m)ydx = (a -by)xdy ,(6)(6)式是一个变量分离方程，除了零解(x=0, y=0)和半直线轨道外，可分离变量得(nX m)dx _ (a -by)dy从(xo,yo) H(0,0)到(x, y)对式作定积分得到过(Xo,yo)工(0,0)的积分曲线:xy-mln + n(x -x0) = a In -b( y - y0). X0y。(8)对(8)式取指数化为形式:(9)(9)式中的K是常数:IXa m -by0 -nx0K =y0X0e(10)r / a -by. m -nxf (y) = y e , g(x) = X e .由微分法可知f(y)是单峰函数，在焦点的纵坐标y=a/b时取得最大值,在y = 0和y =畑时取得最小值零.在区间0, a/b上 f(y)从零严格单调增加到最大值，在无穷区间y > a/b上f(y)严格单调减少而趋向零.同理，g(x)是单峰函数，在焦点的横坐标x = m/n时取得最大值，在X=0时和时取得最小值零.在区间0,m/n上g(x)从零严格单调增加到最大值，在无穷区间x >m/n上 g(x)严格单调减少而趋向零.因此(9)式中的K必须满足不等式:a m